Лекции по "Теплотехнике"

gn:justify">Константы интегрирования этого решения определим из граничных условий:

– при х=0  v=vo   и  С1+С2=vo;

– при х=L  v=0   и C1exp(Lm)+C2exp(-Lm)=0.

C1=voexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)]

и C2=voexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)].

Подставив значение констант интегрирования в решение дифференциального уравнения, получим

v=vo{exp[m(x-L)]+exp[-m(x-L)]}/[exp(-mL)+exp(mL)]=             
=voch[m(x-L)]/ch(mL),                                                                                    (2.11)

где ch[m(x-L)] – гиперболический косинус произведения m(x-L).

Для конца стержня x=L выражение (2.9) упрощается:

v=vo/ch(mL).                                                                      (2.12)

Количество тепла, отведенное от поверхности стержня, при стационарных условиях будет равно теплу, входящему в стержень в месте его заделки Q=-S(dv/dx)x=0. Производную (dv/dx)х=0 определим дифференцированием решения уравнения (2.9). После подстановки производной и констант интегрирования в последнее выражение, получим

Q=mSvo[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)]=mSvoth(mL),(2.13)

где th(mL)=[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)] – гиперболический тангенс произведения mL.

Анализ выражения (2.13) показывает, что увеличение длины стержня ведет к увеличению количества отводимого тепла. При этом следует отметить, что рост mL свыше 23 тепловой поток практически не изменяет.

При использовании электронагрева мы имеем дело со стационарной теплопроводностью с внутренними источниками тепла. Рассмотрим бесконечно большую пластину (рис.2.3) с равномерно распределенными по её объему постоянно действующими источниками тепла интенсивностью qv (Вт/м3). Так как условия теплообмена с обеих сторон стенки одинаковы, то температурное поле можно считать симметричным и имеющим максимум на оси пластины. Таким образом, при х=0 градиент температуры dt/dx=0. На поверхности пластины (х=) тепловой поток со стороны пластины, определяемый по уравнению Фурье q=-dt/dx, равен теплу, отводимому от стенки конвекцией q=(tcт-to). Таким образом, на поверхности стенки при х=  -dt/dx=(tcт–to) и -dt/dx=(tcт–to)/.

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности для плоской пластины при стационарных условиях с внутренними источниками тепла будет иметь вид d2t/dx2+qv/=0. Интегрируя это уравнение, получим dt/dx=-хqv/+С1 и t=-x2qv/(2)+С1х+C2.

Константы интегрирования определим из граничных условий:

– при х=0  dt/dx=0; dt/dx=-хqv/+С1=0 и С1=0;

– при х=   dt/dx=- (tcт-to)/  и  dt/dx=-хqv/+С1=-qv/+0.

Приравняв правые и левые части последних двух равенств, имеем – хqv/=–(tcт–to)/. Отсюда tcт=to+qv/.

На поверхности пластины (при х=) температура в соответствии с решением дифференциального уравнения определится выражением t=tcт=-х2qv/(2)+С1х+C2. Подставляя в последнее выражение х=; С1=0 и tcт=to+qv/, получим выражение для константы интегрирования С2=to+qv/+2qv/(2). Окончательно для температуры в произвольном сечении стенки имеем

t=to+qv/+(2-x2)qv/(2).                                                        (2.14)

Судя по уравнению (2.13), температура в пластине изменяется по параболе с максимумом на её оси, определяемым по формуле

tц=to+qv/+2qv/(2).                                                        (2.15)

При стационарной теплопроводности бесконечного стержня с внутренними источниками тепла температура определяется также квадратичными уравнениями:

t=to+[1-(r/R)2]qvR2/(4)+qvR/(2)  и  tц=to+R2qv /(4)+qvR/(2),              (2.16)

где R – радиус стержня, м.

50

Теплоотдача

2.3. Теплоотдача

При теплоотдаче (или конвективном теплообмене) тепло передается за счет перемещения частиц теплоносителя. Движение частиц теплоносителя может происходить под действием внешнего перепада  давлений (вынужденная конвекция) или за счет разности плотностей частиц с разной температурой (свободная или естественная конвекция). Интенсивность переноса тепла определяется распределением температур, свойствами теплоносителя, размерами, формой и ориентацией поверхности теплоотдачи. Процесс конвективного теплообмена описывается основным уравнением теплоотдачи:

Q=Ft ,                                                                                    (2.17)

где  – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2К).

Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству тепла, передаваемому между теплоносителем и стенкой площадью в один квадратный метр за одну секунду при температурном напоре в один градус. Численные значения коэффициента теплоотдачи колеблются в широких пределах от нескольких десятков кВт/(м2К) до нескольких Вт/(м2К). Большие значения относятся к воде и жидким металлам при вынужденной конвекции, малые – к газам при свободной конвекции.

Процесс нестационарной теплоотдачи  описывается дифференциальным уравнением конвективного теплообмена Фурье-Кирхгофа. Это дифференциальное уравнение получается аналогично дифференциальному уравнению нестационарной теплопроводности. В статью прихода теплового баланса элементарного параллелепипеда добавляется тепло, вносимое потоками теплоносителя, проходящими через грани параллелепипеда:

dQК=dx dy dz d с[(wхt)/z+(wyt)/y+(wzt)/z]=
=dxdydzdс[t(wx/z+wy/y+wz/z)+wxt/z+wyt/y+wzt/z].

Сумма производных wx/z+wy/y+wz/z, согласно уравнению неразрывности потока (4.31), равна нулю.

Преобразования уравнения теплового баланса приводят к уравнению

,                                          (2.18)

где wx, wy, wz – скорости по осям координат, м/с.

Интегрирование дифференциального уравнения даже для простейших случаев связано со значительными трудностями, а для большинства практических задач невозможно. По этой причине для расчетов коэффициента теплоотдачи используются полуэмпирические критериальные уравнения, полученные методом подобных преобразований.

После зачеркивания знаков дифференцирования в уравнении (2.9), записанном для случая отсутствия внутренних источников тепла (qv=0), получим  t/+wt/Lat/L2. Приведем полученное выражение к безразмерному виду, разделив обе части выражения на at/L2 :

L2/a+wL/a1.                                                                      (2.19)

Первый член выражения (2.18) является критерием Фурье, который является безразмерным временем и используется в расчетах нестационарных тепловых процессов:

Fo=L2/a.                                                                                    (2.20)

Второй член выражения (2.19) является критерием  Пекле wL/a=Ре, который характеризует тепловые процессы. Обычно он используется в сочетании с критерием Рейнольдса.

Тепловые процессы описываются системой дифференциальных уравнений Фурье-Кирхгофа и Навье-Стокса, а также граничными условиями. Подобные преобразования уравнения Навье-Стокса (см. п.4.3) приводят к критериям гомохронности (Но), Эйлера (Eu), Рейнольдса (Re) и Фруда (Fr). Первые два критерия не оказывают влияния на тепловые процессы и используются при решении чисто гидравлических задач.

Граничным условием тепловых процессов является равенство тепловых потоков теплопроводности пограничного слоя теплоносителя и теплоотдачи q=t=dt/dx. После зачеркивания знаков дифференцирования и приведения к безразмерному виду, получим определяемый критерий тепловых задач – критерий Нуссельта

Nu=L/.                                                                                    (2.21)

Критерий Нуссельта характеризует теплообмен в пограничном слое.

Решением системы дифференциальных уравнений, описывающих тепловой процесс, является критериальное уравнение

Nu=f(Re,Fr,Pe,Fo).                                                        (2.22)

Использование критерия Пекле во многих случаях неудобно, т.к. он включает в себя скорость потока. Вместо него используется отношение критериев Пекле и Рейнольдса, получившего название критерия Прандтля

Pr=Pe/Re=/a,                                                                      (2.23)

который отражает влияние теплофизических свойств теплоносителя на теплоотдачу.

При свободной конвекции режим движения теплоносителя определять по значениям числа Рейнольдса невозможно, т.к. скорость движения определять сложно. По этой причине для отражения влияния на тепловой процесс режима свободного движения теплоносителя используется критерий Аpхимеда Ar=gL3/(v2), в котором отношение разности плотностей среды и частицы к плотности среды / заменено произведением температурного напора на коэффициент термического расширения теплоносителя t . Такой модифицированный критерий Аpхимеда называется критерием Грасгофа и характеризует режим движения теплоносителя при свободной конвекции:

Cr=gL3t/v2.                                                                      (2.24)

Общее для всех тепловых процессов критериальное уравнение, с введением параметрических критериев Г1 и Г2,  будет иметь вид

Nu=f(Re,Сr,Pr,Fo,Г1,Г2).                                                        (2.25)

Для отдельных случаев теплообмена уравнение (2.25) упрощается. При стационарном ходе процесса опускается критерий Фурье. При отсутствии вынужденного движения теплоносителя из уравнения исключается критерий Рейнольдса. Так как температура пограничного слоя отличается от температуры ядра потока, следовательно, и физические свойства также будут отличаться от соответствующих параметров основного потока. Так, при нагревании вязкость пограничного слоя будет ниже, чем у основного потока. В результате чего скорость пограничного слоя окажется больше той, которая бы наблюдалась у изотермического потока. По этой причине коэффициент теплоотдачи при нагревании жидкостей будет больше, чем при их охлаждении. Кроме изменения вязкости в пограничном слое изменяются и другие физические константы. Учет влияния этого фактора проводится введением в критериальное  уравнение отношения Pr/Prст, в котором критерий Pr выбирается при средней температуре теплоносителя, а Prст – для теплоносителя при средней температуре стенки. Для газов изменения вязкости компенсируются изменениями теплоемкости, теплопроводности и плотности, и поэтому критерий Прандтля мало зависит от температуры, а отношение Pr/Prст1.

Таким образом, для свободной конвекции критериальное уравнение имеет вид

Nu=C(Pr Cr)n(Pr/Prст)0,25,                                                        (2.26)

где Prст=/a – критерий Прандтля для теплоносителя в пограничном слое (определяется при средней температуре стенки); С, n, k – эмпирические константы, зависящие от вида поверхности и режима теплоотдачи.

Режим свободной конвекции определяется по значениям произведения критериев Прандтля и Грасгофа.

На рисунке 2.4 приведена схема естественных токов теплоносителя у вертикальной горячей стенки. Пограничный ламинарный слой теплоносителя начинает формироваться у нижней кромки стенки. По мере подъема его толщина, за счет вовлечения в движение новых порций теплоносителя, увеличивается (зона I). Одновременно растет и скорость движения.

При достаточно больших значениях скорости ламинарный поток распадается на два подслоя: ламинарный 1 и турбулентный 2. На некотором расстоянии идет стабилизация режима движения и поток движется в переходном режиме (зона II). В верхней части стенки режим движения потока турбулентный (зона III). При этом у стенки остается гидравлический пограничный слой, движущийся ламинарно. Распределение температур по нормали к стенке в ламинарно движущемся теплоносителе линейное, в турбулентном потоке криволинейное (см.рис.2.4,в).

В соответствии с изменением толщины и режима движения пограничного слоя  изменяются локальные значения коэффициента теплоотдачи. В ламинарной зоне коэффициент теплоотдачи уменьшается, т.к. возрастает толщина пограничного слоя и, следовательно, увеличивается его термическое сопротивление. В переходной зоне, в связи с уменьшением толщины ламинарно движущегося потока, коэффициент теплоотдачи растет. В турбулентной зоне гидравлический пограничный слой стабилизирован и коэффициент теплоотдачи практически постоянен (см.рис.2.4,б). Средние значения коэффициента теплоотдачи для стенки определяются по критериальному уравнению (2.26).

В качестве определяющего размера в критериальных уравнениях используется размер поверхности по вертикали: для горизонтальных плит – размер меньшей стороны, горизонтальных стержней и труб – диаметр. Определяющей температурой является температура теплоносителя вдали от поверхности теплообмена. Значения критерия Prст берутся для теплоносителя при температуре стенки. Для газов критерий Прандтля мало зависит от температуры, и отношение Pr/Prст можно считать равным единице.

При теплоотдаче внутри замкнутых объемов (узких щелях, плоских и кольцевых зазорах) при (Pr Cr)>1000 образуется серия циркуляционных токов. И в этом случае физические свойства выбираются при средних температурах стенок, в качестве определяющего размера используется толщина зазора и принимается Pr=Prст.