Шпаргалка по "Строительной механике"

     

     

      ,

      .

     Из  новых неизвестных z_i осесимметричны z₁ и z₃, а кососимметричны z₂ и z₄. Так как

      , то

      .

Система канонических уравнений распадется на две –  с симметричными и кососимметричными  неизвестными:

      ,

      .

Таким образом, группировка неизвестных не только сокращает объем вычислений, но и упрощает систему канонических уравнений – она распадается на две, что упрощает решение.

Способ разложения внешней нагрузки на симметричную и  кососимметричную

Способ группировки  особенно эффективен при одновременном разложении по тому же принципу внешней нагрузки на симметричную и кососимметричную.

Разложение  нагрузки на симметричную и кососимметричную упростит построение эпюр и вычисление свободных членов D_iP. Принцип разложения внешней нагрузки легко понять из рис

К сожалению, способы, упрощающие вычисление коэффициентов  и решение канонических уравнений  метода сил относятся в большей  мере к симметричным рамам. В отношении  несимметричных рам можно посоветовать следующее – стремитесь выбрать, а для этого надо иметь не одну, основную систему, в которой общее количество участков в эпюрах от единичных неизвестных было минимальным, что упростит вычисления.

Вопрос  №31.

В силу того, что речь идет о ручном расчете  статически неопределимых стержневых систем, то наряду с самим расчетом нам важна вторая сторона действия – контроль за расчетом. В связи с этим был выработан достаточно оптимальный алгоритм метода сил, а именно:

1. Определяем  степень статической неопределимости  (количество «лишних» связей):

– внешне статически неопределимая система:

;

– внутренне  статически неопределимая система:

;

– смешанная  статическая неопределимость:

.

2. Выбираем  основную систему метода сил  (статически определимую, геометрически неизменяемую) путем замены «лишних» связей неизвестными усилиями x_i.

3. Запишем  систему канонических уравнений  метода сил, отражающую условие  равенства нулю перемещений по  направлению отброшенных «лишних»  связей (она в определенной мере  подскажет ход последующих действий):

.

• Найдем коэффициенты при неизвестных x_i – d_ik и свободные члены D_iP. Для этого основную систему последовательно загружаем единичными усилиями , заданной внешней нагрузки и построим соответствующие эпюры изгибающих моментов и М_Р. Тогда

5. Произведем  проверку правильности определения  коэффициентов d_ik и D_iP.   Для этого построим вспомогательную суммарную единичную эпюру изгибающих моментов – :

 или  .

Применяются следующие проверки:

– универсальная: ;

– построчная: ;

– постолбцовая ;

                .

6. Из решения системы канонических уравнений находим усилия x_i.

7. Строим  окончательную эпюру изгибающих  моментов М_ок путем наложения (сложения откорректированных эпюр с эпюрой М_Р):

,

     или .

8. Проверим  правильность построенной эпюры  М_ок. Для этого определим суммарное перемещение по направлению отброшенных связей в основной системе, которое должно равняться нулю – полная деформационная проверка: ,

а также  в качестве проверки и для сужения области допущенной ошибки вычисляется перемещение по направлению конкретной i-й связи, которое также равно нулю: .

9. Эпюру  поперечных сил можно построить  двумя способами:

– традиционно, по участкам, с использованием метода сечений, рассматривая равновесие одной из отсеченных частей основной системы под действием внешней нагрузки и усилий x_i;

– используя  построенную эпюру М_ок и схемы загружения рассматриваемого стержня, в котором устанавливается поперечная сила, так как , то ,

где – эпюра поперечных сил в рассматриваемом стержне от внешней нагрузки (чаще всего распределенной), когда стержень представлен балкой на двух шарнирных опорах;

М_пр и М_лев – соответственно правый и левый изгибающие моменты на концах стержня в эпюре М_ок;

 – длина рассматриваемого  стержня.

10. Эпюру  нормальных сил также можно  построить двумя способами:

–  традиционно, по участкам, с использованием метода сечений, рассматривая равновесие одной из отсеченных частей основной системы под действием внешней нагрузки и усилий x_i (объединив с определением поперечных сил);

– используя  условие статического равновесия узлов  под действием нормальных – неизвестных и поперечных, известных из эпюры Q, сил.

После построения эпюр поперечных и нормальных сил  проводим проверку результатов решения, используя для этого ранее  не применявшиеся способы определения  Q и N.

Вопрос  №32.

Балка с  числом пролетов не менее двух без промежуточных шарниров называется неразрезной

 При наличии нагружения хотя бы в одном пролете в работу включаются вся неразрезная балка. Она деформирована на всем своем протяжении .

Рассчитывают  неразрезные балки методом сил. Основную систему рекомендуют выбирать вводя одиночные промежуточные шарниры. Шарниры водятся над опорами.

Л=С0-3- для  неразрезной балки.

Введение  шарниров под промежуточными опорами  позволило нам получить одинаковые по форме единичные эпюры. Каждая из них представляет два треугольника, с одной характерной ординатой =1 Такое очертание единичных эпюр позволяет заранее получить готовые формулы для всех коэффициентов канонических уравнений.

Остальные коэффициенты равны нулю.

Введем   приведенную   длину   пролета.

E I^*  -   любая жесткость.   Обычно,   это   жесткость   из  предметов.

Получим   выражение   в   общем   виде   для   свободного   члена       

 Фиктивная   нагрузка  

i-1,  i: A_i^ф  : Для   упрощения  формы   записи      виде   фиктивной    нагрузки,  постоянная     совпадает   грузовой     эпюрой    моментов.

Канонические   уравнения   метода   сил.

уравнение   трех   моментов

В  том  случаи,   когда   EI  =  const,  тогда   EI^*  =  EI,    l^/_I  =  l_i,    то   уравнения   запишется   виде:  

  число   уравнений   3-х   моментов    равно   степени   статической   неопределимости. Решением полученной системы уравнений будут опорные моменты промежуточных опор.

Построение окончательных  эпюр внутренних усилий для неразрезной  балки. Окончательную эпюру моментов строим используя принцип суперпозиций.

Для построения окончательной  эпюры поперечных сил, удобно воспользоваться  дифференциальной зависимостью: Q_F⁰- эпюра поперечных сил в основной системе от пролетной нагрузки(балочная эпюра).

Вопрос  №33.

Балка с  числом пролетов не менее двух без  промежуточных шарниров называется неразрезной 

Порядок расчета  неразрезных балок

1. Определяется  степень статической неопределимости  по формуле W = C₀ – 3 и формируется основная система метода сил путем введения шарниров во все промежуточные опоры.

Все опоры  нумеруются слева направо начиная  с 0.

Если балка  одним концом защемлена, то защемление заменяется нулевым пролетом бесконечной  жесткости (рис. 4.5 а).

Консоль заменяется опорным моментом, который при любом нагружении консоли не сложно вычислить (рис. 4.5 б).

     2. Для каждой промежуточной опоры  записывается уравнение трех  моментов:

3. Находятся  приведенные длины  , если пролеты обладают различной жесткостью и фиктивные опорные реакции и для всех промежуточных опор.

4. Из решения  системы канонических уравнений  в форме 3–х моментов находим  искомые опорные моменты M_n.

5. Эпюру  изгибающих моментов (рис. 4.6) можно построить двумя способами (один будет проверочным):

– аналитически по формуле ;

– графически, путем сложения эпюры M_P и эпюры от опорных моментов.

6. Проводится  деформационная проверка, для чего  строятся вспомогательные эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных (вполне достаточно одной): .

7. Эпюра  поперечных сил строится по  известной нам формуле .

8. Определяются  опорные реакции R_n, вырезая опоры замкнутым сечением и загружая сечения опорными поперечными силами слева и справа.

9. Проводится  статическая проверка равновесия  балки:

Удостоверившись, что проверки выполняются, расчет балки  считается завершенным.

Вопрос  №34.

Неразрезной называется балка в виде сплошного, непрерывного стержня с двумя и более пролётами.

Метод фокусных отношений удобно применять при  расчёте неразрезных балок, у  которых загружен один пролёт или  одна консоль.

При загружении одного пролёта окончательная эпюра  моментов имеет следующую особенность  – в пределах каждого незагруженного пролёта эпюра моментов прямолинейна и обязательно пересекает ось отсчёта в пределах пролёта. Положение нулевой точки эпюры моментов является постоянным для данной балки и не зависит ни от вида, ни от положения нагрузки.

Нулевая точка  эпюры моментов незагруженного пролёта при условии, что вся нагрузка находиться справа (слева) от него называется левым (правым) моментным фокусом. Таким образом, нулевая точка эпюры моментов является фокусом, если выполняются два условия:

1. пролёт не загружен;
2. вся нагрузка расположена по одну сторону от пролёта.

Так как  положение фокусов является строго определённым для конкретной балки, то и отношение опорных моментов по концам незагруженного пролёта будет  для данной балки постоянным.

Абсолютная  величина отношения большего по модулю опорного момента к меньшему называется моментным фокусным отношением. Фокусные отношения бывают левыми (незагружен пролёт слева от нагрузки) и правыми (незагружен пролёт справа от нагрузки)

;  ;   (нагрузка справа);   (нагрузка слева)

Если известно фокусное отношение хотя бы одного из пролётов, то фокусные отношения  остальных пролётов находятся с  помощью рекуррентных формул.

Для i-той опоры (нагрузка правее (i+1)го пролёта):

- разделим на M_i

       ;     

             ;