причем  чтобы не потерять первый и последний  уровни, их сглаживают по формулам

Затем вычисляются первые средние приросты

,t = 2,3,... ,n-l;

вторые средние приросты

а также  ряд производных величин, связанных  с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

       В соответствии с характером изменения  средних приростов и производных  показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

       На  практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста  для дальнейшего исследования и  построения трендовой модели данного  временного ряда.

Рассмотрим  методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Таблица 1

 

Для полинома первой степени

y_t =a₀ + a_1t 

система нормальных уравнений имеет вид:

             (5)

где знак суммирования распространяется на все  моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда.

       Аналогичная система для полинома второй степени

       y_t = a₀ + a₁t + a₂t²,

имеет вид

       

        (6) 

       Для полинома третьей степени

       y_t = a₀ + a₁t + a₂t²+ a₃t³

система нормальных уравнений записывается следующим образом: 

       

                    (7) 

       Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты

                                                   y_t=ab^t

предварительно  логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или  натуральному):

т.е. для  логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

       При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

       Если  значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др.

       Таким образом, при моделировании экономической  динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трен- довых моделей для исходного временного ряда. Встает вопрос, насколько эти модели близки к экономической реальности, отраженной во временном ряду, насколько обосновано применение этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического явления.

§2. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.

       Независимо  от вида и способа построения экономико-математической

модели  вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования  экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность — в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

       Трендовая модель y_t конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента εt = y_t – y_t (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания

случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты. Рассмотрим, каким образом осуществляется проверка этих свойств остаточной последовательности.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда мы располагаем набором разностей

       Характер  этих отклонений изучается с помощью  ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности и сравнивая значения этой последовательности с ,будем ставить знак «плюс», если значение (превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий —слишком малым. Обозначим протяженность самой длинной серии через

K_max, а общее число серий — через v. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5% -ного уровня значимости:

                                                                          (8)

где квадратные скобки, как обычно, означают целую  часть числа. Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной. Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности ( считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. ,и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. . В обоих случаях считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначим через р.

       В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия выражаются формулами:

       

       Критерием случайности с 5% -ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

       

                           (9)

где квадратные скобки, как и ранее, означают целую  часть числа. Если это неравенство  не выполняется, трендовая модель считается  неадекватной.

Проверка  соответствия распределения случайной компоненты

нормальному закону распределения

       Может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии ( ) и эксцесса ( ),так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

                    (10)

 

       В этих формулах — выборочная характеристика асимметрии; -выборочная характеристика эксцесса; и   соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если  одновременно выполняются следующие  неравенства:

,

то гипотеза о нормальном характере распределения  случайной компоненты принимается.

       Если  выполняется хотя бы одно из неравенств

       

,

то гипотеза о нормальном характере распределения  отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют  дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.

       Кроме рассмотренного метода известен ряд  других методов проверки нормальности закона распределения случайной  величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S. В нашем случае Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается. Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических границ RS-критерия для уровня значимости α= 0,05: при n= 10 нижняя граница равна 2,67, а верхняя равна 3,685; при n = 20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при n = 30 они равны 3,47 и 4,89.

   Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты равной нулю

       Если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

                                                                                   (11)

где — среднее арифметическое значение уровней остаточной

последовательности  ;

        — стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

       Если  расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.