Микроэкономическое обоснование взаимодействия фискальной и монетарной политики

     В результате: α = p_1h’ = r_1h’,  общий выпуск равен α h(a_1,b₁), а трансферт каждому также равен p₁₌ α q₁ + константа, r₁₌ α q₁ + константа

     Следовательно_, равновесие по Нэшу для агентов и Парето оптимум не совпадают. Получается, что результат с модели с множественными заданиями, несколькими агентами с не наблюдаемыми действиями совпадает с результатом, доказанным Холмстромом и другими для моделей без множественных заданий.

Интерпретация результатов для модели с детерминированным выпуском

     Рассмотрим  функцию реакции для ЦБ [1] и для Минфина [2].

     С ростом p₂ и падением ∂p_1/∂ q₁ усилия  а₁ будут падать_, а а₂ расти, то есть ЦБ будет больше трудится над обменным курсом, чем над инфляцией. Аналогично, для Минфина, если оплата второго задания будет возрастать, а по второму падать Минфин будет больше заниматься бюджетом, а не инфляцией. Как было доказано ∂p_1/∂ q₁ в равновесии по Нэшу меньше чем в Парето оптимуме. Следовательно, предельные усилия ЦБ и Минфина по первому заданию, будут меньше, чем в ситуации First Best, более того эти усилия будут перераспределяться в пользу второго задания, что подтверждает выдвинутую в начале гипотезу о том, что ввиду не наблюдаемости усилий по инфляции и наблюдаемости по обменному курсу ЦБ больше будет заботиться   соответственно о курсе, а не  о темпе роста цен. В первом наилучшем решение для трансфертов представляют собой веса соответствующих выпусков в функции принципала.

     Оптимальное распределение усилий между агентами является решением равновесия по Нэшу для двух агентов. Функции реакции ЦБ и Минфина не зависят от наблюдаемости усилий, а зависит только от контрактов для двух заданий. В нашем случае решение задачи оптимального распределения усилий между заданиями является личной проблемой агента и решается отдельно от проблемы безбилетника. Также как решение проблемы безбилетника не зависит от оптимального распределения усилий агентов. Другими словами, если усилия агентов распределены  оптимально, принципалу не легче  бы стало придумать оптимальный контракт для того, чтобы заставить агентов не отлынивать по инфляции. Однако взаимосвязь не наблюдаемости усилий  и множественности заданий   проявляется следующим образом: будучи плохо контролируемы по инфляции, агенты прикладывают к ней недостаточно, по сравнению с оптимальным случаем усилий, однако не впустую, а направляя эти усилия на свои отдельные задания.

     Так как в нашей модели агенты раздельно оплачиваются по разным заданиям, можно применить схему Холмстрома для фиксированного выпуска для решения проблемы отлынивания агентов от задания по инфляции. Тогда принципал назначит каждому агенту в виде оплаты  равную долю от выпуска в случае, если выпуск буден равен Парето оптимальному значению. Выпуск в Парето оптимуме равен a₁+b₁=

     (с₂ α - δ ß)/( с₁ с_{2 -} δ²) +(d₂ α - γ)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )

     Оплата  ЦБ равна оплате Минфина равна1/2(q1)=1/2(с₂ α - δ ß)/( с₁ с_{2 -} δ²) +(d₂ α - γ)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )

     Для того, чтобы данное решение было равновесием по Нэшу, необходимо выполнение для ЦБ и Минфина:

     1/2(с₂ α - δ ß)/( с₁ с_{2 -} δ²) +(d₂ α - γ)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ) - ψ₁(a₁)>0

     1/2(с₂ α - δ ß)/( с₁ с_{2 -} δ²) +(d₂ α - γ)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ) - ψ₁(a₁)>0

     Если  выпуск меньше, чем оптимальный, трансферт каждому агенту за задание по инфляции равен нулю. В интерпретации нашей модели нулевой трансферт означает смену руководства ЦБ и Минфина, урезание финансирования министерств и любые другие самые жестокие карательные меры относительно ЦБ и Минфина. Контракт только с двумя  возможными исходами слишком не гибок по отношению к ЦБ и Минфину, так как вряд ли возможно применять к этим агентам жесткие меры при любом, даже незначительном отклонении выпуска от оптимального значения.

       В данной модели с двумя агентами, множественными заданиями, фиксированным выпуском мы доказали, что не возможно построить линейный контракт, в котором одновременно выполняются равновесие по Нэшу и равновесие по Парето, то есть, не достижимы контракт и усилия первого наилучшего. Для достижения оптимума можно применить к агентам контракт Холмстрома с фиксированными уровнями оплаты для двух значений выпуска: оптимальный, не оптимальный. Однако такой ригидный по отношению к усилиям агентов контракт вряд ли применим в действительности, к тому же он не является в принципе оптимальным, так как сама модель предполагает отсутствие какой-либо информации о влиянии усилий ЦБ и Минфина на выпуск, в то время как эта информация частично открыта для принципала, хотя бы в виде статистике о деятельности этих учреждений. В рассмотренной ситуации, принципал не обладает никакой информацией относительно того, каков вклад каждого агента в общий результат. Поэтому пойдем дальше, и рассмотрим модель с ненаблюдаемыми действиями и случайным выпуском. Мы использовали  функции реакции агентов для доказательства того, что не наблюдаемость усилий по инфляции ведет к переключению агентов с этого задания на обменный курс и бюджет. Далее так как наличие множественности задания не влияет на построение оптимального контракта для стимулирования ЦБ и Минфин не отлынивать от инфляции, мы опустим эту предпосылку и полностью сконцентрируемся, а не наблюдаемости.

Модель  со стохастическим выпуском

     Конструируя модель с двумя агентами и случайным  выпуском, мы будем отталкиваться от модели с одним агентом и стохастическим выпуском, разобранной Холмстромом (Holmstrom, 1979) и Гравелле с Рииз (Gravelle, Rees, 1992).  Предположим, что выпуск зависит не только от действий агента, но и от случайной величины(q₁₌ q_1, а_1, b_1, θ), где θ- случайная величина, не наблюдаемая принципалом. В нашей истории эта случайная величина отображает, как экономика реагирует на  действия ЦБ и Минфина, то есть в этой случайной величине заключены все остальные факторы, которые влияют на инфляцию помимо работы ЦБ и Минфина, например цены на экспортируемую Россией продукцию, курс иностранных валют. Существует функция распределения, которая ставит вероятность проявления выпуска в зависимость от усилий обоих агентов - F(q₁| а_1, b₁) . Усилия агентов ЦБ и Минфина измеряются соответственно: от [а₁⁰_, а₁¹], [b₁⁰, b₁¹] Выпуск инфляции (π* -π) = q1 изменяется от q₁⁰ до q₁¹ .

     Также вводятся следующие предпосылки, связанные с функцией распределения:

     1) ∂q₁/∂a₁>0,  ∂q₁/∂b₁>0

     2) Стохастическое доминирование: чем больше усилия, тем меньше вероятность низкого выпуска. F’ _а1 (q₁| а_1, b₁)<0, F’ _а1 (q₁| а_1, b₁)<0.  функция распределения выпукла. F’’ _{а1 а1} (q₁| а_1, b₁)≥0, F’’ _{b1 b1} (q₁| а_1, b₁)≥0. ∂ (f’_a1/f)_/ ∂q₁≥0 – условие выпуклости функции распределения, (f’_b1/f)_/ ∂q₁≥0 – условие монотонности вероятностного соотношения.

     Рассмотрим  функцию полезности принципала с  произвольной несклонностью к риску, а функции полезности агентов аддитивно сепарабельные по доходу и усилиям:

     EU_pr=∫U_pr ( q₁(q_{1 -} p₁(q₁) _– r₁(q₁))f(q₁| а_1, b₁)d q₁

     EU_cb=∫u_cb (p₁(q₁)) f(q₁| а_1, b₁) d q₁ - ψ1

     EU_mf(b₁)= ∫u_mf (r₁(q₁)) f(q₁| а_1, b₁) d q₁ – ψ2 (∫- интеграл от q₁⁰ до q₁¹)

     Рассмотрим  случай FIRST BEST.

     Max EU_pr по r_1, p_1, а_1, b₁

     При ограничениях:

     EU_cb   ≥U_r1

     EU_mf≥U_r2,

       [а₁⁰_, а₁¹], [b₁⁰, b₁¹], p₁(q₁)₊ r₁(q₁)) ≤(q₁)

     Множители Лагранжа для первого и второго ограничений – соответственно: λ₁, λ_2.

     Дифференцируя по r_1, p_1, получаем следующие условия:

     _- Upr’ ( q_{1 –} p*₁(q₁) –r*₁(q₁)) + λ*1 u_cb(p*₁(q₁))=0

     _- Upr’ ( q_{1 –} p*₁(q₁) –r*₁(q₁)) + λ*1 u_mf(r*₁(q₁))=0

     и по усилиям:

     ∫U_pr ( q_{1 –} p*₁(q₁) _– r*₁(q₁))f’_a1(q₁| а*_1, b₁)d q₁ + λ*₁(∫u_cb (p*₁(q₁)) f’_a1 (q₁| а*_1, b₁) d q₁ - ψ1’_a1) + λ*2 (∫u_mf (r*₁(q₁)) f’_a1 (q₁| а*_1, b₁) d q₁) =0

     ∫U_pr ( q_{1 –} p*₁(q₁) _– r*₁(q₁))f’_b1(q₁| а*_1, b*₁)d q₁ + λ*1∫u_cb (p*₁(q₁)) f’_b1 (q₁| а*_1, b*₁) d q₁

     + λ*2 ∫u_mf (r*₁(q₁)) f’_b1 (q₁| а*_1, b*₁) d q₁ - ψ1’_b1=0

     Оптимальное усилие агента равно ожидаемому предельному выпуску за вычетом издержек от усилия для принципала. Множители Лагранжа умножаются на чистые предельные издержки для агентов дополнительных усилий, учитывая что дополнительные усилия повышают издержки, но также увеличивают вероятность высоко выпуска, и, следовательно, высокой оплаты. 

     Далее дифференцируем первые два условия по выпуску для того, чтобы получить зависимость контракта каждого участника от общего выпуска.

     Дифференцируя по q_1, и_, учитывая, что –U”/U’ коэффициент абсолютной несклонности к риску (далее R с соответствующим индексом R_cb, R_mf, R_pr для ЦБ, Минфина, принципала), получаем следующие условия для оптимального контракта.

     Соотношение коэффициентов абсолютной несклонности к риску равно обратному соотношению  контрактов для агентов:

     R_cb/ R_mf=∂ r_1/ ∂q_1/∂ p_1/ ∂q₁

     Оптимальный контракт для ЦБ:

     ∂ p_1/ ∂q₁₌ R_pr/( R_pr R_cb/ R_mf  + R_pr + R_cb)                                                                    [3]

     Оптимальный контракт для Минфина:

     ∂ r_1/ ∂q₁₌ R_pr/( R_pr R _{mf /} R_cb + R_pr + R _mf)                                                                   [4]

     Чем больше агент не склонен риску, тем меньше его оплата. Чем больше коллега агента не склонен к риску, тем больше оплата самого агента. Чем больше коэффициент абсолютной несклонности к риску принципала, тем больше трансферт и ЦБ и Минфину. В условии не нейтральности к риску принципала, контракт агента зависит от коэффициента абсолютной несклонности к риску коллеги. Взаимозависимость агентов появляется в решении благодаря не линейному функции полезности принципала.

     Также должно выполняться бюджетное ограничение: p₁(q₁)₊ r₁(q₁)) ≤(q₁),

Если  агенты строго не склонны к риску, ∂ p*_1/ ∂q_1, ∂ r*_1/ ∂q₁ <1, следовательно, p*_1, r *₁ могут соответствовать бюджетному ограничению.

SECOND BEST

     Рассмотрим  случай с ненаблюдаемыми усилиями.

     При  не наблюдаемости усилий к обычной задаче максимизации принципала добавляется ограничения:

     ∂Eu_cb/∂a₁=0 =>∫u_cb (p₁(q₁)) f’_a1 (q₁| а_1, b₁) d q₁ - ψ1’_a1=0

     ∂Eu_mf/∂b₁=0=>∫u_mf (r₁(q₁)) f’_b1 (q₁| а_1, b₁) d q₁ – ψ2’_b1=0

     В результате:

     Max ∫U_pr ( q_{1 -} p₁(q₁) _– r₁(q₁))f(q₁| а_1, b₁)d q₁₊ λ1(∫u_cb (p₁(q₁)) f(q₁| а_1, b₁) d q₁ - ψ1) + λ2( ∫u_mf (r₁(q₁)) f(q₁| а_1, b₁) d q₁ – ψ2) + μ1(∫u_cb (p₁(q₁)) f’_a1 (q₁| а_1, b₁) d q₁ - ψ1’_a1)

     + μ 2 ((∫u_mf (r₁(q₁)) f’_b1 (q₁| а_1, b₁) d q₁ – ψ2’_b1)     по r_1, p_1, а_1, b₁