Эконометрика. Ответы

других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения

остаточной дисперсии  за счет дополнительного включения в анализ нового

фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

     Частные коэффициенты корреляции измеряющие влияние на у фактора х_i

при неизменном уровне др. факторов можно определить по формуле:

     ; 

При  двух факторах и i=1 данная формула примет вид:

    

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

     №15. ЧАСТНЫЙ F-КРИТЕРИЙ,  ЕГО ОТЛИЧИЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО

F-КРИТЕРИЯ, СВЯЗЬ МЕЖДУ СОБОЙ  t- КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА  ДЛЯ

ОЦЕНКИ  ЗНАЧИМОСТИ b_i И ЧАСТНЫМ F

-КРИТЕРИЕМ.

Ввиду корреляции м/у факторами значимость одного и того же фактора м/б различной

в зависимости  от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки

включения фактора  в модель служит частый F-критерий, т.е. F_xi

. В общем виде  для фактора x_i частый F-критерий определяется

как :

    

Если рассматривается уравнение y=a+b₁x₁+b₂

+b₃x₃+e, то определяются последовательно F-критерий

для уравнения  с одним фактором х₁, далее F-критерий для

дополнительного включения в модель фактора х₂, т. е. для перехода

от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий

для дополнительного  включения в модель фактора х₃, т. е. дается

оценка значимости фактора х₃ после включения в модель факторов x

₁ их₂. В этом случае F-критерий для дополнительного включения

фактора х₂ после х₁ является последовательным в

отличие от F-критерия для дополнительного включения  в модель фактора х₃

, который является  частным F-критерием, ибо оценивает значимость

фактора в предположении, что он включен в модель последним. С t-критерием

Стьюдента связан именно частный F-критерий. Последовательный F-критерий может

интересовать  исследователя на стадии формирования модели. Для уравнения

y=a+b₁x₁+b₂+b₃x₃+e

оценка значимости коэффициентов регрессии Ь₁,Ь_2,,b

₃ предполагает расчет трех межфакторных коэффициентов детерминации, а

именно: ,

, и можно убедиться,

что существует связь между собой t- критерия Стьюдента для оценки значимости b

_i и частным F-критерием:

     На основе соотношения b_i и получим:

    

     №16 ПРЕДПОСЫЛКИ МНК.

При оценке параметров уравнения регрессии применяется  МНК. При этом делаются

определенные  предпосылки относительно составляющей

, которая представляет  собой ненаблюдаемую величину.

     Исследования остатков

- предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1.случайный характер  остатков; 2.нулевая средняя величина  остатков, не зависящая

от х_i;

3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения

,одинакова для  всех значений х; 4.отсутствие автокорреляции остатков.

Значения остатков

, распределены  независимо друг от друга; 5.остатки  подчиняются нормальному

распределению.

1. Проверяется  случайный характер остатков

, с этой целью строится график зависимости остатков

от теоретических  значений результативного признака.  Если на графике получена

горизонтальная  полоса, то остатки

, представляют  собой случайные величины и  МНК оправдан, теоретические значения

у_х хорошо аппроксимируют фактические значения y. В других случаях

необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную

информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки

, не будут  случайными величинами.

2. Вторая предпосылка  МНК относительно нулевой средней  величины остатков

означает, что  (у —

у_х) = 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных

относительно  включаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком

зависимости остатков

от теоретических  значений результативного признака у_х

строится график зависимости случайных остатков  

от факторов, включенных в регрессию х_{i .} Если остатки на

графике расположены  в виде горизонтальной полосы, то они  независимы от значений

x_j. Если же график показывает наличие зависимости

и х_j то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть

разные.

3. В соответствии  с третьей предпосылкой МНК  требуется, чтобы дисперсия

остатков была гомоскедастичной. Это значит, что  для каждого значения фактора 

x_j остатки

, имеют одинаковую  дисперсию. Если это условие  применения МНК не соблюдается, то

имеет место  гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно

видеть из поля корреляции. Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия

остатков -

одинакова для  каждого значения х.

4.Отсутствие  автокорреляции остатков, т. е. значения остатков

распределены  независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие

корреляции между  остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и

эффективность оценок коэффициентов регрессии.

     №17. СУЩНОСТЬ АНАЛИЗА ОСТАТКОВ ПРИ НАЛИЧИИ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ. КАК МОЖНО

ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ ГОМО- ИЛИ  ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ ОСТАТКОВ. ОЦЕНКА ОТСУТСТВИЯ

АВТОКОРРЕЛЯЦИИ  ОСТАТКОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ  МОДЕЛИ.

С этой целью  строиться график зависимости остатков e_i  от

теоретических значений результативного признака:

Если на графике  получена горизонтальная полоса, то остатки  e_i

представляют  собой случайные величины и МНК  оправдан, теоретические значения

у_х хорошо аппроксимируют фактические значения у.

     Возможны следующие случаи: если e_i зависит от  у

_x, то:   1.остатки e_i не случайны.2. остатки e

_i, не имеют постоянной дисперсии. 3. Остатки e_i

носят систематический  характер  в данном случае отрицательные значения e

_i, соответствуют низким значениям у_х, а

положительные — высоким значениям. В этих случаях  необходимо либо применять

другую функцию, либо вводить дополнительную информацию.

     Как можно проверить наличие гомо- или гетероскедастичноси остатков?

Гомоскедастичность  остатков означает, что дисперсия  остатков e_i

одинакова для  каждого значения х.Если  это условие применения МНК не

соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности

можно наглядно видеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет

по мере увеличения х; б — дисперсия остатков достигает максимальной

величины при  средних значениях переменной х и уменьшается при

минимальных и  максимальных значениях х; в — максимальная дисперсия

остатков при

малых значениях  х  и дисперсия остатков однородна по мере увеличения

значений х. Графики гомо- и гетеро-ти.

     Оценка отсутствия автокорреляции остатков(т.е. значения остатков e

_i  распределены независимо друг от друга). Автокорреляция остатков

означает наличие  корреляции между остатками текущих  и предыдущих (последующих)

наблюдений. Коэффициент  корреляции между e_i  и e_j 

, где e_i  — остатки текущих наблюдений, e_j   

— остатки предыдущих наблюдений, может быть определен  по обычной формуле

линейного коэффициента корреляции

. Если этот  коэффициент окажется существенно  отличным от нуля, то остатки

автокоррелированы и функция плотности вероятности F(e) зависит j-й

точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках

наблюдения. Для регрессионных моделей по статической информации автокорреляция

остатков может  быть подсчитана, если наблюдения упорядочены  по фактору х

. Отсутствие  автокорреляции остаточных величин  обеспечивает состоятельность и

эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение

данной предпосылки  МНК при построении регрессионных  моделей по рядам динамики,

где ввиду наличия  тенденции последующие уровни динамического ряда, как

правило, зависят  от своих предыдущих уровней.

     №18 СМЫСЛ ОБОБЩЕННОГО МНК.

При нарушении  гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется

традиционный  МНК заменять обобщенным методом. Обобщенный МНК

применяется к  преобразованным данным и позволяет  получать оценки, которые

обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные

дисперсии. Обобщенный МНК для корректировки гетерос-ти. В общем виде для

уравнения  y_i=a+bx_i+e_i при

где K_i – коэф-т пропор-ти. Модель примет вид: y_i=

+ x_i+

e_i . В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в

них отсутствие автокорреляции, можно перейти к  уравнению с гомоскедастичными