Микроэкономическое обоснование взаимодействия фискальной и монетарной политики

     Функция полезности Минфина:

     Umf= -e^{-η2(w2- ψ2)}

     η2- коэффициент абсолютной несклонности к риску Минфина.

     Последовательность игры:

     1. Принципал предлагает контракт w₁, w₂.

     2. ЦБ и Минфин выбирают, работать им или нет.

     3. ЦБ, если принимает контракт, выбирает уровень усилий по каждому из заданий:  a_1, а_2. Также Минфин, если соглашается на контракт, выбирает b_1, b₂

     4. Реализуются выпуски

     Таким образом, модель представляет собой  динамическую игру.

     В игре предполагается, что принципал, выбирая контракт, знает функции  полезности и резервные полезности ЦБ и Минфина, а агенты принимает контракт как данный.

     Общество  максимизирует свою функцию полезности при условии выполнения ограничений участия и ограничений совместимости стимулов агентов.

     Upr=α q₁ + ß q₂ + q₃ – (t₁+ p₂q₂ + p₁(q₁))– (t₂+ r₃q₃ + r₁(q₁))

       max по p_1, p_2, r_1, r_3, a_1, а_2, b_1, b₂

     Задача  принципала включает выбор усилий Минфина и ЦБ агентов, так как предполагается, что агенты  «благожелательны» по отношению к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готовы выбрать выгодные для общества. Это предположение базируется на том, что принципал может простимулировать благожелательные действия агентов.

     Ограничение участия для ЦБ: (далее PC (Partication constraint))

     U_cb(a_1, а₂) ≥U_r1, то есть -e^{-η1(w1- ψ1)} ≥U_r1                                                                                                                

     где U_r – резервная полезность ЦБ. Предположим для простоты, что U_r=0.

     Ограничение совместимости стимулов для ЦБ: (далее IC (Incentive constraint))

     U_cb (a_1, а₂) _≥ U_cb (a₁^{^}_, а₂^{^}), где a₁^{^}_, а₂^{^ -} любой другой уровень усилий

     Ограничение стимулов означает, что полезность агента при выборе оптимальных усилий больше ли равна полезности при других уровнях усилий при данном контракте.

     Ограничение участия для Минфина:

     U_mf(b_1, b₂) ≥U_r,

     где U_r – резервная полезность Минфина.  U_r=0.

     Ограничение совместимости стимулов для Минфина:

     U_mf (b_1, b_{2) ≥} U_{mf (}b₁^{^}_, b₂^{^}₎, где b₁^{^}_, b₂^{^ -} любой другой уровень усилий

     В решении данной задачи оттолкнемся  от ситуации, в которой усилия по первому заданию, по инфляции, агентов наблюдаемы. 

     Решение модели:

     FIRST BEST

     В данном случае принципал назначает трансферт по инфляции, исходя не из общего выпуска, а усилий каждого агента, то есть p₁(a₁), r₁(b₁), а не p₁(q₁), r₁(q₁). Напомним,  в нашей модели уже есть наблюдаемые усилия:  p₂q₂₌ p₂а_2, так как q₂₌ а_2, r₃q₃₌ r₃b_2, так как q₃₌ b_2. Предположим линейность контракта, как в классической модели Холмстрома 1982.

     Данная  задача с полностью наблюдаемыми усилиями  выглядит следующим образом  :

     U_pr=α (a_{1 +} b₁) + ß a₂ + b₂ – (t₁+ p₂a₂ + p₁a₁)– (t₂+ r₃b₂ + r₁b₁)

       max по p_1, p_2, r_1, r_3, a_1, а_2, b_1, b₂

     При ограничениях:

     PC для ЦБ: -e^{-η1(w1- ψ1)} ≥U_r1

     PC для Минфина: -e^{-η2 (w2- ψ2)} ≥U_r2

     Равновесие  по Нэшу:

     Max U_cb(a_1, а₂) (Так как мы имеем дело с экспоненциальной функцией, мы можем максимизировать выражение в скобках, а не саму функцию е^{( -)})

     Max t₁+ p₂a₂ + p₁a_{1 -} ψ1

     p_{1 =} ψ1’ _a1,   p₂₌ ψ1’ _a2

     Max U_mf(b_1, b₂)

     t₂+ r₃b₂ + r₁b_{1 –} ψ2

     r₁₌ ψ2’ _b1, r₃= ψ2’ _b1

     Равновесие  по Парето:

     Max α (a₁₊ b₁) + ß q₂ + q_{3 –} ψ1 – ψ2

     по a_1, a_2:

     α= ψ1’_a1, ß= ψ1’_a2

     по b_1, b_2:

     α ₌ ψ2’ _b1, 1= ψ2’ _b2

     Всего выпуск q₁ равен α (a₁₊ b₁). Выплаты обоим агентам по первому заданию: r₁ b_{1 +} p₁a_1. Из равновесие по Нэшу и из равновесие по Парето: α= ψ1’_a1= p_{1 ,} α = ψ2’ _b1 = r₁

     α= p₁ = r₁, выполняется бюджетное ограничение_.

     Как мы увидим далее, эти условия не выполнимы  при ненаблюдаемых усилиях по инфляции. Перейдем к случаю с ненаблюдаемыми усилиями по инфляции.

           SECOND BEST

     Исходная  формулировка:

     Upr=α q₁ + ß q₂ + q₃ – (t₁+ p₂q₂ + p₁(q₁))– (t₂+ r₃q₃ + r₁(q₁))

       max по p_1, p_2, r_1, r_3, a_1, а_2, b_1, b₂

       При ограничениях:

     PC для ЦБ: -e^{-η1(w1- ψ1)} ≥U_r1

     IC для ЦБ: U_cb (a_1, а₂) _≥ U_cb (a₁^{^}_, а₂^{^})

     PC для Минфина: -e^{-η2 (w2- ψ2)} ≥U_r

     IC для Минфина: U_mf (b_1, b_{2) ≥} U_{mf (}b₁^{^}_, b₂^{^}₎

     Так как усилия не наблюдаемы, агент максимизирует собственную полезность при выборе усилий, отсюда ограничение совместимости стимулов.

     Задача  решается методом обратной индукции, то есть с конца.

     Максимизируем функции полезности агентов по усилиям. Это соответствует условию равновесия по Нэшу.

     Для ЦБ:

     Max U_cb (a_1, а₂) по a_1, а₂

     -exp(-η1(t1 t₁+ p₂q₂ + p₁(q₁)– ½(с₁а₁² + с₂а₂²)  + δа₁а₂)

     Для Минфина:

     Max  U_mf(b_1, b₂) по (b_1, b₂)

     -exp(-η1(t₂+ r₃q₃ + r₁(q₁) - ½(d₁b₁² + d₂b₂²)  + γb₁b₂)

       Из максимизации  получаем функции реакции агентов.

     Для ЦБ:

     а₁₌ (с₂ ∂p_1/∂ q₁- δ p₂)/( с₁ с_{2 -} δ²)        [1]

     a₂₌ (с₁ p₂ - δ∂ p_1/ ∂q₁)/( с₁ с_2- δ²)

     Для того, чтобы выполнялась логика контракта и усилия агента возрастали с ростом его оплаты, необходимо выполнение условия: с₁ с₂≥δ²

     Для Минфина:

     b₁₌ (d₂ ∂r_1/∂ q₁ - γ r₃)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )          [2]

     b2₌ (d₁ r₃ - γ ∂r_1/∂ q₁)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ), при условии d₁ d₂≥δ²

     Далее максимизируем функцию полезности принципала, подставляя туда полученные функции реакции агентов, а также  их ограничения участия.

     Выразим из ограничений участия ЦБ и Минфина постоянные части трансферта t1, t2 и подставим их в функцию полезности принципала:

     t1=- p₂q₂ - p₁(q₁)+  ½(с₁а₁² + с₂а₂²)  + δа₁а₂

     t2=- r₃q₃ - r₁(q₁) + ½(d₁b₁² + d₂b₂²)  + γb₁b₂

     В  конечном счете, принципал максимизирует функцию:

     max α q₁ + ß q₂ + q₃ –½(с₁а₁² + с₂а₂²)  - δа₁а₂  - ½(d₁b₁² + d₂b₂²)  - γb₁b₂ , 

     Максимизация  этого выражения соответствует нахождению равновесия по Парето. Подставим выражения для а_1, а_2,  b_1, b_2, q_1, q_2, q₃:

     max α((с₂ ∂p_1/∂ q₁- δ p₂)/( δ^{2 -} с₁ с₂ ) + (d₂ ∂r_1/∂ q₁ - γ r₃)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ))+ ß ((с₁ p₂ - δ∂ p_1/ ∂q₁)/( δ^{2 -} с₁ с₂ )) + (d₁ r₃ - γ r₁)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ) –½(с₁ (с₂ ∂p_1/∂ q₁- δ p₂)/( δ^{2 -} с₁ с₂ )²) + с₂(с₁ p₂ - δ∂ p_1/ ∂q₁)/( δ^{2 -} с₁ с₂ ))²)  - δ((с₂ ∂p_1/∂ q₁- δ p₂)/( δ^{2 -} с₁ с₂ ))( (с₁ p₂ - δ∂ p_1/ ∂q₁)/( δ^{2 -} с₁ с₂ )) - ½(d₁ (d₂ ∂r_1/∂ q₁ - γ r₃)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ))² - ½d₂((d₁ r₃ - γ ∂r_1/∂ q₁)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ))²)  - γ(d₂ ∂r_1/∂ q₁ - γ r₃)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ ) (d₁ r₃ - γ ∂r_1/∂ q₁)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )

     по p_1, p_2, r_1, r₃

     В результате получаем решения:

       p_{2 =} ß, ∂p_1/∂ q₁ = α, ∂r_1/∂q_{1 =} α, r₃=1

     Проинтегрировав ∂p_1/∂ q₁ = α получим, что p₁(как функция от q₁) ₌ α q₁ + константа, аналогично проинтегрировав ∂r_1/∂ q₁ = α получим, что r₁₌ α q₁ + константа, но это не возможно, так как общий выпуск по первой переменной равен α q_1.

     Если  мы возьмем не определенную функцию q₁₌ a₁₊b_1, а, более общую, возрастающую, вогнутую функцию, как у Холмстрома 1982, q₁=h(a_1,b₁) и решим методом партнерства а не агентскую задачу, мы получим аналогичные результаты.

     Парето  оптимум:

     Max α h(a_1,b₁) + ß(a₂)+b_{2 –} ψ₁ – ψ₂ по a1, a2, b1, b2

     α h(a_1,b₁)’ a₁ = ψ₁^’_a1

     α h(a_1,b₁)’ b₁ = ψ₂^’_b1

     ß= ψ₁^’_a2

     1₌ ψ₂^’_b2

     Функции реакции в Парето оптимуме равны:

     Для ЦБ:

     а₁₌ (с₂ α h(a_1,b₁)’ a₁ - δ ß)/( с₁ с_{2 -} δ²)

     a₂₌ (с₁ ß - δ α h(a_1,b₁)’ a₁)/( с₁ с_2- δ²)

     Для Минфина:

     b₁₌ (d₂ α h(a_1,b₁)’ a₁ - γ r₃)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )

     b2₌ (d₁ r₃ - γ α h(a_1,b₁)’ _b1)/( γ ^{2 -} d₁ d₂ )

     Равновесие  по Нэшу:

     Max p₁(h(a_1,b₁)) + p₂ a₂ - ψ₁ по a1, a2

     p_1h’(h(a_1,b₁))’ _a1 = ψ₁’_a1

     Max r₂(h(a_1,b₁)) + r₃ b₂ – ψ₂ по  b1, b2

     r_1h’(h(a_1,b₁))’ _b1 = ψ₂’ _b1