Узоры, фракталы и их искусный мастер

В лишайнике наоборот, крупные       фрагменты фрактала    расположены  на периферии организма.

 Просто повод задуматься    о многообразии фрактальных форм  в природе.  

        Вот довольно  простой фрактал - если мы увеличим картинку, мы получим нечто похожее на неё целиком.

 

Простота  позволяет предположить, что это  растение довольно древнее (по нашей  гипотезе, что чем проще и очевиднее  фрактальная структура растения, тем оно древнее с эволюционной точки зрения).  

      Растения - и деревья и травы  - обладают выраженной фрактальной  формой, в отличие, например от  животных. Кроме того, что фрактальную  структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений  также фрактально.

Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией. Тем не менее, снова и снова мы имеем самоподобие, действующее в различных масштабах, то есть, имеем дело с фракталом 

А теперь посмотрим, как  устроен человек.

      На первый взгляд он не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места.

      Кровеносная, дыхательная, нервная система, форма головного мозга - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке.

      Рассмотрим   кровеносную систему в лёгком.

Тут переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных...

 

                        

 

 Последняя картинка в этом ряду – баобаб. Нет, она сюда попала не случайно.

 Чтобы можно было сравнить и задать себе вопрос:

 Почему структура ветвей баобаба похожа на кровеносную систему легкого?

 Не потому ли, что всё подчинено единым фрактальным закономерностям?

 

     

А  это рентгеновский снимок

кровеносных сосудов мозга.

 

  

 

 Плавные линии характерны  для фракталов, в которых участвуют  потоки жидкостей. Сравните, например, со следующей картинкой...

 

 

   Да, это не абстракционистский пейзаж, так выглядят ткани мозжечка - одного из самых древних разделов головного мозга. Дендриты, исходящие от нейронов образуют густейшие заросли, очень похожие на заросли болотистых лиственных лесов.

Вы задумывались когда-нибудь, что  мы буквально мыслим фракталами?

Тут есть о чем задуматься –  кто будет спорить, что мозг –  одно из самых удивительных и уникальных творений природы. И оказывается, он внешне имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы!!!

 

 

 

     Выраженной фрактальной  структурой обладают 

      дендриты-отростки  от  нейронов.

 

      При увеличении  видно, что каждый из них 

      имеет свои отростки, от  которых в свою очередь

      отходят более мелкие… 

 

А это сетчатка нашего глаза:

 

     Сетчатка содержит  светочувствительные клетки, благодаря  которым мы видим. На этом  снимке они желтовато-зеленые. Они действительно образуют сеть (сетчатку), но эта сеть хаотична и фрактальна.

Розовые каналы - это кровеносные  сосуды, а красные полосы - ткани, которые служат несущей основой, фундаментом сетчатки. 

 

Мы рассмотрели множество образов, в которых ясно видна фрактальность.

И увидели, что фракталы – сама суть природы.  Неслучайно первая книга открывателя фракталов Бенуа Мандельброта называлась "Фрактальная геометрия природы". Как живой, так и неживой. Как человеческой, так и нечеловеческой.

Неудивительно, что и наше сознание подчиняется тем же фрактальным  законам.

А теперь рассмотрим фракталы в математике.

 

 

 

 

 

 

3. Фракталы в математике и изобретениях

человека.

 

треугольник  Серпинского:

 

 

 

 

 

Пример простого самоподобного  фрактала --- ковер Серпинского, придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.

 

Следующие чертежи объясняют способ построения.

 Мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти:

 

 

 

 

 

 

Дерево Пифагора:

 

На «красной крыше»- треугольнике  мы строим «желтый домик»-квадратик, а на нём – снова «красную крышу», и так до бесконечности.

 

 

                                                     Снежинка Коха.

 

Эта «снежинка» придумана Гельгом фон Кохом в 1904 году.

 

:

 

А вот способ её построения:

 

 Отрезок делим на три равные части. Убираем среднюю треть.

И добавим два новых отрезка  такой длины, как показано на рисунке  б).

 Повторяем  данную процедуру многократно, на каждом шагу заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.

 

 Интересно, что  снежинку  Коха называли математическим  монстром 19 века.

Да, это фантазия математика! Но к какому удивительному открытию подтолкнула она человечество!!!

 

В 90^Х   годах 20 века   радиоастроном из Бостона   Н. Коуэн  использовал математику фракталов, чтобы совершить прорыв в области электронных средств   связи.

У Коуэна было хобби. Он был радиолюбителем.  И однажды он послушал лекцию   доктора Мальденброта о крупномасштабной структуре вселенной. И о том, как с помощью фракталов понять, что это за структуры. Коуэн посмотрел  на фракталы со своей точки зрения. Он сказал: «Как было бы забавно сделать антенну такой формы.

 

 Интересно, как она будет  работать?      

А что, если я её изогну вот таким  вот образом?» 

Результаты превзошли все ожидания! Он поразился тому, как антенна  стала работать.  Было сделано  открытие: фрактальная форма антенн не только позволяет сделать их меньше, но и расширить доступный для них диапазон радиоволн.

 Коуэн доказал математическую  теорему:

 

Чтобы антенна была широкополосной,

она должна иметь форму самоподобной кривой.

 

Оказалось, что математически можно доказать, что это единственный способ сделать такую антенну. Коуэн сделал своё открытие, когда телефонные компании столкнулись с важной проблемой: они расширяли возможности своих аппаратов, предлагая покупателям новые услуги, такие, как блютуз, вай фай и другие.

 

Пример фрактальных антенн в сотовых телефонах:

 

     

 

Но каждая из этих услуг требовала  своей частоты. Необходимо было суметь использовать 10 разных частот, но так, чтобы из телефона не торчало 10 разных антенн. Иначе ваш мобильник   станет похож на дикобраза.

 

 Мы увидим, в течение  ближайших 10-20 лет фракталы найдут еще большее применение, потому, что это единственный способ  уменьшить себестоимость и размер сложных телекоммуникационных систем.

 

 

4. Наши исследования.

 

Итак, спирали облаков  во время урагана,

                           завитки на маленькой раковине,

                                          звёзды в галактике, 

                                                       семена в корзине подсолнечника…

 

Продолжим наши наблюдения - что же лежит в основе этих  спиральных структур?

Какие фракталы, созданные природой растут рядом с нами на зелёной  лужайке?

Попробуем разобраться, изучая строение

 

• подсолнуха,
• ананаса,
• ромашки полевой,
• зонтика   дикой моркови. 

         

                                                       Шаг1.

 

Возьмём подсолнух:       

 

 

Рассмотрим его поближе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, семена подсолнечника расположены  не хаотично, а спиральками, закрученными на некоторый угол.

 Этот угол приближённо равен 137,5 градусов.   Это особенный угол, его  называют «золотым углом». Именно  благодаря ему создаётся максимально компактная структура с чётким спиральным рисунком. А если этот угол изменить, например, сделать 140 градусов, то получилась бы  радиальная структура и расположение семян было бы не таким рациональным.

 Видим,  что  развитие корзинки подсолнечника происходит не  стихийно, а подчинено какому-то хитрому закону. Какому?

  При детальном рассмотрении можно заметить удивительную зависимость между «золотым углом» и рядом чисел, называемым последовательностью Фибоначчи.

 

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 4181;…

В этом ряду каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Интересно, что числа Фибоначчи можно разглядеть во многих растениях. Вот, например, у подсолнечника 34 спирали закручены в одну сторону,  и 55  - в другую. Оба эти числа входят в последовательность Фибоначчи.

 

Шаг2.

 

Возьмём для эксперимента ананас.

 

 

 8 спиралей

13 спиралей 8 спиралей

 

 

Числа 8 и 13 тоже входят в последовательность Фибоначчи.

Экзотический фрукт ананас имеет  фрактальное строение!!!

 

  Шаг3.

 

Возьмём полевую ромашку.

 

 

 

Мы внимательно изучили  строение сердцевины и заметили, что спиральки тычинок закручены под тем же золотым углом.

 Количество спиралек – 34 спирали в одну сторону и  55 спиралек в другую!!!

Это числа из ряда Фибоначчи.

 

 

 

 

                

 

                                                                        Шаг 4.

Свойство самоподобия мы замечаем и в

зонтиках дикой моркови.  Каждая веточка в зонтике заканчивается  таким же зонтиком, но поменьше

и так далее.   

 

Вывод:

В наших исследованиях мы увидели, что окружающие нас растения содержат золотой угол и обладают свойством самоподобия, что отражает  гармоничность их строения.

Подсолнух, ананас, ромашка  и дикая морковь устроены с математической точностью.

 

                                                      

                                                              Заключение.

                                                       

                                                                       Фрактальная симметрия,

                                                                       Я гимн тебе пою!

                                                                      На море и на суше

                                                                      Тебя я узнаю!

                                                                       Снежинки и галактики-

                                                                       Нигде без математики!

                                                                       Всё с точностью отмерено,

                                                                       Законами проверено!

 

  Мы изучили фракталы.  Проанализировали проявления фракталов в окружающей нас действительности  а также научные открытия, связанные с существованием фракталов.

 Мы обнаружили   удивительную математическую связь между золотым углом и рациональным  расположением семян и тычинок, между числом спиралей у растений и числами в последовательности  Фибоначчи. Эта связь доказывает, что узоры, которые мы встречаем в природе возникли не случайно. Все они подчинены единым строгим законам.

 

Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается.

Действительно, всё в  мире продуманно и просчитано самым  главным нашим дизайнером – Природой!

 

    Мы убедились, что  у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных узорах от крохотной снежинки до спирали галактики.

  Нас поразил тот факт, что антенны в наших сотовых телефонах имеют фрактальную форму и именно это позволяет им  принимать широкий диапазон   радиоволн. Это доказали с помощью математики! Когда мы осознали,  что хитроумный инженер может использовать фракталы в самых разных устройствах, мы лучше поняли, почему Природа, которая хитрее любого инженера,  тоже широко их использует.

    Также мы увидели строгую математику в строении человека. Кровеносная, дыхательная система, строение сетчатки глаза и тканей мозжечка – это биологические фракталы.