по p_1:

     -U_pr’/(u_cb^’ ) ₊ λ*₁₊ μ*₁(f’_a1 (q₁| а*_1, b*₁) / f(q₁| а*_1, b*₁))  =0

     по r_1:

     -U_pr’/(u_mf^’ ) ₊ λ*₂₊ μ*₂(f’_b1 (q₁| а*_1, b*₁) / f(q₁| а*_1, b*₁))  =0

     по a1:

     ∂E U_pr/∂a1 + λ*₁ ∂E U_cb/∂a1 + λ*₂∂E U_mf/∂a1 + μ*₁ ∂²E U_cb/∂²a1 + μ*₂∂²E U_mf/∂²a1 =0

     поb1:

     ∂E U_pr/∂b1 + λ*₁ ∂E U_cb/∂b1 + λ*₂∂E U_mf/∂b1 + μ*₁ ∂²E U_cb/∂²b1 + μ*₂∂²E U_mf/∂²b1 =0

     μ_1, μ_2, λ_1, λ₂ > 0 (по доказанному Gravelle, Rees, 1992)

     Дифференцируя полученные уравнения по  q_1, выводим контракты для  ЦБ и Минфина:

Для ЦБ:

 ∂ r_1/ ∂q₁₌ (R_pr/ ((R_mf R_pr)/ R_cb +R_mf +R_pr)-( R_pr)/ R_cb )(μ₁ (U’_cb/ U’_pr) ((∂( f’_a1/f)/∂q₁₎1/ ((R_mf R_pr)/ R_cb +R_mf +R_pr)+ μ₂( R_pr+ R_cb)/ R_cb ) (U’_mf/ U’_pr)((∂( f’_b1/f)/∂q₁)(1/ ((R_mf R_pr)/ R_cb +R_mf +R_pr)     [5]

Для Минфина:

∂ p_1/ ∂q₁₌ (R_pr/ ((R_cb R_pr)/ R_mf +R_cb +R_pr) - ( R_pr)/ R_mf )(μ₂ (U’_mf/ U’_pr) ((∂( f’_b1/f)/∂q₁₎1/ ((R_cb R_pr)/ R_mf +R_cb +R_pr)+ μ₁( R_pr+ R_mf)/ R_mf ) (U’_cb/ U’_pr)((∂( f’_a1/f)/∂q₁)(1/ ((R_cb R_pr)/ R_mf +R_cb +R_pr)     [6]

     (μ₁ (U’_cb/ U’_pr) (∂( f’_a1/f)/∂q₁)>0

     (μ₂ (U’_mf/ U’_pr) (∂( f’_b1/f)/∂q₁)>0, (по доказанному Gravelle, Rees, 1992)

     Решения второго наилучшего отличаются т  первого наилучшего дополнительными слагаемыми. Рассмотрим контракт ЦБ: Дополнительное слагаемое,   соответствующее самому ЦБ - μ₁( R_pr+ R_mf)/ R_mf ) (U’_cb/ U’_pr)((∂( f’_a1/f)/∂q₁)(1/ ((R_cb R_pr)/ R_mf +R_cb +R_pr), увеличивает его оплату, так как оно положительное, второе слагаемое - ( R_pr)/ R_mf )(μ₂ (U’_mf/ U’_pr) ((∂( f’_b1/f)/∂q₁₎1/ ((R_cb R_pr)/ R_mf +R_cb +R_pr), идет со знаком минус, хотя само оно положительное, соответствует коллеге агента и может снизить оплату ЦБ. Трансферт Минфина симметричен трансферту ЦБ. В результате оплата агентов зависит от соотношения параметров: склонности к риску, функции плотности, функций полезности.

     Далее перейдем к ситуации партнерства без принципала. Как мы помним из обзора литературы, (Holmstrom, 1982) Холмстром находит оптимальный контракт для множества агентов в условии не наблюдаемости усилий и неопределенного выпуска. Уточним, что Холмстром решает задачу партнерства, а не взаимодействия принципал-агент и максимизирует не полезность принципала, а общественное благосостояние.

     В этом случае при выпуске большем или равным  Парето оптимуму каждый агент получает линейную долю от выпуска, если выпуск меньше Парето оптимума агенты получают линейную долю от выпуска и штраф.

     Парето  оптимум:

     Мax ∫( q₁₎f(q₁| а_1, b₁)d q₁ +ßα - ψ1– ψ2 по а_1, b₁

     ∫( q₁₎f _а1’(q₁| а_1, b₁)d q₁ -ψ1’ _а1

     ∫( q₁₎f _b1’(q₁| а_1, b₁)d q₁ -ψ1’ _b1

     Отсюда  мы находим оптимальные значения для а*_1, b*₁ и определяем контракты для агентов:

     Для ЦБ:

     Если, q₁≥ q₁(а*_1, b*₁) p₁(q₁)= p₁q₁                                                                                                                          [7]

     Если, q₁≥ q₁(а*_1, b*₁) p₁(q₁)= p₁q₁ – k1, где k1-штраф для ЦБ

     Для Минфина:

     Если, q₁≥ q₁(а*_1, b*₁) r₁(q₁)= r₁q₁                                                                                                                           [8]

     Если, q₁≥ q₁(а*_1, b*₁) r₁(q₁)= r₁q₁ – k2, где k2-штраф для Минфина

     При условии, что p₁+ r₁=1, k1, k1>0

     Для того, чтобы а*_1, b*₁ были равновесием по Нэшу, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

     p₁(∂Eq₁(a1*, b1*)/∂a1) – k1∂F(q1, a1,b1)∂a1 – ψ1’(a1*)=0

     p₁(∂Eq₁(a1*, b1*)/∂b1) – k2∂F(q1, a1,b1)∂b1 – ψ2’(b1*)=0

     (по  доказанному (Holmstrom, 1982), если q1 (a1*, b1*) стремиться к нулю, k1, k2 стремятся к бесконечности)

Интерпретация результатов для модели со случайным выпуском

     В модели со случайным выпуском по инфляции также возникает проблема морального риска. В случае первого наилучшего контракты для ЦБ и Минфина [3], [4] зависят от коэффициентов абсолютной несклонности к риску принципала и агентов.  Чем больше агент не склонен  риску, тем меньше его трансферт. Чем больше коэффициент абсолютной несклонности к риску принципала, а также коллеги агента, тем больше трансферт агента. Взаимозависимость агентов обусловлена нелинейностью к риску функции полезности принципала.

     Контракты второго наилучшего [5], [6]  зависят не только от коэффициентов абсолютной несклонности к риску агентов, но и от реакции соотношения f’_a1/f, f’_b1/f, то есть отношений производных по усилиям к функции распределения на изменения выпуска. Решения второго наилучшего отличаются от первого наилучшего дополнительными слагаемыми. В контракте ЦБ дополнительное слагаемое,   соответствующее самому ЦБ, увеличивает его оплату, так как оно положительное, второе слагаемое, отрицательное, соответствует коллеге агента и  может снизить оплату ЦБ. Трансферт Минфина симметричен трансферту ЦБ. В результате неопределенности и взаимозависимости агентов, контракт второго наилучшего может быть больше или меньше контракта при наблюдаемых усилиях.

     Для случайного выпуска при предположении  о нейтральности к риску принципала возможно применение схемы  Холмстрома [7], [8] которая была разработана им для партнерства. В случае стохастического выпуска схема Холмстрома позволяет принципалу более гибко реагировать на действия агентов в случае не оптимальности выпуска и не обнулять их доход, а применять штраф.

     Заключение

     В данной работе была выдвинута гипотеза о том, что ввиду не наблюдаемости действий ЦБ и Минфина по регулированию инфляции, а также ввиду множественности заданий у обоих агентов, ЦБ и Минфин склонны уделять меньше внимания общему делу – инфляции, и больше концентрироваться на своих отдельных заданиях соответственно на обменном курсе и бюджетной политике. Эта гипотеза была положительно доказана с помощью построения модели с принципалом, двумя агентами, у каждого из которых по два задания, не наблюдаемыми усилиями по общему заданию – инфляции, и наблюдаемыми по обменному курсу у ЦБ и бюджетной политике у Минфина. В случае детерминированного выпуска по инфляции, оказалось, что функции реакции агентов на оплату выглядят таким образом, что количество усилий агента, направляемое на задание, прямо зависит от оплаты за это задание и обратно от оплаты за смежное задание. Учитывая, что усилия агентов по инфляции не наблюдаемы, оплата по этому заданию зависит не от усилий агентов, а от общего выпуска. Подобная контрактация ведет к тому, что принципал платит им меньше, чем в Парето оптимуме, тогда как по второму заданию, усилия по которому наблюдаемы, оплата агентов соответствует Парето оптимальной. Таким образом, как следует из функции реакции агентов, они перекладывают усилия  с менее на более оплачиваемое задание. Чтобы избежать этого можно применить схему Хомстрома и дифференцировать оплату в случае достижения и не достижения оптимального показателя, однако, учитывая, что в нашем случае речь идет о ЦБ и Минфине, оказывается, что бинарная схема слишком ригидна и вряд ли применима в реальности. Негибкость схемы оплаты обусловлена отсутствием какой-либо информации о влиянии усилий агентов на выпуск инфляции.  В случае стохастического выпуска по инфляции выпуск связан с усилиями через функцию распределения. Мы оказываемся в похожей ситуации, что и с детерминированным выпуском, однако, благодаря функции распределения, мы обладаем дополнительной информацией и можем применить схему Холмстрома, разработанную для случайного выпуска, которая обладает большей гибкостью, чем схема для фиксированного выпуска, так как зависит от функции распределения, и поэтому больше подходит рассматриваемой ситуации.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Литература:

1. Holmstrom, B. «Moral Hazard in Teams». The Bell Journal of Economics, Vol. 13, No. 2. (Autumn, 1982), pp. 324-340.
2. Holmstrom, B. «Moral Hazard and Observability.» Ben Journal ofEconomics, Vol. 10, No. I (Spring 1979).
3. Vislie,  J. «Efficiency and equilibria in complementary teams». Journal of Economic Behavior and Organization 23 (1994) 83-91. North-Holland
4. Holmstrom, B., Milgrom, P. «Multitask Principal-Agent Analyses: Incentive Contracts, Asset Ownership, and Job Design». Journal of Law, Economics & Organization; 1991 Special Issue, Vol. 7 Issue 2, p24, 29p, 1 graph
5. Shuhe, L., Zhang, W. «Optimal assignment of principalship in teams». Journal of Economic Behavior & Organization Vol. 44 (2001) 105–127
6. Rasmusen, E. «Moral Hazard in Risk-Averse Teams». The RAND Journal of Economics, Vol. 18, No. 3. (Autumn, 1987), pp. 428-435.
7. Legros, P., Matsushima, M., «Efficiency in Partnerships». JOURNAL OF ECONOMIC THEORY 55, 296-322 (1991)
8. Legros, P., Matthews, S., «Efficient and Nearly-Efficient Partnerships». Review of Economic Studies (1993)  
9. Williams, S., Radner, R., “Efficiency in Partnerships when the Joint Output is Uncertain,” Discussion Paper No. 760, Northwestern University, 1988.

10. Microeconomics, Gravelle, Rees. – 2^nd ed. Longman, New York 1992
11. Dewatripont, Tirole, 2003 Unpublished
12. Contract Theory, Bolton, Dewatripont, - The MIT Press Cambridge, Massachusetts London, Englang 2005