Лекции по "Теплотехнике"

На рис.7.6 дана схема простейшей газотурбинной установки со сгоранием топлива при постоянном давлении. Топливным насосом 5 и компрессором 4 топливо и воздух через форсунки 6 и 7 поступают в камеру сгорания 1. Из камеры продукты сгорания направляются в комбинированные сопла 2, где они расширяются, и поступают на лопатки газовой турбины 3.

На рис.7.7 и рис7.8 представлены идеальный цикл ГТУ на PV и TS диаграммах.

1-2 - адиабатное сжатие до давления Р2; 2-3 – подвод теплоты q1 при постоянном давлении Р2 (сгорание топлива); 3-4 – адиабатное расширение до первоначального давления Р1; 4-1 – охлаждение рабочего тела при постоянном давлении Р1 (отвод теплоты q2);

Характеристиками цикла являются:

степень повышения давления -  = Р2/ Р1 ;

степень изобарного расширения -  = 3 /2 .

Работа турбины:

lт = h3 – h4 . (7.10)

Работа компрессора:

lн = h2 – h1 . (7.11)

Полезная работа ГТУ равна разности работ турбины и компрессора:

LГТУ = lт – lк . (7.12)

Термический к.п.д. цикла ГТУ имеет вид:

t = 1 – 1/  (-1)/ . (7.13)

Теоретическая мощность газовой турбины, компрессора и установки (ГТУ):

Nт = lт·D/3600 = (h3 – h4)·D/3600 , (7.14)

Nк = lк·D/3600 = (h2 – h1)·D/3600 , (7.15)

NГТУ = lГТУ·D/3600 = [(h3 – h4) (h2 – h1) ]·D/3600 . (7.16)

Действительный цикл ГТУ отличается от теоретического наличием потерь на трение и вихреообразование в турбине и компрессоре. Эффективными методами повышения экономичности газотурбинных установок являются: регенерация теплоты, ступенчатое сжатие и расширение рабочего тела и пр.

36

Общие сведения

2.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА

2.1. Основные понятия и определения

Тепловая энергия представляет собой внутреннюю энергию вещества, и ее количество, передаваемое в тепловом процессе, называют количеством тепла. Количество тепла, передаваемое в единицу времени, называется тепловым потоком. Обе величины будем обозначать через Q, а отличаться они будут единицей измерения. Количество тепла измеряется в джоулях, а тепловой поток – в ваттах. В формулах для расчета количества тепла всегда присутствует время , а при расчете теплового потока предполагается =1 с и время в формуле отсутствует. Отношение теплового потока к поверхности, через которую он проходит [поверхность теплопередачи F (м2)], называют удельным тепловым потоком q (Вт/м2).

Тепловой поток возникает только при наличии разности температур, которая является движущей силой тепловых процессов и называется температурным напором. Единицей измерения температурного напора является градус. Численные значения температурного напора не зависят от шкалы измерения температуры (шкала Кельвина или Цельсия).

При неизменности температур всех точек системы во времени тепловой процесс будет стационарным. Если это условие не соблюдается даже для отдельных точек системы, то процесс считается нестационарным.

Передача тепла может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и лучистым теплообменом. В чистом виде встречаются теплопроводность и лучистый теплообмен, а конвекция всегда проходит совместно с теплопроводностью, и, в некоторых случаях, – совместно с лучистым теплообменом. Обычно конвекция, которую чаще называют теплообменом, всегда проходит совместно с теплопроводностью, а, в отдельных случаях, – еще и с лучистым (или радиационным) теплообменом.

Тепловой процесс, проходящий между твердой стенкой и теплоносителем (жидким или газообразным), называют теплоотдачей, а между двумя теплоносителями через разделяющую их стенку – теплопередачей.

В общем случае количество передаваемого тепла определяется по основному уравнению теплопередачи

Q=KFtср,                                                                      (2.1)

где К – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопередачи, Вт/(Км2);  – время, с; tср – средний температурный напор, К или С. В простейшем случае средний температурный напор равен разности средних температур горячего и холодного теплоносителей.

Коэффициент теплопередачи численно равен количеству тепла, передаваемому от горячего теплоносителя к холодному за время =1 с, через поверхность теплопередачи F=1 м2 при среднем температурном напоре t=1 С. Он зависит от большого числа факторов, и определение коэффициента теплопередачи представляет основную задачу теории теплообмена.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется термическим сопротивлением  R=1/К (м2К/Вт).

42

Теплопроводность

2.2. Теплопроводность

При теплопроводности тепловая энергия  передается за счет движения и взаимодействия молекул. Интенсивность переноса тепла определяется температурным напором и свойствами тела. Процесс теплопроводности описывается законом Фурье

                                                                      (2.2)

где  – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, Вт/(мК); dF – площадь, нормальная тепловому потоку, м2; d – время, с; dt – перепад температур, С; dn –расстояние между изотермами по нормали, м.

Коэффициент теплопроводности (обычно его называют просто теплопроводностью) является теплофизической константой материала, определяется его природой и зависит от температуры и, в некоторой степени, от давления. Он численно равен количеству тепла, проходящему в теле через площадку в один квадратный метр за одну секунду на расстояние в один метр при перепаде температур в один градус. Наибольшие значения теплопроводности у меди =450 Вт/(мК), затем идут металлы, строительные материалы и неметаллы, жидкости, теплоизоляционные материалы. Самые низкие значения, порядка 0,02 Вт/(мК), характерны для газов. С увеличением температуры теплопроводность обычно снижается. Зависимостью теплопроводности от давления, как правило, пренебрегают. Формулы для приближенного расчета теплопроводности различных веществ приведены в разделе 1 части первой данной книги.

Предел отношения разности температур к расстоянию между изотермами по нормали, представляющий собой производную температуры по нормали, называют температурным градиентом. Так же как и тепловой поток, температурный градиент является векторной величиной с направлением, противоположным тепловому потоку. Знак минус в уравнении Фурье учитывает противоположность направлений векторов теплового потока и температурного градиента.

Процесс нестационарной теплопроводности описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, полученным из теплового баланса элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz при условии независимости свойств вещества от координат и температуры. Тепло расходуется на изменение средней температуры вещества во времени t/. Расход тепла dQ определим как произведение массы dm=dV=dxdydz, теплоемкости с, времени d и изменения температуры во времени t/: cdVdt/. Приход тепла складывается из тепла за счет теплопроводности через грани параллелепипеда с площадями dFz=dx dy, dFy=dx dz и dFx=dz dy и внутренних источников тепла qVdV d. Тепло, поступающее за счет теплопроводности, определим по уравнению Фурье, в котором градиент температуры dt/dn представим как произведение частной производной на дифференциал аргумента. Теплопроводный поток составит: для оси z – dFz d (t/z)/z, для оси у – dFy d (t/y)/y и оси x – dFx d (t/z)/z. Приравняв приход тепла расходу, после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла

, или ,                 (2.3)

где а=/(с) – коэффициент температуропроводности (или просто температуропроводность), м2/с; qV – интенсивность внутренних источников (стоков) тепла, Вт/м3;  – плотность, кг/м3; с – теплоемкость, Дж/(кгК); 2t=2t/x2+2t/у2+2t/z2 – оператор Лапласа по температуре.

Решение дифференциального уравнения возможно только при использовании условий однозначности, т.е. в общем виде невозможно.

Для стационарных условий (t/=0) и одномерного температурного поля (неограниченная пластина с тепловым потоком, направленным по нормали к поверхности t/у=0 и t/z=0) при отсутствии внутренних источников (qV=0) уравнение (2.3) примет вид   d2t/dx2=0.

Интегрирование последнего уравнения приводит к выражениям dt/dx=C1 и t=C1x+C2. Как видно из последних выражений, температура по толщине неограниченной пластины изменяется по линейной зависимости. Константы интегрирования С1 и С2 определим подстановкой граничных условий. При х=0 температура на поверхности равна tcт1. На противоположной поверхности при х= температура равна tcт2. После подстановки получаем C1=(tcт2-tcт1)/ и C2=0. Подставляя значение производной dt/dx=(tcт2-tcт1)/ в уравнение Фурье (2.2), получим уравнение теплопроводности плоской неограниченной пластины тепла для стационарных условий

q=Q/(F)=t/=t/R,                                                        (2.4)

где t=tст1-tст2 – температурный напор теплопроводности, С; tст1,tст2 – температуры наружных поверхностей стенки, С;  – толщина стенки, м;  – время, с; R=/ – термическое сопротивление плоской стенки, м2К/Вт.

Для расчета многослойных плоских стенок используют уравнение (2.4), но термическое сопротивление определяется как сумма сопротивлений слоев

R=i/ i .                                                                      (2.5)

Как уже отмечалось, температура в плоской стенке изменяется по линейной зависимости (прямая 2 на рис.2.1,а), что справедливо при отсутствии зависимости теплопроводности от температуры и координат. Для возрастающей зависимости теплопроводности от температуры распределение температур будет криволинейным с более пологой частью в области высоких температур (кривая 1 на рис.2.1,а). Для большинства веществ с ростом температуры теплопроводность снижается, и для реальных тел кривая распределения температур выполаживается в области низких температур (кривая 3 на рис.2.1,а).

Для цилиндрических стенок распределение температур подчиняется логарифмической зависимости и расчетное уравнение, получаемое интегрированием закона Фурье, для бесконечной цилиндрической стенки имеет вид

Q=     и    qL=,               (2.6)

где L – длина стенки, м; RL= – линейное термическое сопротивление, мК/Вт.

Для многослойной цилиндрической стенки линейное термическое сопротивление определяется суммированием линейных термических сопротивлений слоев

RL=.                                                                      (2.7)

Для снижения потерь тепла трубопроводами в окружающую среду их покрывают слоем теплоизоляции. В этом случае тепло от горячего теплоносителя Q1=1(t1-tст)F1 конвекцией отдаётся стенке трубопровода, затем путем теплопроводности многослойной стенки (труба+изоляция) проходит к наружной поверхности Qст=L(tст1–
–tиз)/[ln(dв/dн)/(2cт)+ln(dн/dиз)/(2из)] и от нее конвективным путем отдается в окружающую среду Q2=2(tиз-t2)F2. При стационарных условиях все три тепловых потока одинаковы, т.е. Q1=Qcт=Q2=Q. Выделим из выражений тепловых потоков разности температур, проведем сложение правых и левых частей равенств. Учитывая, что F1=dвL, F2=dизL и Q1=Qcт=Q2=Q, получим

Q=L(t1-t2)/[1/(1dв)+ln(dв/dн)/(2cт)+ln(dн/dиз)/(2из)+1/(2dиз)],                (2.8)

где 1 и 2 – коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м2К).

Почти во всех реальных случаях первые два слагаемых знаменателя 1/(1dв) и ln(dв/dн)/(2cт) пренебрежительно малы. Тогда qL=Q/L=(t1–t2)/[ln(dн/dиз)/(2из)+1/(2dиз)]. С увеличением диаметра изоляции dиз первый член суммы в знаменателе растет, а второй – уменьшается. Следовательно, зависимость qL=f(dиз) при d(qL)/d(dиз)=0  будет иметь минимальную точку. После дифференцирования и приравнивания производной нулю, получим выражение для критического значения диаметра изоляции, соответствующего максимуму передаваемого тепла:

dкр=2из/2.                                                                      (2.9)

Если диаметр трубопровода будет превышать критический диаметр, то использование теплоизоляции однозначно будет снижать тепловые потери. В противном случае, т.е. при dн<dкр, использование теплоизоляции с толщиной до (dкр-dн)/2 тепловые потери будет увеличивать, а при дальнейшем увеличении толщины теплоизоляции теплопотери будут вновь снижаться.

Коэффициент теплоотдачи к воздуху 10 Вт/(м2К), теплопроводность многих теплоизоляционных материалов 0,1 Вт/(мК). Для этих условий dкр=20,1/10=0,02 м=20 мм, и для теплоизоляции труб с диаметром порядка 20 мм использование материалов с коэффициентом теплопроводности около 0,1 Вт/(мК) будет неэффективным. Для этих целей необходимо использовать материалы с меньшей теплопроводностью, например, стекловату с теплопроводностью 0,050,08 Вт/(мК).

В ряде случаев теплообменные поверхности промышленных аппаратов увеличивают использованием оребрения. Рассмотрим стационарную теплопроводность стержня длиной L, находящегося в среде с постоянной температурой и заделанного одним концом в стенку с постоянной температурой (рис.2.2). Будем полагать, что стержень имеет достаточно большую длину и его температура на конце равна температуре окружающей среды. Тепло от горячей стенки будет распространяться по стержню за счет его теплопроводности. В процессе прохождения тепла по стержню часть его будет отводиться в окружающую среду за счет конвекции. В соответствии с этим средняя температура стержня будет изменяться от максимальной в месте его заделки до минимальной и равной окружающей среде на достаточно большом удалении от стенки. Рассмотрим тепловой баланс элементарного слоя стержня толщиной dx на расстоянии х от места заделки стержня. Обозначим периметр стержня П и его сечение S. Тогда поверхность выделенного объема определится по формуле dF=П dx. Тепло, входящее в выделенный объем слева, определим  по уравнению Фурье Qx=- S(dt/dx). За счет конвекции часть этого тепла dQ=(t-tc)dF=(t-tc)П dх отведется в среду, а остальное пройдет дальше по стержню за счет теплопроводности Qx+dx=-S(dt/dx)-(Q/x)dx. Приравняв разность теплопроводных потоков тепла конвективному тепловому потоку и произведя сокращения, получим 1=(tст–t0)П=-(Q/x)=S(2t/x2).

Заменив температуру t на относительную v=tст-t0 и обозначив комплекс констант для конкретного стержня одной величиной m=[П/(S)]0,5, получим

2v/x2=mv.                                                                      (2.10)

Решение последнего дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

v=C1exp(mx)+C2exp(-mx).