Финансовое прогнозирование

ŷ_t+1=f(x₁, x₂,…, x_n).

     Однопараметрические методы следует использовать при  краткосрочном (менее одного года) прогнозирования показателей, изменяющихся еженедельно или ежемесячно. Многопараметрические оправдывают себя для средне- и долгосрочного прогнозирования.

     Выбор конкретного параметрического метода прогнозирования, кроме того, зависит  от характера исходной статистической базы. В качестве исходных данных могут быть взяты выборочные наблюдения и динамические ряды. В первом случае в качестве инструмента прогноза применяется регрессия. Значительно чаще, чем случайная выборка, информационной базой для прогноза являются динамические ряды.

Тогда в качестве инструментов прогноза выступают  тренды, авторегрессия, смешанная авторегрессия и т.п.

     Наиболее  распространенными из группы математических методов являются методы прогнозной экстраполяции. Временной ряд при экстраполяции представляется в виде суммы детерминированной (неслучайной) составляющей, называемой трендом, и стохастической (случайной) составляющей, отражающей случайные колебания или шумы процесса.

     Прогнозную  экстраполяцию можно разбить  на два этапа.

     • Выбор оптимального вида функции, описывающей  ретроспективный ряд данных. Выбору математической функции для описания тренда предшествует преобразование исходных данных с использованием сглаживания и аналитического выравнивания динамического ряда.

     • Расчет коэффициентов (параметров) функции, выбранной для экстраполяции.

Для оценки коэффициентов чаще остальных используется метод наименьших квадратов (МНК).

     Сущность  МНК состоит в отыскании коэффициентов  модели тренда, минимизирующих ее отклонение от исходного временного ряда:

S =  ∑(y_t - ŷ)² → min,                                                                    (2.3)

где ŷ, - расчетные (теоретические) значения тренда;

у — фактические значения ретроспективного ряда;

n — число наблюдений.

     Подбор  модели в каждом конкретном случае осуществляется по целому статистически ряду критериев (дисперсии, корреляционному отношению и др.). Кроме того, для выбора зависимости ŷ_t=f(t) существует несколько подходов. Это метод последовательных разностей, метод характеристик прироста, визуальный (глазомерный) выбор формы. Расчет оценок прироста показателя, дополненный визуальным выбором взаимосвязи, уменьшает риск неправильного выбора модели для прогнозирования. В частности, могут быть рекомендованы следующие аппроксимирующие зависимости:

∆ Y / ∆ t = const → ŷ_t =a₀ + a₁ t,                                                           (2.4)

∆ ln y / ∆ t = const → ŷ_t = a₀ t^a,                                                             (2.5)

∆ ln y / ∆ ln t = const → ŷ_t = a₀ t^t₁,                                                        (2.6)

∆ Y² / ∆ X² = const → ŷ_t = a₀ + a₁ t + a₂ t²,                                            (2.7)

∆ (t / y) / ∆ t = const → ŷ_t = t / (a₀ + a₁ t).                                               (2.8)

Рис. 2.2.Пример нахождения тренда

     Спрос на ряд непродовольственных товаров  может быть описан степенной функцией или экспонентой (особенно на активных этапах жизненного цикла товаров). Общие закономерности спроса отражаются кривой Гомперца. При изучении влияния фактора времени на спрос может быть использована логистическая (сигмоидальная) кривая. Процесс затухания роста спроса по мере перехода населения к группам населения с более высоким доходом отражается полулогарифмической кривой.

     В развитии рынка как единого экономического пространства (как и в развитии локальных рынков) могут проявиться определенная повторяемость, цикличность, обусловленная как внутренними свойствами рынка, так и внешними причинами.

     Внутригодовая цикличность носит часто сезонный характер. При изучении сезонных процессов часто применяется спектральный анализ, который позволяет прогнозировать тенденции, динамика которых содержит колебательные или гармонические составляющие [31].

     Сезонные  волны можно описать гармоникой ряда Фурье:

ŷ=α₀+∑^m_k(α_k coskt + b_k sinkt),                                    (2.9)

где t- номер гармоники ряда Фурье;

ао  и аk, bk  — определяют по МНК;

k - число гармоник (1,2,...)

     Иногда  целесообразно использовать метод линейно-кусочных агрегатов, то есть моделировать и прогнозировать каждый этап ЖЦТ с помощью трендовой и (или) многофакторной модели, отражающей закономерности каждого этапа.

     Отмеченные  ранее методы механического выравнивания могут также выступать в роли самостоятельных методов статистического прогнозирования.

     Прогнозирование на основе адаптивных скользящих средних производится с использованием следующих формул: 

Рис.2.3. График сезонной компоненты временного ряда 

M_i = M_i-1 + (y_i - y_i-m) / (m),                                                                 (2.10)

где M_i – скользящая средняя, отнесенная к концу интервала. 

M_i = ŷ_t = (∑^t+p_i=1 y_i) / (m).                                                                  (2.11) 

     Первый  член уравнения (2.10) – М_i-1 несет «груз прошлого» - инерцию развития, а второй адаптирует среднюю к новым условиям. Таким образом, средняя как бы обновляется, «впитывая» информацию о фактически реализуемом процессе (степень обновления определяется весом 1/т).

     Экспоненциальные  средние. Влияние прошлых наблюдений должно затухать по мере удаления от момента, для которого определяется средняя. Для этой цели используют экспоненциальное сглаживание, применяемое в краткосрочном прогнозировании (идея Н.Винера):

Q_t = α · y_t + (1+α) · Q_t-1,                                                                          (2.12) 

где Q_t - экспоненциальная средняя на момент t;

а - коэффициент, характеризующий вес текущего наблюдения (параметр сглаживания).

При расчете  по формуле (2.12) необходимо выбрать Q_t-1. Часто  

 Q_t-1  принимают равным y_t.

     Применение  метода успешно, когда ряд имеет  достаточно большое число уровней. Чем меньше а, тем больше роль «фильтра», поглощающего колебания 0< а <1. Практически диапазон а ограничивается величинами 0,1; 0,3. Хорошие результаты дает а = 0,1. При выборе а следует иметь в виду, что для повышения скорости реакции на изменение процесса развития необходимо повысить а, однако это уменьшает «фильтрационные» возможности средней.

     Специфика экономических процессов состоит  в том, что они обладают взаимосвязью и инерционностью. Последнее означает, что значение фактического показателя в момент времени зависит определенным образом от состояния этого показателя в предыдущих периодах, т.е. значения прогнозируемого показателя должны рассматриваться как факторные признаки.  

     Уравнение авторегрессионной зависимости  в общем имеет вид:

ŷ_t = α₀ + α₁ · y_t-1 + α₂ · y_t-2 +...+ α_k · y_t-k,                                          (2.13) 

где ŷ_t – прогнозируемые значения показателя в момент времени t;

      y_{t-1 –} значения показателя y в момент времени (t-i);

α₁ – i-тый коэффициент регрессии.

Часто прогнозируемый показатель зависит не только от предшествующих состояний, но и от других факторов x. Тогда говорят о смешанной авторегрессии:

ŷ_t = α₁ · y_t-1 + α₂ · y_t-2 +...+ α_k · y_t-k + b₁ · x₁ + b₂ · x₂ +...+ b_m · x_m =

= ∑^k_i=1 α_i · y_t-I + ∑^m_j=1 b_j · x_j.                                                                       (2.14) 

     Важно иметь в виду, что экстраполяция  в рядах динамики носит приближенный и условный характер. Поэтому применение методов экстраполяции не должно становиться самоцелью, а при разработке социально-экономических прогнозов должна привлекаться дополнительная информация, на основе которой в полученные методом экстраполяции количественные оценки вносятся соответствующие коррективы.

     Методы  экономико-математического моделирования  применяются преимущественно в" среднесрочном, а также в долгосрочном прогнозировании.

В данной группе методов можно выделить корреляционно-регрессионное моделирование, которое используется для объектов, имеющих сложную многофакторную природу (объем инвестиций, затраты, прибыль, объемы продаж и т.п.). Для осуществления регрессионного моделирования необходимо [30]:

- наличие ежегодных  данных по исследуемым показателям;

- наличие одноразовых  прогнозов, то есть таких, которые  не корректируются с поступлением новых данных.

     Наиболее  разработанной в теории прогнозирования  является методология так называемой парной корреляции, рассматривающей влияние факторного признака х на результативный у. Методы оценки параметров уравнения регрессии аналогичны приемам при экстраполяции (т.к. фактор времени ? можно рассматривать как частный случай параметра х). На практике же гораздо чаще приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных. В этом случае статистическая модель является многофакторной. Например, линейная регрессия с т независимыми переменными имеет вид:

ŷ_i = α₀ · x₀ + α₁ · x₁ + α₂ · x₂ +...+ α_m · x_m.                                                       (2.18)

     Оценки  параметров находят по МНК. Отбор факторов для построения многофакторных моделей производится на основе качественного и количественного анализа социально-экономических явлений с использованием статистических и математических критериев.

     Общепринятым  является трехстадийный отбор факторов:

     1. На первой стадии осуществляется  априорный анализ, и на факторы, включаемые в состав модели, не накладываются ограничения.

     2. На второй стадии производится оценка и отсев части факторов. Это достигается путем анализа парных коэффициентов корреляции и оценкой их значимости. Для этого составляется матрица парных коэффициентов корреляции.

Анализ таблицы  ведется с использованием следующих  критериев:

r_yi > r_ij ; r_yj > r_ij ; r_ij > 0,8 ,                                                                                       (2.19)

где r_ij — парные коэффициенты корреляции.

3. На  заключительной стадии производят  окончательный отбор факторов путем анализа значимости вектора оценок параметров различных вариантов уравнений множественной регрессии с использованием критерия Стьюдента:

t_расч  >  t_k,a,                                                                                                            (2.20)                                                                

где k - число степеней свободы,

 а- уровень значимости.

     Следует иметь в виду, что в условиях переходной экономики происходят кардинальные изменения в организационно-производственных системах и структурах (спроса, потребностей, цен и т.п.), а следовательно, достаточно проблематично сделать вывод о том, можно ли доверять результатам математического параметрического прогнозирования, так как эти методы целесообразно применять тогда, когда за время упреждения не изменяются ни функции, ни структура объекта прогнозирования. В этой ситуации параметрические методы могут применяться:

     • при краткосрочном прогнозировании, когда вероятность структурных изменений невелика;