Эконометрика. Ответы

Оценка стат. значимости параметров регрессии проводится с помощью t – статистики

Стьюдента и  путем расчета доверительного интервала  для каждого из показателей.

Выдвигается гипотеза Н₀ о статистически значимом отличие показателей

от 0  a = b = r = 0. Рассчитываются стандартные ошибки параметров a,b, r и

фактич. знач. t –  критерия Стьюдента.

    

    

    

                                

Определяется  стат. значимость параметров.

t_a ›T_табл     - a стат. значим

t_b ›T_табл     - b стат. значим

Находятся границы  доверительных интервалов.

                                     

Анализ верхней  и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том,

что параметры a и b находясь в указанных границах не принимают нулевых

значений, т.е. не явл.. стат. незначимыми и существенно отличается от 0.

    

     № 6. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

Если между  экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они

выражаются с  помощью соответствующих нелинейных функций: например,

равносторонней  гиперболы

,   параболы второй степени

и д.р.

Различают два  класса нелинейных регрессий:

     •          регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ

объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

•          регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее  объясняющим переменным

могут служить  следующие функции:

•         полиномы разных степеней

•         равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

•         степенная

•         показательная

•         экспоненциальная

     № 7. СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ.

    

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает

среднее изменение  результата с изменением фактора  на одну единицу. Оценку

коэффициента  регрессии можно получить не  обращаясь к методу наименьших

квадратов. Альтернативную оценку параметра b можно найти исходя из

содержания данного  коэффициента: изменение результата

сопоставляют  с  изменением фактора 

Общая сумма  квадратов отклонений индивидуальных значений результативного

признака у от среднего значения

вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на

две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы.

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике

параллельна оси  ох и

.Тогда вся  дисперсия результативного признака  обусловлена воздействием прочих

факторов и  общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же

прочие факторы  не влияют на результат, то у связан  с х

функционально и остаточная сумма квадратов  равна нулю. В этом случае сумма

квадратов отклонений, объясненная  регрессией, совпадает с общей суммой

квадратов.

Поскольку не все  точки поля корреляции лежат на линии  регрессии, то всегда имеет

место их разброс  как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у

по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация).

Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей

вариации признака у приходится на объясненную вариацию

Очевидно, что  если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет

больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо

и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у

Любая сумма  квадратов отклонений связана с  числом степеней свободы , т.

е. с числом свободы  независимого варьирования признака. Число степеней свободы

связано с числом единиц совокупности n ис числом определяемых по ней констант.

Применительно к исследуемой проблеме число  степеней свободы должно показать,

сколько независимых  отклонений из п возможных требуется для

образования данной суммы квадратов.

     №8. ПРИМЕНЕНИЕ МНК К МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

И ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ.

Нелинейная регрессия  по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в

оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом

наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны  по параметрам. Так, в

параболе второй степени y=a₀+a₁x+a₂x²

+ε заменяя  переменные x=x₁,x²=x₂,

получим двухфакторное  уравнение линейной регрессии: у=а₀+а₁

х₁+а₂х₂+ ε

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного

интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков:

прямая связь  меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае

определяется  значение фактора, при котором достигается максимальное (или

минимальное), значение результативного признака: приравниваем к нулю первую

производную параболы второй степени:

, т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

Применение МНК  для оценки параметров параболы второй степени приводит к

следующей системе нормальных уравнений:

     Решение ее возможно методом определителей:

   

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду,

МНК применяется  к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и

моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия

min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК

применяется не к исходным данным результативного признака, а к их

преобразованным величинам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции

МНК применяется  к преобразованному уравнению lny = lnα + β ln x ln

ε. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы

квадратов отклонений в логарифмах.

Соответственно  если в линейных моделях 

то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

. Вследствие  этого оценка параметров оказываются несколько смещенной.

    

     №9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

1.   Линейная y = a + bx + , y′ = b, Э = .

2.   Парабола 2 порядка y = a +bx + c + , y′ = b + 2cx, Э = .

3.   Гипербола y = a+b/x + , y′=-b/ , Э = .

4.   Показательная  y=a , y′ = ln , Э = x ln b.

5.   Степенная  y = a , y′ = , Э = b.

6.   Полулогарифмическая  y = a + b ln x +ε , y′ = b/x , Э = .

7.   Логистическая  , y′ = , Э = .

8.   Обратная y = , y′ = , Э = .

    

     № 10  ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ

1.         индекс корреляции (R):

Величина данного  показателя находится в границах: 0 ≤ R ≤ 1,

чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых  признаков, тем более надежно

найденное уравнение  регрессии.

2.         индекс детерминации используется для проверки существенности в

целом ур-ия нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

     , где R²-

индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число  параметров при переменной

х.

    

     №11. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ

ПОСТРОЕНИИИ МОДЕЛИ.

Регрессия может  дать хороший результат при моделировании, если влиянием других

факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение

отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т. е. не удается

обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного

исследуемого  фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других

факторов, введя  их в модель, т. е. построить уравнение множественной

регрессии: y=a+b₁x₁+b₂+.+b_px

_p+e; Такого рода уравнение может использоваться при изучении

потребления. Тогда  коэффициенты bj — частные производные потребления

у по соответствующим факторам x_i:

, в предположении,  что все остальные х_i постоянны. В 30-е гг. XX в.

Кейнс сформулировал  свою гипотезу потребительской функции. С того времени

исследователи неоднократно обращались к проблеме ее совершенствования.

Современная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель

вида: C=j(y,P,M,Z), где   С — потребление; у  —

доход; Р —  цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги;

Z — ликвидные активы. При этом

.. Основная цель  множественной регрессии — построить  модель с большим числом

факторов, определив  при этом влияние каждого из них  в отдельности, а также

совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели

включает в  себя два круга вопросов: отбор  факторов и выбор вида уравнения

регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно  измеримы. Если

необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного

измерения, то ему  нужно придать количественную определенность (например, в

модели урожайности  качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны

быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.