Сызықық есептеу жүйесін крамер әдісімен шешу

 

КІРІСПЕ

Паскаль  тілін  1973  жылы   швейцар  математигі  Никлаус  Вирт  жасап   шығарады  да,  атақты   француз  математигі,  физигі, философы  және  алғашқы  есептеу   машинасы - арифмометрді /1641/  жасаған Блез  Паскальдің   құрметіне  "Паскаль"  деп ат  қойды.

Паскаль тілі  оқып   үйренуге   жеңіл, түрлі  салалық   информациямен   жұмыс  істеуде  нәтижелі   болғандықтан,  дүние  жүзінде  көп  тараған   тілдердің  бірі  болып  табылады.

Паскаль  тілі:

·  алгоритм  құрылымын  сақтап  құрылған;

· жоғары  деңгейлі   программалау  тілдерінің    жақсы  қасиеттерін   жинақтаған;

· қазіргі    замандағы   көптеген     программалау     тілдерінің    негізі   болып  саналады;

    Сондықтан   бұл   тілдің   нақты  ЭВМ - нің    мүмкіндігіне    байланысты   бірнеше   түрлері  бар.

Курстық жұмысымның тақырыбы Крамер әдісімен теңдеулер шешуге программа  құру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І. ЕСЕПТІҢ БЕРІЛУІ. КРАМЕР ФОРМУЛАЛАРЫ

Бізге белгісізі бар сызықтық теңдеуден тұратын жүйе берілсін:

  (1)

Мұндағы   - белгісіздер, - белгісіздердің коэффиценттері; - бос мүшелер.

Анықтама. Белгісіздердің (1) жүйедегі теңдеулердің әрқайсысын тепе-теңдікке айналдыратын мәндерін жүйенің шешімі деп атайды. Шешімі бар жүйені үйлесімді, шешімі жоқ жүйені үйлесімсіз жүйе деп атайды.

Белгісіздердің коэффиценттерінен  құралған анықтауышты

            (2)

жүйенің (немесе жүйеге сәйкес) анықтауышы деп атайды.

Теорема. Егер (1) жүйеге сәйкес (2) анықтауыштың мәні нөлден өзгеше болса, онда (1) жүйе үйлесімді болады және оның жалғыз ғана шешімі болады.

Енді  -дің мәнін табу үшін (1) жүйедегі бірінші теңдеудің -ге , екінші теңдеуді -ге тағы сол сияқты ең соңғы теңдеуді -ге көбейтіп, одан шығатын теңдеулерді мүшелеп қосамыз. Сонда мынау шығады:

Анықтауыштың анықтамасы бойынша, бұл теңдіктің -дің коэффиценті -ға тең болады, ал - дердің коэффиценттері нөлге айналады. Сондықтан

,

яғни  болғандықтан,

 болады.

Мұндағы

,

. 

Енді  -ні табу үшін (1) жүйедегі бірінші теңдеуді -ге, екінші теңдеуді - ге тағы сол сияқты соңғы теңдеуді - ге көбейтіп, шыққан теңдеулерді мүшелеп қосамыз. Сонда алдындағы айтылғандай белгісіздердің коэффиценттері нөлге айналып, мынау шығады:

Жалпы үшін төменгі формула шығады:

сонымен (3)

Мұндағы ретті анықтауыш, оның - дан айырмашылығы тек к – тік жолдың элементтерінің орнына сәйкес бос мүшелерді қойсақ, шығады. Сөйтіп, (1) жүйедегі белгісіздердің мәні (3) формулаларымен анықталады. Олар (3) Крамер формуласы деп аталады.

1-мысал. 

 жүйенің шешімін табу керек.

Жүйенің анықтауышы

нөлге тең болмағандықтан, оның шешімі Крамер формулаларымен анықталады. Мұнда

 

 

 

сондықтан

болады.

Егер (1) жүйедегі барлық бос мүшелер  болса, онда ондай жүйені біртектес жүйе деп атайды.

Біртектес жүйе

әрқашан үйлесімді болады, өйткені  оның шешімі болады. Бұл шешімді нөлдік шешім дейді. Егер біртектес жүйенің анықтауышы болса, онда жүйенің нөлдік шешімінен басқа шешімі болмайды. Біртектес жүйе үшін Крамер формулалары мына түрге көшеді:

Осыдан біз біртектес жүйенің нөлдік шешімінен басқа шешімінің, тек болғанда ғана болуы мүмкін деген қорытындыға келеміз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. ЕСЕПТІ ШЕШУДЕГІ  ҚОЛДАНЫЛҒАН ПРОГРАММАЛАУ ОРТАСЫ. ТУРБО ПАСКАЛЬ ПРОГРАММАЛАУ ТІЛІ.

2.1 Компьютерді Турбо Паскальда жұмыс істеуге даярлау

 

Турбо Паскальда жұмыс  істеге дайындау жолы:

WINDOWS-тан проводникке  шығу үшін:

(Пуск)®Программы®проводник орындаймыз.

Егер компьютерде Borland Pascal 7.0 қондырылған болса, онда  С:\   дискісінде BP каталогында BIN каталогын ашамыз, курсорды bp.exe атауына әкеліп, Enter басу. Borland Pascal 7.0 версиясына шығамыз.

Паскальда жұмыс жасау:

• Жаңа документ ашу керек болса, онда file мәзірінен new пунктін таңдау;
• Егер бұрынғы документте өзгеріс енгізу керек болса file мәзірінен open пунктін таңдап, керекті файлды ашамыз;
• Терілген программаның дұрыстығын тексеру үшін; Alt +F9  пернелер  комбинациясын басамыз,   егер   программада қате  болса,  курсор  жіберілген   жерді көрсетіп   тұрады,   қатені  түзетеміз. Қате  толық   түзетілгенде   ғана    компиляциядан   өтеді;
• Программаны  сақтап  қою   үшін  File   мәзірінен  SAVE  пунктін  таңдау,  файлдың атын   жазу;
• Программаны    орындауға(компиляция)  жіберу Ctrl + F9; 
• Нәтижені    экранға   шығару Alt + F5;
• Файлды    дискетаға   жазып  алу, SAVE   пуктін   таңдап,  келесі   команданы тереміз: А:\  файлдың атын  жазу;
• Дискетаны    ашу   келесі   орындалады, OPEN   пунктін таңдап,  келесі   команданы   тереміз: А:\   файлдың  атын  жазу. Enter  пернесін   басамыз. Сонда   дискет  іші   ашылады. Еректі   файлды  таңдап   Enter    пернесін басу   керек;

 

 

2.2 Паскаль  тілінің   негізгі    элементтері

Паскаль  тілінің  құрамы   мына  символдар  тобынан   тұрады.  Олар - әріптер,  цифрлар,   логикалық  мәндер,   шектемелер ,  қызметші   сөздер.

Әріптер:   Паскаль  тілінде   негізінен   латын   алфавиті:

     À B C D E G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z    пайдаланылады.

Цифрлар:   араб   цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  қолданылады.

Логикалық   мәндер: true- ақиқат     false- жалған.  Бұл сөздердің   әрқайсысы символ   болып табылады.

Шектемелер. Шектемелер   амалдарда   қолданылатын   шектемелер,  ара  қатынасты   көрсететін  шектемелер,  шекаралық   шектемелер   болып  бөлінеді.

1)   Амалдарда   қолданылатын   шектемелер:

Қосу(+),  азайту (-),  көбейту(*),  бөлу(/), 

Div (а div  b-а  санын b  санына  бөлгендегі   бүтін бөлігі),

mod (а  mod  b-a  санын  b  санына  бөлгендегі  қалдық),

2)  Ара   қатынасты   көрсететін   шектемелер:

кіші(<),   кіші  немесе  тең (<=),  үлкен   немесе  тең(>=),  тең(=),  тең  емес(< >).

3)  Логикалық  амалдардағы   шектемелер:

and(логикалық   көбейту-  және (Ù))

or (логикалық  қосу  - немесе(Ú))

not (логикалық    терістеу  - емес( -))

3)  Шекаралық  шектемелер. Шекаралық   шектемелерге   конструкциялық   шектемелер   мен  жақшалар   жатады.

Конструкциялық   шектемелерге   үтір(,) , нүкте(.),  қос   нүкте(:),  нүктелі   үтір (;), бағыттауыш(­),  меншіктеу таңбасы(:-),  ашық   орын  жатады.

Жақшаларға   дөңгелек   жақша,  квадрат  жақша,  тырнақша,   түсініктеме  жатады.

Жоғарыда   айтылған  символдардан  басқа !,?,%   символдары   да  қолданылуы  мүмкін.

Қызметші  сөздер. Қызметші  сөздің   әрқайсысы   белгілі   бір  мағынаны   көрсетеді  және   олар  ағылшын  тілінде  жазылады. Қызметші  сөздер  мағынасына  қарай "бағыттаушы"   және "сипаттаушы"   деп  екі   топқа   бөлінеді.  Бұлардан  басқа  да  қызметші   сөздер   болуы   мүмкін.  Егер  бар  болса,   онда  олар  қосымша   анықталуды  керек  етпей - ақ,  компилятор   арқылы  пайдаланыла  береді.

 

2.3 Бағыттаушы    қызметші  сөздер

Қызметші   сөз	Орысша  аудармасы	Қазақша   аудармасы
begin end goto if then else for do until while to downto repeat in read write	начало конец перейти к если то иначе для выполнить до пока увеличивая до... уменьшая... повторить в ввести вывести	басы соңы  көшу егер онда әйтпесе үшін орындау дейін әзір … дейін   көбейту дейін  азайту қайталау ішінде енгізу қорытындылау

 

 

2.4 Сипаттаушы   қызметші   сөздер:

 

Қызметші   сөз	Орысша  аудармасы	Қазақша   аудармасы
array case const file function label packet procedure program set record type var	Массив Вариант константа файл фукнция метка упакованный процедура программа множество запись тип переменная	массив вариант тұрақты,   константа файл фукнция белгі ықшамдалған процедура программа жиын жазба типі айнымалы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Стандартты   функциялар

№	функция	Функцияның    жазылуы	Аргументтің  типі	Функцияның   мәнінің  типі
1	çхç	ABS(x)	R,1	R,I
2	x2	SQR(x)	R,1	R,I
3	Sin x	SIN (x)	R,I	R
4	Cos x	COS (x)	R,I	R
5	ex	EXP (x)	R,I	R
6	ln x	LN (x)	R,I	R
7	Öx	SQRT (x)	R,I	R
8	arctg x	ARCTG (x)	R,I	R
9	Санның   бүтін  бөлігін  бөлу	TRUNC (x)	R	I
10	Санды   дөңгелектеу	ROUND (x)	R	I
11	Алдыңғы   элементті   табу	PRED (x)	I,C,B	I
12	Келесі  элементті   табу	SUCC (x)	I,C,B	I
13	Символдар   жиынындағы х - ң  реттік  нөмерін анықтау	ORD (x)	C,B	I
14	Реттік   нөмірі  арқылы символдар   жиынын символды   табу	CHR (x)	I	C
15	Тақ  санды   анықтау	ODD (x)	I	B

 

                   I –Integer, R-real,  C-char,  B-boolean

 

 

2.6 Паскаль   тілінде   программалау.

Программа   құрылымы. Қарапайым  программа

Алгоритм  сызықтық , тармақталу және   циклді  болып кездеседі. Оның   жалпы   жазылу  түрі:

   алг   <атау> (айнымалылар сипаттамасы).

        басы

              <алгоритм  денесі>

        соңы,

Машинаға   түсінікті   тілдердің   бірінде   жазылған  алгоритмді   программа деп   атайды.

   Паскаль  тілінде   программаның    структурасы 

 

proqram <аты>;

таңбалар   бөлімі (label);

тұрақтылар  бөлімі (const);

типтер  бөлімі (type);

айнымалылар  бөлімі (var);

процедуралар  және  функциялар   бөлімі (procedure,function);

операторлар  бөлімі.

 

Input, output-стандартты  атаулар.  Input (ендіру)-программаға   клавиатурадан ендіру операторы. Оutput (шығару)-экранға не  қағазға басып шығару    операторы енгізілген кезде   жазылады. Оларды  жақшалармен  қоса  программа  тақырыбына   енгізбей   кету мүмкін,  компьютер  оларды  тақырыпта   бар  деп  автоматты   түрде   қабылдайды.. Программаға  операторлар  бөлімінен  басқа  бөлімдердің   енгізілуі міндетті    емес. Олар  қажеттілігіне   қарай   енгізілуі  тиіс.

                    

Паскаль  операторлары:

-  меншіктеу   операторы;

• ендіру  (read);
• шығару   операторы (write);

-  құрама   оператор ;

• шартты   оператор (if);

-  таңдау   операторы  (case);

• "әзірше"   циклінің   операторы (while);
• "үшін"   циклінің   операторы (for);
• "дейін"  циклінің  операторы (repeat);
• көшу   операторы (goto);
• бос   оператор  т.б.

 

Оператор   құрамына  бір  не  бірнеше   қызметші   сөз   енуі   мүмкін.  Олардың   біріншісін  жай,  екіншісін   құрылымды   опрератор   деп   атайды.  Паскальдағы  меншіктеу, ендіру,  шығару,  көшу   және  бос   операторлары - жай,  қалған  операторлар  құрылымды.

Операторлар   бөлімі  жай  және  құрылымды   операторлардан   тұруы  мүмкін. Ол BEGIN-  нен  басталып, END  -пен  аяқталады  да,  олардың  аралығы   нүктелі   үтір  арқылы   ажыратылып,  орындалушы   операторлар   жазылады. END   қызметші   сөзінің  соңына    нүкте   қойылуы  тиіс, ол  - программаның   аяқталу  белгісі. BEGIN