Модели портфельного управления, проблемы их инвестирования в Российской Федерации

Измерение риска портфеля. При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзя найти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариация означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же наоборот, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

Когда рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация подсчитывается по формуле:

где: σi,j – ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

ri,t и rj,t – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t;

E(ri), E(rj) – ожидаемая (средняя арифметическая) доходность ценных бумаг i и j;

N – общее количество шагов наблюдения.

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину – коэффициент корреляции ρij:

Коэффициент корреляции между доходностью ценных бумаг i и j равен отношению ковариации доходности этих ценных бумаг к произведению их стандартных отклонений. Значения ρij изменяются в пределах: - 1 ≤ ρij ≤ +1 и не зависят от способов подсчета величин σij и σi, σj. Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходности двух ценных бумаг: если ρij > 0, то доходность ценных бумаг i и j имеет тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях, то есть, когда доходность i-ой ценной бумаги возрастает (снижается), то и доходность j-ой ценной бумаги также возрастает (снижается). Чем ближе значение ρij к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда ρij = +1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значение годовой доходности ri,t и rj,t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям ri,t всегда соответствуют пропорциональные изменения rj,t в тех же направлениях.

Если ρi,j отрицательны, то ri,t и rj,t имеют тенденцию изменяться в разных направлениях: когда ri,t возрастает (снижается), rj,t уменьшается (повышается). Чем ближе в этом случае ρi,j к величине (- 1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При ρi,j = - 1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда ri,t и rj,t связаны отрицательной линейной зависимостью. При ρi,j = 0 отсутствует какая-либо взаимосвязь между величинами доходности двух ценных бумаг.

Коэффициент корреляции очень важен для формирования портфеля. Чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, составляющих портфель, тем ниже и риск инвестиционного портфеля.

Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

Если вспомнить, что коэффициент корреляции ρi,j = σi,j / σiσj, то эту формулу можно представить в виде: [11]

В результате можно сделать следующие выводы:

 доходность портфеля есть взвешенная средняя значений доходности входящих в портфель акций (весами служат доли инвестиций в каждую акцию);

 если акции ведут себя совершенно одинаково  (Соr =  +1), то
стандартное отклонение портфеля остается таким же, как у входящих в портфель акций;

 риск портфеля не является средней арифметической взвешен­ной входящих в портфель акций; портфельный риск (за исклю­чением крайнего случая, когда (Соr=+1) будет меньше, чем средняя     взвешенная     стандартных     отклонений, входящих в портфель акций;

 при достижении коэффициентом корреляции определенного значения можно достичь такого сочетания акций в портфеле, что степень риска портфеля может быть ниже степени риска любой акции в портфеле;

 наибольший результат от диверсификации может быть получен от комбинаций акций, которые находятся в негативной корре­ляции; если коэффициент корреляции двух акций равен -1, то теоретически из пар таких акций можно сформировать безрис­ковый портфель (со стандартным отклонением, равным нулю);

 в действительности негативная корреляция акций почти нико­гда не встречается, и безрисковый портфель акций сформиро­вать практически невозможно;

 риск портфеля может быть снижен за счет увеличения числа акций в портфеле, при этом степень снижения риска зависит от корреляции добавляемых акций; чем меньше коэффициент корреляции   добавляемых   акций,   тем  значительнее   снижение риска портфеля.

     Следует  отметить,  что  решение  задачи  диверсификации  портфеля  в  российских  условиях  требует  учета  ряда  специфических факторов.  Во-первых,  большинство отечественных голубых фишек практически не отличаются по степени риска, а их доходность сильно зависит от изменения рынка в целом. Во-вторых, общее  число  высоколиквидных  и  надежных  акций  в  настоящее  время  не превышает  20,  в  то  время  как  для  формирования  хорошо  диверсифицированного  портфеля  требуется  30—40  подобных  инструментов.  В-третьих,  необходимо  учитывать  отраслевую  специфику  российского  рынка  акций,  львиная доля  которого  приходится  на  предприятия  нефтегазовой  промышленности.[12]

      Данное обстоятельство  следует иметь в виду при построении оптимизационных моделей  путем  задания  дополнительных  ограничений  на  отраслевую принадлежность активов.

49

Глава 2. Модели портфельного управления

2.1. Модель Марковица

Как было показано выше, любой портфель ценных бумаг следует оценивать как с точки зрения уровня доходности, так и степени риска. Большинство инвесторов при формировании портфеля ориентируются не только на получение более высокой нормы прибыли,  но и стремятся снизить риск своих вложений, т. е. перед ними возникает проблема выбора состава портфеля. Традиционный подход cостоит в том, чтобы диверсифицировать свои вложения. Если инвестор распределит свои вложения, например, на 10 равных частей для вложения в  10 различных акций, то подобная операция сама по себе уже будет означать снижение риска инвестиций. Однако такой подход   является   главным   образом   качественным,   так   как   при этом обычно не производится точная количественная оценка всех ценных бумаг в портфеле, производится лишь качественный отбор ценных бумаг; не ставится задача достичь какой-то определенной величины ожидаемой  нормы  прибыли  или  степени риска портфеля. 

До  начала  1950-х  гг.  риск  был  определен  только  качественно, т. е. большинство менеджеров использовали обобщенную классификацию  акций,  подразделяя  их на консервативные, дешевые,  растущие, доходные и спекулятивные. Подобное несовершенство в отношении  оценки  инвестиций  создали  исключительно  благоприятные условия для ученых — попытаться применить формальную аналитическую технику к практическим проблемам, связанным с выбором инвестиций. В результате возникло значительное количество новых идей относительно инвестиционного процесса, что в конечном счете и сформировало современную теорию оценки инвестиций, или теорию портфеля.

Современная теория портфеля, трактуя риск в количественных терминах и основываясь на тщательном анализе и оценке индивидуальных ценных бумаг, дает количественную определенность целям портфеля и в зависимости от заданных параметров соотношения дохода и риска портфеля определяет состав портфеля.[13]

Первой работой, в которой были изложены принципы формирования портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли и риска портфеля явилась работа г.  Марковица под названием  «Выбор портфеля:   эффективная   диверсификация   инвестиций».   Она   была опубликована в журнале в 1952 г., а в 1959 г. издана отдельной книгой. Эта работа дала толчок для целой серии исследований и публикаций, имеющих дело с механизмом оценки ценных бумаг, в резуль­тате чего были разработаны основы теории оценки инвестиций, суть которой составляет так называемая «Модель оценки финансовых активов» (Capital Assets Pricing Model, САРМ).

Марковиц исходил из предположения, что большинство инвесторов стараются избегать риска, если это не компенсируется более высокой доходностью инвестиций. Для какой-либо заданной ожидаемой  нормы  прибыли  большинство  инвесторов  будут  предпочитать  тот портфель, который обеспечит минимальное отклонение от ожидаемого значения. Таким образом, риск был определен Марковицем как неопределенность или способность ожидаемого результата к расхож­дению, измеряемого посредством стандартного отклонения. Это была первая попытка дать количественную оценку степени инвестицион­ного риска, учитываемого при формировании портфеля.

Предполагая, что инвесторы стараются избегать риска, Марковиц пришел к выводу, что инвесторы будут пытаться минимизировать стандартное отклонение доходности портфеля путем диверсифика­ции ценных бумаг в портфеле. Но особенно важно то, что, как под­черкнул Марковиц, сочетание различных выпусков ценных бумаг и портфеле может незначительно снизить отклонение ожидаемой до­ходности, если эти ценные бумаги имеют высокую степень позитив­ной ковариации. Эффект от диверсификации достигается только и том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, которые ве­дут себя несхожим образом. В этом случае стандартное отклонение доходности портфеля может быть значительно меньше, чем отклоне­ния для индивидуальных ценных бумаг в портфеле.

Это положение легко объясняется на примере портфеля, состоя­щего из двух акций. Если акции ведут себя совершенно одинаково, то в этом случае комбинация ценных бумаг в портфеле не снижает риска портфеля. В то же время если две ценные бу­маги имеют абсолютно негативную корреляцию (Сог=-1), то риск портфеля может быть полностью исключен.

Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой акции ожидаемую доходность, ее стандартное отклонение и ковариацию между акциями. Если имеется эта инфор­мация, то, как показал Марковиц, с помощью квадратичного про­граммирования можно определить набор «эффективных портфелей», что иллюстрируется с помощью графика на рис. 5. R (%)

                                                          F

                                       C

                      B

                                           A

               F

                                     (рис.1).                   (%

Кривая эффективных портфелей

Согласно трактовке Марковица, если имеется некий портфель А, то он является субоптимальным или неэффективным, так как портфель В мог бы обеспечить тот же самый уровень ожидаемой доходности с меньшей степенью риска, в то вре­мя как портфель С при той же сте­пени риска мог бы обеспечить более высокую ожидаемую доходность. Та­ким образом, все эффективные порт­фели должны лежать на кривой EF, которая часто называется «эффек­тивной границей» Марковица.

Портфели, которые лежат в средней части кривой, обычно содержат много ценных бумаг, в то время как ближе к краям всего несколько. Точка F ассоциируется с тем, что все инвестиции вложены в акции одного вида, с максимальной ожидаемой доходностью. А точка Е соответствует тому положению, когда сочетание нескольких акции в портфеле обеспечивает наименьшую степени риска портфеля.

Итак, модель Марковица не дает возможности выбрать оптималь­ный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определенного уровня риска.

Различные инвесторы и портфельные менеджеры будут выбирав различные решения в достижении состава портфеля в зависимости от их отношения к риску, например, так называемые «консервативные» инвесторы (т.е. те, кто заинтересован в сохранении своих капиталов и получении постоянной и предсказуемой прибыли) будут отдавать  предпочтение  портфелям,  лежащим  в  более  левой  нижней части  кривой  эффективной  границы  Марковица.   Более  «агрессивные» инвесторы (те, кто идет на более высокий риск в надежде по­лучить более высокую, но менее определенную ожидаемую отдачу) будут формировать свои портфели, находящиеся ближе к точке F на кривой.

Разумеется, следует иметь в виду, что сформированный однажд эффективный портфель не остается таковым в течение длительного  времени, так как курсы акций подвержены постоянным изменениям и, следовательно, эти эффективные портфели приходится постоянно пересматривать. Однако это обстоятельство в условиях высокой компьютеризации расчетов не является сегодня значимой проблемой.

Модель Марковица явилась предметом критики как со стороны теоретиков, так и практиков. Первое возражение относится к предположению Марковица о том, что рациональные инвесторы отвергают риск. [14]

Второй вопрос состоит в том, является ли стандартное отклоне­ние наиболее подходящей мерой  степени риска? Дело  в  том,  что Марковиц и его последователи использовали колебания цен акций, имевшие место в прошлые периоды, для оценки будущего изменения цен акций. Но будущее может не повторять прошлое развитие. Кроме того, если инвестор приобретает акции с целью длительного владения ими, и при этом не возникает потребности в высокой ликвидности акций, то колебание цены акций в этом случае не является реальным  риском.   Вопрос  объясняется   в  данном   случае  уровнем окончательной цены, и здесь риск таких акций скорее может быть объяснен, например, риском банкротства предприятия.

Кроме того, были и остаются некоторые чисто практические обстоятельства, ограничивающие использование модели Марковица. Они заключается в том, что специалисты-практики трудно воспри­нимают математические выкладки. Другое ограничение заключается в том, что для того чтобы сохранить желаемый баланс сочетания «риск-доходность» портфеля, нужно постоянно переоценивать все множество ценных бумаг, а это требует большого числа информации и математических вычислений. Сам Марковиц подчеркивал, что ана­лиз 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций.