Узоры, фракталы и их искусный мастер

 

МБОУ «Первомайская  средняя общеобразовательная школа»

Оренбургского района Оренбургской области

 

 

                       

 

     ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ   РАБОТА

«УЗОРЫ, ФРАКТАЛЫ И ИХ ИСКУСНЫЙ МАСТЕР»

 

             

                                                                   

 

    Выполнила:   Мусорина Виктория

                                  ученица 7 класса

                                                        Научный  руководитель:

                                                                                 Газизова Валерия Валерьевна

учитель математики                                                                высшей категории

 

п. Экспериментальный

2011г

 

                                                         Оглавление

 

Пояснительная записка……………………………………………………………………..2 

 

Введение. Формула красоты………………………………………………………………..3 

Глава 1. Снежинки и галактики – это фракталы……. …………………………………..5. 

Глава 2. Фракталы в живой природе…………………………………………………….....6. 

Глава 3.  Фракталы в математике и изобретениях человека ……………………………..9 

Глава 4.  Наши исследования………………………………………………………………12.

Глава 5. Заключение, выводы……………………………………………………………...16

 

Список используемой литературы и  сайтов Интернета………………………………….17

Приложения…………………………………………………………………………………

                 

               

     

• Объект  исследования:
• предметы домашнего обихода,  человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека,   окружающий растительный   мир.
• Предмет  исследования:
• форма и строение исследуемых предметов и явлений.
• Цель исследования:

выявить принципы самоподобия  в различных областях, проверить гармонию узоров   числовыми закономерностями, по «видимому» познать «невидимое».

 

• Задачи работы:    
• Описать геометрический смысл фрактала.
• Узнать о  применении фракталов в науке;
• Увидеть единство в строении человека, растительного мира и неживой природы  с точки зрения фрактальной геометрии.

 

• Новизна  исследования:
• Открытие фракталов   в окружающей нас действительности.

• Практическая  значимость:

• Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов.

 

• Умения и навыки:
• Организация  и проведение   эксперимента.
• Использование  специальной литературы.
• Приобретение  умения  делать обзор  собранного материала (доклад, презентацию)
• Оформление работы  рисунками, диаграммами, фотографиями.
• Активное  участие   в обсуждении  своей работы.

 

• Методы исследования:
• эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).
• теоретический (логическая ступень познания).

                                     

 

                                   

 

Пояснительная записка

 

Каждый день мы видим всевозможные узоры:

 

 

                                                                                                                                 

 

И понимаем, что кто-то приложил   немало усилий,  чтобы их придумать.

А что можно  сказать об узорах, которые мы встречаем  в природе? Что открывают они?

Проектируя  дом, архитектору нужно не только проработать каждую деталь, но и убедиться в том, что все они вписываются в общий план.

А как  устроена жизнь? Видим ли мы вокруг   доказательства тщательного планирования и всеобщей гармонии?

       Мы обратились  к современному источнику информации  – к Интернету.

 И обнаружили, что существует целая  теория, по которой многое в мире, в том числе и замысловатые узоры - является фракталами.   Просто в одно время для нас это очевидно, а в другое нет, из-за сложности фрактальной структуры, и из-за того, что мы воспринимаем лишь малую часть этой структуры. Если эта теория верна, то очень многое в мире можно «просчитать» математически. 

   Странная, загадочная  вещь: фракталы!!! Ветвящиеся и повторяющиеся, они окружают нас повсюду! В биологии они встречаются на каждом шагу. Фракталы есть в наших лёгких, мозге, кровеносных сосудах. Цветы, растения, всё, что формирует погоду, ритмы нашего сердца. Это сама сущность жизни. Вы найдёте их,  изучая фотографию причудливого узора облаков во время урагана. Гряда гор, звёзды в галактике, и даже антенна в нашем сотовом телефоне – всё это фракталы!!! 

 

                                       Так что же такое «фракталы»?

Это плод человеческого воображения?

                       Или   может быть, это закон вселенной?

                                                Или это  -   мистическая    тайна?

 

Мы захотели узнать о тайнах  узоров, называемых фракталами. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

 

Как не вспомнить: «… и создал он его по образу и подобию своему…».  Мы – части целого, и подобны целому, ибо Вселенная фрактальна! Поэтому есть шанс познать устройство целого, познавая его частности. По «видимому» изучить «невидимое».

 

• Гипотеза:
• в окружающей нас действительности всё  построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.
• Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

 

 

 

Введение. Формула красоты.

 

                                                           Чудесны тайны мирозданья,

                                                                Которое Господь создал.

                                                                            Фрактал с природой тесно слит,

                                                                                        Куда не кинешь взор – фрактал!

 

Сегодня вряд ли можно найти человека,  который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них живо представляешь  себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных  множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы.

 

 

                                               

 

множество Мандельброта       Множество Жюлиа                     фрактал, созданный

                                                                                                           компьютером                                                                                                                                                                                                                                 

 

 

 Фракталы поразительно напоминают  объекты живой и неживой природы  вокруг нас. Словом они "как  настоящие". Скорее всего, именно  поэтому, однажды увидев, человек  уже не может их забыть.

Любопытную мысль приводит в  своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт:

 

"Почему  геометрию часто называют холодной  и сухой? Одна из причин заключается  в том, что она неспособна  достаточно точно описать форму  облака, горы, дерева или берега  моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой.

Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число  различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. 
   Существование этих структур бросает нам вызов в виде… трудной задачи изучения».  

 Мы не можем описать камень  или границы острова с помощью  прямых, кружков и треугольников.  И здесь нам приходят на  помощь фракталы. 

      Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент ''разветвление'' повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Так появляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

  Что же такое фрактал?

 

Фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при             каждом уменьшении масштаба.

 

Структуры, похожие на фракталы, можно повсюду обнаружить в окружающей нас природе:

 

 

                              

границы облаков, границы морских побережий, трещины в некоторых породах, зимние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полученные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сердечной мышцы и т.д.

В последние 20 лет фракталы стали  очень популярны.

Сегодня область применения фракталов все время увеличивается. Например, фракталы используют экономисты для анализа поведения биржевых рынков, в радиотехнике, интернет-технологиях, в архивации данных, фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

 

Рассмотрим  примеры, где встречаются  фракталы

 в живой и неживой  природе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Снежинки и галактики – это фракталы!

 

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.

Рассмотрим отдельную снежинку:

 

                 

Её лучи разветвляются снова  и снова, образуя лучики меньших  размеров.

 Именно это свойство самоподобия  в математике называют фракталом. 

 

 

           

 

 

Ещё один вид фрактальной   конфигурации – это  разделённ  ая   на камеры раковина

наутилуса. Подрастая, наутилус строит  новые, всё большие камеры, отделяя  их  от тех,  которые ему уже больше не нужны.

      В   результате  образуется   фрактальная спираль, которая, увеличиваясь,  сохраняет ту

 же  форму.

Подобного рода спирали образуют и облака во время урагана,  и звёзды в галактике:

 

 

                           

 

 

Что же лежит в основе этих структур?

Об этом мы поговорим в главе  «Наши исследования». 

 

 

 

 

2.Фракталы в живой природе.

 

Где  же ещё в природе  встречаются примеры фрактальных структур?

Свойство самоподобия демонстрируют  и деревья. От ствола отходят ветви, от них ветки  поменьше и так  далее.

 

 

 

Вот довольно простой фрактал - если мы увеличим картинку, мы получим нечто  похожее на неё целиком. Хотя, и  не точную копию.

 

                            

Это листья папоротника. Присмотритесь к структуре листа.

Фантастическая система коммуникаций! И с запасом прочности - если один из боковых каналов повреждается, находятся альтернативные.

Папоротники - пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. При этом они еще интересны тем, что папоротники - одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями.

Возможно, в этом есть какая-то закономерность: чем древнее биологическая форма, тем более ясно в ней прослеживается фрактал, что говорит о простых правилах, на которых строится форма организма.

 

Узел лишайника на камне:

 

   Одно наблюдение: у высших  растений, таких, как деревья,          крупные фрагменты фрактала расположены в центре растения    (ветви).