Сам Холстром в дальнейших работах также продолжает исследовать ему оптимального контракта в команде.  В модели  1991 года (Holmstrom, 1991) он рассматривает случай полной заменимости усилий при условии фиксированного контракта и доказывает, что делегирование одного задания двум одинаковым агентам не эффективно, так как принципалу приходится два раза платить за одно и тоже задание.  К сожалению, мы не можем воспользоваться этим результатом, так как в нашей модели усилия не абсолютно взаимозаменяемы.

     Джон  Висли ( Vislie, 1994) в своей работе также опирается на статью Холмстрома 1982, однако изменяет предпосылки исходной модели, достигает первого наилучшего, вводя полную не заменимость усилий. Автор строит модель с двумя агентами в команде без принципала, ненаблюдаемыми усилиями, детерминированным выпуском, линейной системой оплаты  и производственной функции леонтьевского типа. В этом случае можно реализовать эффективное равновесие по Нэшу и избежать проблемы безбилетника.

     Шу  и Шанг (Shuhe and Zhang, 2001) улучшают ситуацию второго наилучшего посредством введения  мониторинга внутри команды: один работает, другой наблюдает или взаимный мониторинг. Авторы используют вогнутую стохастическую технологию, линейную систему оплаты, принципала, двух агентов, у каждого из которых два типа усилий: на производство и на мониторинг другого агента. Парето улучшение достигается за счет того, один агент берет на себя функции мониторинга, управления и является получателем всего дохода от усилий обоих агентов. Мониторинг вряд ли можно включить в нашу модель, так это слишком большое отклонение от исходных предпосылок, к тому в нашей модели эти функции предположительно выполняет принципал.

       Легрос и Матсушима (Legros, Matsushima 1991) решают проблему безбилетника в модели со стохастическим выпуском с помощью разрешения сторонних выплат, то есть выплат, которые агенты делают друг другу. В статье авторы определяют оптимальные   трансферты, при которых  может быть достигнута эффективность в партнерстве  нескольких агентов без принципала.  Для определения трансфертов, при которых достигается  равновесие по Нэшу авторы вводят меру близости стратегий и индекс, измеряющий выгоду от отклонений от оптимальной стратегии усилий. Этот способ также вряд ли применим в нашем случае, так как трудно представить себе  сторонние выплаты Минфину от ЦБ и наоборот.

     Легрос  и Мэтьюз (Legros, Matthews 1993) приближаются к первому наилучшему в смешанных стратегиях. Выпуск равен сумме усилий агентов. Функция выпуска задается явно, в отличии от неопределенной  вогнутой функции как у Холмстрома. Функции издержек работников квадратичны. Как и в других подобных исследованиях авторы отталкиваются от первого наилучшего, далее переходят к ситуации с ненаблюдаемыми действиями. Первый агент рандомизизирует и с небольшой вероятностью может отклоняться от равновесного по Нэшу уровня усилий. Второй агент всегда выбирает усилия равные равновесным. Легрос и Мэтьюз вводят меняющуюся в зависимости от выпуска систему оплаты с штрафом, с помощью которой они приближаются к равновесию по Нэшу в условии не наблюдаемости усилий. Схема стимулов действует следующим образом: если суммарный выпуск слишком мал,  второй агент (который не рандомизирует) наказан штрафом, который достается первому (рандомизирующему агенту). В этом случае у первого агента есть стимул сделать выпуск как можно меньше, однако в виду наложенных ограничений на значение выпуска, при котором штрафуется второй агент , ни у одного из них нет стимулов отклоняться от равновесия. Получается, что благодаря этой схеме, первый агент случайным образом контролирует действия второго агента. Эта схема могла бы быть применима к нашей ситуации, однако она предполагает, что участники не симметричны, и рандомизирует один из них, в то время как мы подразумеваем наших агентов, ЦБ и Минфина, симметричными.

     Раднер  и Уильмсон (Williams, Radner, 1988) достигают первого наилучшего в условиях не наблюдаемости усилий с помощью введении стохастической  технологии. В модели Radner, Williamson вводят функцию распределения общего выпуска, которая зависит от  выбора индивидуальных усилий каждого работника. Авторы рассматривают ситуацию с множеством нейтральных к риску агентов без принципала, которое решают единственное задание. Оказывается, что когда существует более чем два уровня выпуска, возможна реализация случая первого наилучшего. Нелинейный контракт при данных предпосылках позволяет достичь равновесия по Нэшу. 

     Расмусен (Rasmusen, 1987) в своей статье 1987 берет за основу модель Холмстрома 1982, однако добивается первого наилучшего  с помощью введения стохастической системы оплаты.  Расмусен немного видоизменяет предпосылки исходной модели 1982 года: у Холмстрома функция полезности работника линейно зависит от  зарплаты, Расмусен вводит экспоненциальную функцию, а также ограничение на ответственность работника, то есть нижний отрицательный порог его оплаты.  Расмусен отталкивается от равновесия по Нэшу, если выпуск равен равновесному, то каждому агенту выплачивается его доля, если выпуск выше этого значения то излишек равномерно распределяется между агентами, если ниже то выбирается агент и с него взымается штраф, остальные же агенты получают оплату таким образом, что сумма всех выплат укладывается в бюджет. Оплата агентов, с которых не сняли штраф в случае низкого выпуска, может быть больше или меньше трансферта в случае равновесия, поэтому у агента может быть стимул не прикладывать достаточно усилий и достичь большего дохода, чем при равновесии. Зная эти условия, агент решает задачу максимизации полезности, делая выбор между возможностью быть оштрафованным и получить доход больше равновесного, если кто-то  другой проштрафится. В результате получается, что если агенты достаточно несклонны к риску или штраф достаточно высок, можно реализовать равновесие по Нэшу как Парето оптимум. Эта система оплаты отличается от предложенной Холмстромом тем, что штраф налагается не на всех агентов, а на одного, случайно выбранного. Данная схема не подходит в нашем случае, так как предполагается, что штраф взятый с одного агента может быть передан другому. Трудно предположить перераспределение средств между Минфином и ЦБ.

     Существует  множество путей решения  проблемы неэффективности при не наблюдаемых усилиях, однако эти решения не универсальны, и каждый случай со своими особенными предпосылками требует отдельного подхода. Авторы, о которых речь шла выше, находят выход из проблемы морального риска путем разработки нелинейной, а , например дискретной, как Холмстром или Расмусен, системы оплаты, или путем введения нестандартной предпосылки, например как  Висли, который предполагает, что производственная функция имеет леонтьевский вид, или же авторы идут еще дальше и предполагают возможность мониторинга между агентами, как   Шу и Шанг, или наличие выплат  друг другу агентами , как Легрос и Матсушима.  Наш случай также требует разработки новой схемы стимулирования двух агентов, у каждого из которых есть по два задания, и усилия которых не наблюдаемы.

     Далее рассмотрим литературу, посвященную множественности заданий у одного агента.  

     В нашей истории усилия агентов по одним заданиям влияют на результаты по другим заданиям:

• Чем больше  ЦБ заботится об обменном курсе, тем меньше вероятность снижения инфляции и наоборот.
• Чем больше Минфин тратит денег из бюджета, тем выше вероятность роста инфляции .

       Влияния усилий по одним заданиям  на результаты по другим заданиям введено Деватрипоном и Тиролем (Dewatripont, Tirole, 2003) В модели принципал и агент с двумя заданиями нейтральны к риску. Усилия агента  по одному заданию  отрицательно влияют на вероятность положительного  результата по другому заданию и наоборот. Автор доказывает, чем сильнее негативное взаимовлияние усилий на результаты по смежным заданиям, тем более выгодно поручить эти задания разным агентам. Следуя Тиролю, мы могли бы рассуждать например следующим образом.  Так как усилия Минфина по снижению цены отсечения в Стабфонд, усложнят ему планирование бюджета, Минфину необходимо перестать заниматься инфляцией и устанавливать цену отсечения в зависимости от нужд бюджета.  Однако, в нашем случае такое решение не возможно, так как усилия агентов не взаимозаменяемы. Если разрешить Минфину не заниматься инфляцией, мы лишимся механизма снижения инфляции посредством стерилизации через Стабфонд. ЦБ в одиночку не справиться с инфляцией, даже если его усилия будут направлены только на нее, так как, ЦБ не обладает инструментами Минфина, то есть не определяет цену отсечения в Стабфонд, а стерилизует только через процентные ставки и операции на межбанковском рынке. Таким образом, если поручить инфляцию полностью ЦБ, а бюджет целиком Минфину, показатели по инфляции, вероятно, будут ниже, чем если бы оба эти агента влияли на инфляцию вполсилы через свои инструменты.  Следовательно, подход Деватрипона и Тироля не подходит для нашей модели.

     Взаимозависимость усилий по разным заданиям  у одного агента представлена в модели Холмстрома и Милгрома (Holmstrom, Milgrom, 1991) Взаимосвязь усилий передается через функцию издержек. Подробнее разберем эту модель дальше, так как именно этот тип функции издержек будет использован в нашей модели.

     Глава 2

Модель  с двумя агентами, двумя заданиями, не наблюдаемыми усилиями

     Наша  модель представляет собой комбинацию модели с не наблюдаемыми усилиями множественных агентов и модели с  одним  агентом и множественными заданиями. Подобной модели еще не было сконструировано в микроэкономической теории, поэтому мы начнем с применения к нашей модели результатов уже доказанных для случая с несколькими агентами без множественности заданий.  Мы рассмотрим модель с детерминированным и со случайным выпуском.

  Детерминированный выпуск

     Предпосылки модели:

     Усилия  ЦБ направленные на стабилизацию курса: а₂, на инфляцию: а₁. Функция издержек ЦБ: ψ1= ½(с₁а₁² + с₂а₂²)  + δа₁а₂

     с_1, с₂ – веса в общей функции издержек усилий направленных ЦБ соответственно на инфляцию и на стабилизацию курса.

     δ, 0≤δ≤√c1c2 – параметр, измеряющий степень тяжести выполнения  ЦБ обоих заданий. Чем больше δ, тем менее совместимы задания, и тем больше издержки ЦБ на одновременное их выполнение, то есть чем выше предельное усилие агента по одному заданию, тем выше предельные издержки по смежному заданию. В нашем случае δ > 0, так как чем больше ЦБ заботится об обменном курсе, тем сложнее ему поддерживать инфляцию около запланированного правительством значения.

     Усилия  Минфина  направленные на проектирование и реализацию бюджета: b₂, на инфляцию: b₁. Функция издержек Минфина : ψ2= ½(d₁b₁² + d₂b₂²)  + γb₁b₂

     d_1, d₂ – веса усилий направленных соответственно на инфляцию и на стабилизацию курса в функции издержек Минфина. d_1, d₂ – измеряют относительную сложность выполнения для Минфина заданий по инфляции и по бюджету.

     γ, 0≤γ≤√d1d2 – параметр, измеряющий степень несовместимости заданий Минфина. Чем больше γ, тем менее совместимы задания, и тем больше издержки Минфина на одновременное их выполнение. В нашем случае γ > 0, так как чем больше ЦБ заботится об обменном курсе, тем сложнее ему поддерживать инфляцию около запланированного правительством значения.

     Два агента: ЦБ и Минфин контролируют три  показателя:

     1) отклонение инфляции от цели: (π* -π) = q1. Этот показатель складывается из усилий ЦБ и минфина по регулированию инфляции: q1=( а₁ + b₁). Возьмем явную функцию выпуска как у Легроса и Мэтьюза (Legros, Matthews 1993) для упрощения модели.

     2) отклонение обменного курса от цели (е-е*)² = q2. В нашей модели обменный курс контролируется исключительно ЦБ. q2=а₂.

     3) Бюджетные  расходы g=q3,  контролируются Минфином. q3=b₂

     α, ß, 1 - представляют собой веса выпусков соответственно инфляции, обменного  курса, бюджетной политики в функции  полезности принципала.

     Принципал, то есть общество предлагает  агентам контракты:

     Для ЦБ: w₁= t₁+ p₂q₂ + p₁(q₁)

     Контракт линеен по обменному курсу: p₂q₂, не линеен по инфляции: p₁(q₁),  t1-  фиксированная часть контракта.

     Для Минфина: w₂= t₂+ r₃q₃ + r₁(q₁)

     Контракт  линеен по бюджетной политике: r₃q₃, не линеен по инфляции: r₁(q₁),  t2-  фиксированная часть контракта.

     Как видно из контрактов для ЦБ и Минфина, принципал наблюдает действия ЦБ по регулированию обменного курса и действия Минфина по бюджетной политике, трансферты по этим заданиям агентов зависят только от усилий самих агентов. Например: для ЦБ оплата результата по обменному курсу: p₂q₂= p₂а_2. Инфляция является общим заданием агентов, поэтому трансферт за усилия направленные на регулирование этого показателя, зависит от наблюдаемого уровня отклонения инфляции от запланированного значения, а не от вкладов каждого агента в инфляцию, которые не наблюдаемы для принципала.  Трансферт для ЦБ по инфляции: p₁(q₁)= p₁(q₁(a₁₊b₁))

     Принципал нейтрален к риску. Функция полезности принципала:

     Upr=α  q₁ + ß q₂ + q₃ - w₁– w₂

     Коэффициенты  при q_1, q_2, q₃ означают степень важности для принципала соответственно инфляции, обменного курса, бюджетных расходов. Коэффициенты нормированы, поэтому при q₃ коэффициент равен единице.

     Агенты  обладают функцией  полезности  вида CARA с постоянной  несклонностью к риску. Функция полезности ЦБ:

     Ucb= -e^{-η1(w1- ψ1)}

     η1- коэффициент абсолютной несклонности к риску ЦБ^.