Шпаргалка по "Строительной механике"

     

2. Прикладывается  статически сила Р₂ (рис. 8.6 б), которая вызовет соответственно перемещения D₂₁ и D₁₂ точек  2 и 1 соответственно.

Работа внешней  силы Р₂ будет:

     

3. Рассмотрим  случай, когда к упругой системе  последовательно статически прикладываются  силы Р₁ и Р₂ (рис. 8.7).

Из предыдущих рассмотренных случаев следует, что:

            

     

Однако сила Р₂ была приложена к упругой системе, уже загруженной силой Р₁, достигшей своего конечного значения. Вполне очевидно, что точка приложения силы Р₁ от действия силы Р₂ получит перемещение D₁₂. Запишем работу силы Р₁ на соответствующем ей перемещении:

     А₁₂ = Р₁×D₁₂.

Полная работа сил Р₁ и Р₂ в рассматриваемом случае будет: Изменим последовательность статического приложения внешних сил, а именно, вначале сила Р₂ и затем Р₁. Понятно, что точка приложения силы Р₂ при приложении силы Р₁ получит перемещение D₂₁. Тогда полная работа сил Р₂ и Р₁ будет:

Полная работа внешних сил  не зависит от последовательности их приложения, что означает:

А₁₁ + А₂₂ + А₁₂ = А₁₁ + А₂₂ + А₂₁, откуда:  А₁₂ = А₂₁.

Напомню, что А₁₂ – работа силы Р₁ (силы первого состояния) на перемещении по ее направлению D₁₂, вызванном силой Р₂ (силой второго состояния).

По аналогии можно (и нужно, но самостоятельно) дать определение работы А₂₁.

Итак, возвращаясь  к полученному результату, сформулируем теорему о взаимности работ – теорему Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям от сил второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям от сил первого состояния.

Из теоремы Бетти следует теорема о взаимности перемещений. Действительно, если Р₁ = Р₂ = Р, то

     Р×D₁₂ = Р×D₂₁, или D₁₂ = D_21.

     Если  Р = 1, то d₁₂ = d₂₁.

Последнее равенство носит название теоремы  о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Для построения теории перемещений найдем А₁₂ через работу внутренних сил, возникающих в первом и втором состоянии.

Из выражения  А = А₁₁ + А₂₂ + А₁₂ следует, что

     А₁₂ = А – А₁₁ – А₂₂.

Выражение для определения полной работы легко  записать, учитывая, что она может  быть вызвана совместным статическим  приложением нагрузок первого и второго состояния, т.е. N = N₁ +N₂, Q = Q₁ + Q₂, M = M₁ + M₂. Тогда

.

     Выражения для А₁₁ и А₂₂ получены ранее. Привожу окончательный результат определения А₁₂ (рекомендую провести промежуточные действия самостоятельно):

                                  Вопрос №25.

Примем, что  на конструкцию действует статическая  внешняя нагрузка, т.е. нагрузка, которая  возрастает от нуля до своего предельного  значения с такой скоростью, что  возникающими инерционными силами можно пренебречь.

При малых  деформациях, когда напряжения не превышают  предела пропорциональности, применим принцип независимости действия сил.

Определим работу статической внешней нагрузки (P или m) приложенной к упругой системе, материал которой удовлетворяет закону Гука.

Перемещение некоторой точки от силы Р (рис. 8.1) будет:

,

где a – коэффициент пропорциональности, его величина зависит геометрии сооружения, вида сечения и материала.

Поворот некоторого сечения от сосредоточенного момента m будет

.

В дальнейшем все рассуждения проведем на примере  действия сосредоточенной силы Р  и обобщим на другие случаи нагружения.

Увеличим  силу Р на dP, что вызовет приращение перемещения dD. Найдем величину элементарной работы внешней силы на перемещении dD:

×dD

Найдем выражение  для определения работы при изменении  внешней силы от нуля до конечной величины:

,

так как aР = D, то

    .

Мы получили теорему Клапейрона:

Работа внешней  силы при статическом ее приложении на сооружение равна половине произведения ее значения на величину соответствующего ей перемещения.

Легко обобщить полученный результат на случай, когда  к сооружению приложена система  статических внешних сил:

Определение перемещений. Интеграл Мора

Пусть требуется  определить перемещение точки к  от действия статически приложенной  внешней нагрузки – Dкр (рис. 8.8 а).

Рассмотрим  вспомогательное состояние, когда  к упругой системе в точке к приложена единичная сила Р2 = 1 (рис. 8.8 б). 

Найдем работу силы Р2 = 1 второго состояния на перемещении Dкр, вызванном силами первого, действительного состояния  А21:

.

Запишем выражение  для определения  :       где Np, Qp, Mp – внутренние усилия от заданной            внешней нагрузки;

 – внутренние усилия, возникающие  от единичной силы P2 = 1.

Получили  формулу для определения перемещений  – формулу Мора или полный интеграл Мора.

Для определения перемещений с помощью формулы Мора необходимо:

Определить  выражения для внутренних усилий Np, Qp, Mp как функции координаты х  произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.

Приложить по направлению искомого перемещения соответствующую ему единичную нагрузку (единичную силу, если определяется линейное перемещение; сосредоточенный единичный момент, если определяется угловое перемещение).

Определить  выражения для внутренних усилий как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.

Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют  в интеграл Мора и интегрируют  по участкам в пределах всей стержневой системы.

Вопрос  №26.

Оценка влияния  поперечной силы Q на перемещения стержневой системы. В общем случае эпюра  М от заданной нагрузки криволинейна (рис. 8.9 а). Ее с любой, наперед заданной точностью можно представить  отрезками ломанной прямой (рис. 8.9  б).

Эпюра всегда линейна (рис. 8.9 в) и для простоты рассуждений представим, что треугольная.

Итак, , тогда поперечная сила

.

Так как  , то понятно, что наибольшее влияние на перемещение окажут поперечные силы на тех участках, где эпюры и (рис. 8.10).

Очевидно, что  и . Примем, что и .

Найдем перемещение  с учетом влияния изгибающих моментов и поперечных сил:

.

С учетом, что 

;

(применил способ Верещагина  в первом и втором случаях,  проделайте подробно самостоятельно);

 – модуль упругости второго рода (модуль сдвига);

 – момент инерции поперечного  сечения стержня (предполагаем, что  сечение стержня прямоугольное  и b – ширина сечения, h – высота);

 – площадь сечения стержня.

Найдем  (проделайте самостоятельно).

Выражение для коэффициента h ранее было получено:

,

где – статический момент отсеченной части поперечного сечения.

Окончательно  получим:

.

Для m = 0,25 рассмотрим несколько случаев:

1. , т.е. влияние поперечных сил на перемещение составляет 3%.

2. , влияние поперечных сил уменьшается с увеличением длины стержня.

Так как  в качестве объекта исследований принята стержневая система, в которой  отдельные стержни всегда подчиняются  принятому условию  , то можно считать, что доказана возможность пренебречь влиянием поперечных сил.

Влияние нормальных сил N не будет превышать влияние  поперечных сил на перемещения. Это  следует из того, что одним из способов нахождения нормальных сил  в рамах являются условия равновесия узлов, вырезанных в эпюре Q, т.е. N не превышают Q.

 Определение  перемещений в балках и рамах.  Если рассматриваются стержневые  системы, преимущественно работающие  на изгиб, составленные из длинных  и невысоких в сечении стержней, т.е.  , то перемещения в таких конструкциях определим по формуле:

.

Фермы. В стержнях фермы возникают только нормальные усилия, поэтому

.

Арки. В арках  при определении перемещений  чаще приходится учитывать все внутренние факторы и только когда ось  арки близка к рациональной, то достаточно учесть нормальные усилия. 
 
 
 
 
 

Вопрос №27.

Определение перемещений в  стержневых системах от теплового воздействия. При действии стационарного температурного поля на статически определимые стержневые системы стержни в них удлиняются или укорачиваются, но не сжимаются и не растягиваются. Если возникает температурный перепад, то стержни искривляются, но не изгибаются. Приведенный анализ работы стержней при тепловом воздействии говорит о том, что в статически определимых стержневых системах тепловое воздействие не вызывает внутренних усилий, однако вызывает перемещения.