Оптимальное управление запасами угля Змиевской ТЭС

     Задача  управления запасами состоит в определении  такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

     Обозначим суммарные затраты через С, затраты  на создание запаса — через С₁, затраты на хранение запаса — через С₂ и найдем эти величины за весь промежуток времени Т .

     Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с₁, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с₂. Так как за время q необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий k равно:

 

     k = N /n = q /T (2.5)

     Отсюда  получаем

 

     C₁ = c₁k = c₁ N /n(2.6)

 

     Мгновенные  затраты хранения запаса в момент времени t равны c₂J(t). Значит, за промежуток времени [0, T] они составят:

 

       (2.7)

 

     Средний запас за промежуток [0, T] равен nТ/2, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

     Учитывая  периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени q будет k=N/n "зубцов", аналогичных рассмотренному на отрезке [0, T]), и формулу (2.5), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени q равны:

 

       (2.8)

 

     Нетрудно  заметить, что затраты С₁ обратно пропорциональны, а затраты С₂; прямо пропорциональны объему партии n. Функция суммарных затрат определяется по формуле (2.9)

 

       (2.9)

 

     Графики функций C₁(n) и C₂(n), а также функции суммарных затрат приведены на рисунке 2.2.

 

     

     Рисунок 2.2 – Графики функций затрат

 

     В точке минимума функции С(n) ее производная равна

 

      С^/(n) = - (c₁N/n²) + (c₂q/2) = 0, (2.10)

 

     откуда  объем партии равен:

 

       (2.11)

 

     или, учитывая формулу (2.3):

 

       (2.12)

 

     Формула (2.11), называемая формулой Уилсона или  формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С₁С₂ = 0,5с₁с₂Nq есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, то есть С₁ = С₂ или

 

       (2.13)

 

     Из (2.12) следует, что минимум общих  затрат задачи управления запасами достигается  тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса [10].

 

     2.1.3 Статическая детерминированная  модель с дефицитом

     В рассматриваемой модели [10] предполагается, что существует дефицит. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, потребление запаса отсутствует — b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рисунке 2.3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рисунке 2.2 характеризует накопление дефицита.

 

     

     Рисунок 2.3 – Уровень запаса в зависимости  от времени и с учетом дефицита

 

     Из  рисунка 2.3 видно, что каждый период "пилы" T = n/b разбивается на два временных интервала, т. е. T = T₁ + T₂, где T₁ — время, в течение которого производится потребление запаса, T₂ — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n - s, накопившегося за время T (см. рис. 2.3)

     В данной модели в функцию суммарных  затрат С наряду с затратами С₁ (на пополнение запаса) и С₂ (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С₃ — на штраф из-за дефицита, т.е.

 

     С = С₁ + С₂ + C₃. (2.14)

 

     Затраты С₁, как и ранее, находим по формуле (2.13).При рассмотрении статической детерминированной модели без дефицита было показано, что затраты С₂ при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁ равен sТ₁/2; поэтому с учетом (2.8) и (2.5) эти затраты составят

 

       (2.15)

 

     При расчете затрат С₃ штраф за дефицит составляет в единицу времени с₃ на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т₂ равен (n - s) Т₂ /2, то штраф за этот период T₂; составит 1/2c₃(n - s)T₂, а за весь период q определяется по формуле (2.16):

 

      (2.16)

 

     Таким образом, суммарные затраты равны:

 

      (2.17)

 

     Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С принимает минимальное значение. Оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/√р раз), чем в задаче без дефицита.

 

     2.1.4 Стохастические модели  управления запасами

     В стохастических моделях управления запасами [10] спрос является случайным. Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным  и задан его закон (ряд) распределения  р(r) или плотность вероятностей j(r) (обычно функции р(r) и j(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

     В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях  случайной величиной, рассматривают  ее среднее значение или математическое ожидание.

     В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

 

       (2.18)

 

     В выражении (2.18) первое слагаемое учитывает  затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при s £ r ), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при r > s).

     В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей j(r), выражение C(s) принимает вид:

 

      (2.19)

 

     Задача  управления запасами состоит в отыскании  такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.18) или (2.19) принимает минимальное значение.

     Известно, что при дискретном случайном  спросе r выражение (2.19) минимально при  запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

 

     F(s₀) < p < F(s₀ + 1) (2.20)

 

     а при непрерывном случайном спросе r выражение (2.19) минимально при значении s₀, определяемом из уравнения:

 

     F(s₀) = p, (2.21)

 

     гдеF(s) = p(r < s) – это функция распределения  спроса r;

     F(s₀) и F(s₀+1) - значения функции распределения спроса r;

     p - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса;

     Плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса определяемая по формуле (2.22):

 

      ,(2.22)

 

     гдес₃ - штраф за дефицит на единицу продукции;

     с₂ - затраты на приобретение (хранение, продажу) излишка единицы продукции;

     Плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 £ р £ 1.

     Если  значение с₃ мало по сравнению с с₂, то величина р близка к нулю: когда с₃ значительно превосходит с₂, то р близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с₃ = ¥ или р = 1.

     Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически на рисунке 2.4.

 

     

     Рисунок 2.4 — График функции распределения  спроса

 

     2.1.5 Стохастические модели  управления запасами с фиксированным временем задержки поставок

     В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически  мгновенно. Однако в ряде задач время  задержки поставок может оказаться  настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.

     Пусть за время задержек поставок q уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = q/n.

     Обозначим:

     s_нз — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

     s_i — запас за i-й период;

     r_i — спрос за i-й период;

     q_i — пополнение запаса за i-й период.

     Тогда к концу n-го периода на склад поступит Sq_i единиц продукта, а будет израсходовано Sr_i единиц, т.е.

 

      , (2.23)

 

     или

 

      s_n = s - r, (2.24)

 

     гдеs - запас за i - й период и определяется по формуле:

 

      ; (2.25)

 

     где r - спрос за i - й период. Он равен:

 

       (2.26)

 

     Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать  за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа. Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (2.18), а оптимальный запас s находится по формуле: