Шпаргалка по "Строительной механике"

Запишем работу внутренних сил второго состояния (от единичной нагрузки) на перемещениях первого, вызванного тепловым воздействием. Для этого рассмотрим элементарный участок dx (рис. 8.11).  

     Запишем выражение для элементарной работы:

.

При тепловом воздействии отсутствуют сдвиги граней сечения, поэтому работа поперечных сил равна нулю.

Определим и :

      ;

      ;

Учитывая, что  при тепловом воздействии искривления стержней малы по сравнению с размерами, можно записать

Элементарная работа будет

Полная работа

, так как  , то

Правило знаков. Если деформации от единичной нагрузки совпадают с деформациями от теплового воздействия, то перемещение положительны.

     Перемещения в стержневых системах, вызванные осадкой опор. Рассмотрим два состояния упругой стержневой системы: первое – произошла осадка опоры (рис. 8.12 а) и второе – в точке, перемещение которой необходимо найти, по направлению искомого перемещения приложено единичное усилие (рис. 8.12 б). Запишем выражение работы сил второго состояния на перемещениях первого, вызванных осадкой опор (учтем, что A₁₂ = A₂₁, а A₁₂ = 0):

  , откуда, так как 

   и в общем случае    . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Техника вычисления перемещений. Непосредственное интегрирование интеграла вида не представляет больших проблем, но существуют более простые способы численного интегрирования. С одним из них знакомит сопротивление материалов – это способ Верещагина или способ перемножения эпюр внутренних усилий. Приведу формулу Верещагина:

      .

Полученный  результат легко обобщить на полный интеграл Мора (самостоятельно).

Более широко применяется другой способ численного интегрирования – способ Симпсона.  Он применим при условии, что подинтегральная функция не имеет изломов и разрывов, т.е. является непрерывно дифференцируемой. Тогда:

, где составляющие формулы становятся понятными из рис. 8.13:

Полный интеграл Мора численно вычислить по формуле Симпсона можно в виде:

Во всех случаях перемещения  будут положительными, если ординаты эпюр расположены по одну сторону  оси (эпюры изгибающих моментов) или  одного знака.

Вопрос  №28.

Статически неопределимыми стержневыми системами назовем такие, для расчета которых недостаточно одних уравнений равновесия. Другими словами, статически неопределимыми системами являются те, на которые наложено большее число связей, чем необходимо с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости.

Различают два основных типа статически неопределимых  систем – внешне и внутренне статически неопределимые. Конечно, возможен случай, когда стержневая система статически неопределима внешне и внутренне, т.е. смешанная.

Внешне статически неопределимой системой является та стержневая система, на которую наложено большее число связей в виде опорных  стержней – рис. 1.1 а.

Число «лишних» связей при внешней статической  неопределимости определяется по формуле:

,

где Д –  число жестких дисков, из которых  состоит стержневая система;

Ш – число  простых шарниров, соединяющих между  собой жесткие диски. Если шарнир соединяет более двух дисков, то он называется кратным и равен d-1 простым шарнирам (d – число соединяемых дисков);

Со –  число опорных стержней, наложенных на систему.

Если стержневая система обладает замкнутыми контурами, а число наложенных связей обеспечивает только геометрическую неизменяемость (рис. 1.1 б),

 то такая  система является внутренне статически неопределимой. Так как каждый замкнутый контур трижды статически неопределим, а шарнир в нем понижает неопределимость на единицу, то не сложно вывести формулу:

, где

К – число  замкнутых контуров;

Шк –  число простых шарниров в замкнутых контурах.

В случае, когда  стержневая система и внешне и  внутренне статически неопределима (рис. 1.1 в), то степень статической  неопределимости устанавливают  путем суммирования внешней и  внутренней статической неопределимости:

.

Статически  неопределимые стержневые системы  обладают рядом преимуществ по сравнению  с уже известными нам статически определимыми:

Большей жесткостью из-за наличия «лишних» связей.

Перераспределением  внутренних усилий пропорционально  жесткостям стержней.

Надежностью в эксплуатации, так как выход  из работы связи не ведет к разрушению всей конструкции, а приводит к понижению  ее статической неопределимости  и перераспределением внутренних усилий. 

Тепловое  воздействие, осадка опор, неточность монтажа вызывают появление внутренних усилий. Это свойство требует учета перечисленных факторов воздействия в процессе проектирования, возведения и эксплуатации сооружений.

Для расчета  статически неопределимых систем разработаны  два основных метода: метод сил и метод перемещений.  

В методе сил  центральной задачей является определение  усилий в «лишних» связях, а в  методе перемещений – определение  перемещений (угловых и линейных) всех узлов стержневой системы.

На базе основных методов разработаны и  другие – комбинированный и смешанный.

Вопрос  №29.

Рассмотрим  внешне статически неопределимую Стержневую систему (рис. 1.2 а). Она обладает двумя  «лишними связями, т.е. является дважды статически неопределимой:

 Заменим  «лишние связи неизвестными усилиями (рис. 1.2.б). Если неизвестные усилия Х₁ и Х₂ примут значения усилий опорных реакций H_A и V_A, то вторая схема станет эквивалентной первой, но при этом будет статически определимой. Назовем ее основной системой метода сил.

Таким образом, для решения статически неопределимой рамы необходимо перейти к статически определимой, ей эквивалентной. Если найти каким-то образом усилия в «лишних» связях, то не будет уже сложным рассчитать статически определимую раму (основную систему метода сил) на действие заданной внешней нагрузки и известных уже усилий х₁ и х₂.

Из сравнения  заданной статически неопределимой  рамы и выбранной основной системы (статически определимой) следует, что  с кинематической точки зрения они  будут эквивалентны лишь в случае, если перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе будут равны перемещениям в заданной, т.е. равны нулю: .

Определим перемещения D₁ и D₂:

     В общем случае, когда отброшено  к «лишних» связей: ,

где – перемещение точки приложения силы x_i по ее направлению от действительной силы x_k, нам неизвестной;

D_iP – перемещение точки приложения силы х_i по ее направлению от заданной нагрузки (умеем находить).

Представим  , где

d_ik – перемещение точки приложения силы х_i по ее направлению от

силы  в основной системе, статически определимой, которое умеем находить).

     Тогда условие эквивалентности основной системы заданной статически неопределимой рамы можно записать  так:

     Физический  смысл полученной системы уравнений  – канонических уравнений  метода сил в том, что перемещения  по направлению отброшенных  связей равны нулю.

Вопрос  №30.

Основная система должна быть такой, чтобы:

Обеспечивалась  простота построения эпюр Mi и MP.

Объем вычислений был минимален при определении  коэффициентов dij и DiP.

Часть или  все побочные коэффициенты канонических уравнений равнялись нулю: dij = 0 (i ≠ j), что существенно упростит решение системы канонических уравнений.

Основная  система метода сил, удовлетворяющая  всем или части перечисленных  требований (при невозможности другого), называется рациональной основной системой.

Рассмотрим  некоторые приемы, позволяющие упростить выбор рациональной основной системе метода сил.

1. Способ  замкнутых сечений

Степень статической  неопределимости будет:

W = 3K – Ш  = 3∙3 – 0 = 9, или

W = 2∙Ш + Со  – 3∙Д = 12 – 3 = 9

     Если  принять за основную систему статически определимую раму, полученную путем замены «лишних» связей в виде опорных реакций (рис. 2.2 а), то все коэффициенты dij ≠ 0 и придется решать полную систему алгебраических уравнений.

     Иная  картина будет, если применить способ замкнутых сечений, в основе которого лежит рассечение системы на отдельные самостоятельные части (рис. 2.2 б). В этом случае «лишними» усилиями являются внутренние усилия и часть коэффициентов d_ij = 0, а именно:

d₁₇ = d₇₁ = 0; d₁₈ = d₈₁ = 0; d₁₉ = d₉₁ = 0;

d₂₇ = d₇₂ =0; d₂₈ = d₈₂ = 0; d₂₉ = d₉₂ = 0;

d₃₇ = d₇₃ = 0; d₃₈ = d₈₃ = 0; d₃₉ = d₉₃ = 0.

Естественно, при выборе такой основной системы  упроститься построение эпюр,  уменьшится объем вычислений и  легче будет решить систему канонических уравнений.

Способ  группировки неизвестных

Если статически неопределимая рама симметрична, но не все опоры являются жесткими (рис. 2.4 а), то применить для выбора основной системы способ замкнутых сечений невозможно. В любом случае в качестве неизвестных усилий войдут опорные реакции (рис. 2.4.б).

     Основную  систему можно выбрать симметричной, но только в отношении геометрии. еизвестные усилия не будут симметричны и, конечно, все коэффициенты канонических уравнений d_ij будут отличны от нуля. Проблема: а нельзя ли представить неизвестные усилия каким-то образом симметричными и кососимметричными в нашем конкретном случае? Оказывается можно однозначно решить данную задачу. Действительно, перейдем к другим неизвестным усилиям путем разложения неизвестных х_i на симметричные и кососимметричные (рис. 2.5). Правомочность разложения следует из однозначности определения новых неизвестных z_i из решения следующих систем алгебраических уравнений: