Определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, и

                                               ,                                        (3.1)

Я выдвинула гипотезу о нормальном распределении, следовательно, определение параметров в моем случае не нужно.

Заметим, что при выборе параметров необходимо учитывать, что интеграл от аналитического выражения функции плотности вероятности в бесконечных пределах (или в пределах изменения значений экспериментальных данных) должен быть равен единице или близок к ней. Это условие можно назвать условием нормировки. [11]

Для нормального закона это  условие выполняется, площадь подынтегральной функции равна единице. Оно имеет первоначальный вид

                                                                 .                                        (3.2)

Проведем анализ условия  нормировки. Возьмем интеграл от нормальной функции распределения (3.1) и сделаем замену ; . Табличный интеграл , отсюда получаем

.

Я отразила наглядно условие  нормировки.

Итак, я предположила исходя из аппроксимации гистограмм и определения  аналитического выражения функции плотности распределения вероятности, что мое действительное распределение является нормальным законом распределения вероятности, то есть выдвинула гипотезу о нормальности распределения. Далее ее следует принять или опровергнуть.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Определение соответствия аналитического выражения ЗРВ экспериментальным данным

 

Так как все предположения о  характере того или иного распределения  – это гипотезы, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью критериев согласия, которые дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и экспериментальными частотами следует признать несущественными, т.е. случайными, а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда  гипотезы о характере распределения в экспериментальном ряду. [14] 

До сих пор мы предполагали, что  закон распределения генеральной  совокупности известен. Если закон  распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет  определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная  совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной  случайной величины – критерия согласия. [9]

Существует ряд критериев согласия. Применяют критерии Пирсона, Романовского или Колмогорова (чаще всего критерий Пирсона).

 

 

4.1 Критерий согласия Пирсона χ² (хи-квадрат)

 

Его применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), в этом заключается его универсальность. [8]

Использование критерия предусматривает  разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Отметим, что в наших гистограммах присутствуют  интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, поэтому мы объединим их в один.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

 
                                                     ,   (3.3) 
где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x), n_j – количество отсчетов в данном интервале, n – общее число отсчетов.

Запишем таблицу значений, полученных для вычисления χ².

 

                                                                                                   Таблица 3.2

Значения для χ²

Номера интервалов (после объединения)		nj (число попаданий в интервал)		pj
Гист. первая	Гист. вторая	Гист. первая	Гист. вторая	Гист. первая	Гист. вторая
1	1	10	17	0,012704	0,064189
2	2	19	27	0,069167	0,619476
3		34		0,120624
	3		50		1,038039
4		39		0,168403
5	4	41	56	0,188213	1,232919
6	5	37	45	0,168403	1,038039
	6		29		0,619476
7		29		0,120624
	7		11		0,261991
8		19		0,069167
9	8	12	5	0,258645	0,078500

 

Подставив полученные значения в формулу (3.3), мы получим по первой гистограмме χ²=2,222648, а по второй гистограмме χ²= 1,290865.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного  распределения теоретическому закону F(x) проверим путем сравнения этих вычисленных по формулам величин с критическим значением χ²_α, найденным в приложении 4 для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Наше число степеней свободы k равно 6 и 5.

Проверку нулевой гипотезы проводят для принятого уровня значимости q. В данном случае принятый уровень значимости q = 0,05 означает, что выдвинутая нулевая статистическая гипотеза может быть принята с доверительной вероятностью P = 0,95.

Если выполняется неравенство χ² ≤χ²_α  (приложение 4), то нулевую гипотезу принимают. Получаем 2,222648 ≤ 12, 6 и 1,290865 ≤ 11,1. Указанное неравенство соблюдено, значит гипотезу о нормальном распределении я принимаю.

Недостатком критерия согласия Пирсона  является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения  отдельных интервалов с малым  числом наблюдений. [7]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Определение результата измерения

 

Необходимо учитывать, что  результатом многократного измерения

следует считать оценку некоторой  характеристики положения закона

распределения вероятности.

  Поэтому выбор эффективной оценки характеристики положения, в первую очередь, влечет за собой снижение затрат или повышение точности измерения, а неэффективная оценка характеристики положения может повлечь за собой завышенную оценку границ доверительного интервала, а следовательно и неточность измерения.

С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины. При этом измеряемая величина является неслучайной, а оценка характеристики положения, определенная как оценка любой из перечисленных выше числовых характеристик, есть случайная величина, хотя может быть для данного закона распределения вероятности она имеет минимальное среднее квадратическое отклонение.  

Медиана указывает «центр»  распределения. С точки зрения одной  из современных концепций – теории устойчивых статистических процедур –  медиана является более приемлемой характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание. Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины. Каждая из трех характеристик – математическое ожидание, медиана, мода – описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами – отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений – симметричных унимодальных – все три характеристики совпадают, поэтому в нашем случае за результат измерений при статистической обработке выборки, состоящей из многократных наблюдений, принимается координата среднего арифметического. СКО для среднего равно 0,135655.

Допускается и представление результата измерений доверительным интервалом, в котором может находиться значение этой оценки с заданной вероятностью. В соответствии с ГОСТ 8.207-76 рекомендуется устанавливать доверительную вероятность P = 0,95. [2]

  До сих пор мы находили различные числовые характеристики выборки, которые определяются одним числом. Такие оценки называются точечными. Для больших выборок следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценок, а сами интервалы в этом случае называются доверительными. В качестве результата измерения представим доверительный интервал.         

 Доверительным интервалом называется интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром t, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью p.

Доверительные интервалы,  в  которых  находится  значение  среднего  арифметического,  принятого  в  качестве  оценки  характеристики  положения,  с  заданной  доверительной  вероятностью выражаются следующим образом:

                              

.                                     (5.1)

Для  доверительной  вероятности  Р = 0,95  t  = 1,9695, значит результат измерения находится в интервале - 0, 268422 ≤ Qi≤  0, 268422.

Для  доверительной  вероятности  Р = 0,9  t  = 1,6510, значит результат измерения находится в интервале – 0,225216 ≤ Qi≤ 0,225216.

 

 

 

 

Заключение

 

Точность  измерений – это одна из характеристик качества измерений, отражающая близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерения отражает представление о качестве  результата измерения и определяется эффективной оценкой характеристик положения.

Интервальная оценка, то есть доверительный интервал, позволяет установить точность и надежность оценки.

Я определила для нормального распределения  наиболее эффективную оценку характеристики положения закона распределения вероятности экспериментальных данных, которые были объектом исследования, что и являлось целью курсовой работы. За эффективную оценку я приняла среднее арифметическое выборки, равное -0,00125 и характеризующее центр рассеяния данных нормального распределения, а вычисленный корень из дисперсии, в свою очередь, характеризует разброс случайной величины относительно этого среднего.

Полученное мною во второй главе S_Q=2,101555 из S_Q² = 4,416532.  Также важными этапом в первой главе было определение оценок числовых характеристик, например, таких как:

• безразмерный коэффициент асимметрии s=0,039308;
• оценка третьего центрального момента = 0,364845;
• эксцесс ε = 2,468293;
• контрэксцесс =0,636505

и других.

На основе вычисленных  данных делались выводы об островершинности распределения, симметричности, одномодальности  (линейчатая диаграмма).

Вторым этапом на пути к  достижению поставленных задач была приближенная идентификация вида ЗРВ  или определение ЗРВ при помощи аналитического и графического методов, а именно, полученные оценки характеристик  сравнивались с критериальными значениями различных ЗРВ, строились  гистограммы  и для большей наглядности  полигоны и кумулятивные кривые.  После аппроксимации гистограмм и аналитического выражения функции  плотности вероятности, я ,наконец, предположила, что мое распределение имеет вид и форму нормального ЗРВ, то есть выдвинула гипотезу о распределении.

Далее гипотеза должна была быть опровергнутой или принятой путем ее доказательства при помощи критерия согласия Пирсона для двух гистограмм (χ²). В результате многократных расчетов моя гипотеза подтвердилась, так как выполнилось условие χ² ≤ χ²_α  .

Определение результата измерения  я представила в последней  пятой главе. Мною был сделан вывод, что наиболее эффективной оценкой  характеристики положения для нормального  распределения является среднее  арифметическое. А доверительные  интервалы,  в  которых  располагается значение  среднего  арифметического,  с заданной  доверительной вероятностью 0,95 и 0,9 определила равными [-4,140262; 4,137762] и [-3,473417; 3,468417]. Результат  измерения находится в интервале.

Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных. На практике оно используется для описания многих явлений, которые формируются статистически независимыми процессами. Закон нормального распределения находит большое применение в различных отраслях техники. Этому закону подчиняются многие непрерывные случайные величины, встречающиеся в технике, например, ошибки измерения, высота микронеровностей обработанной поверхности и многие другие. [10]

Цели и задачи курсовой работы выполнены поэтапно, и , в  заключение можно добавить,  что  качество результата измерений имеет  в нашей жизни большое практическое значение.

Список литературы

 

1. ГОСТ 25346-89. Основные нормы взаимозаменяемости. ЕСДП. Общие положения, ряды допусков и основные отклонения. - М. : Изд-во стандартов, 2004. – 23 с. – (Государственный стандарт Российской Федерации).
2. ГОСТ 8.207-76  ГСИ.  Прямые  измерения  с  многократными  наблюдениями.  Методы  обработки  результатов  наблюдений.  Основные  положения. – М. : Изд-во стандартов, 1977. – 10 с. – (Государственный стандарт Российской Федерации).
3. МИ 1317 ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. – М. :  Изд-во  стандартов,  1986.  – 29 с.
4. Андронов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов/ А. М. Андронов, Е. А. Копытов, Л. Я. Гринглаз. - СПб.: Питер, 2004. – 461 с.
5. Грановский, В.  А.  Методы  обработки экспериментальных данных  при измерениях/В. А. Грановский, Т. Н. Сирая. – Л.: Энергоатомиздат, 1990.  –288 с.
6. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика/В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1998. - 479 с.
7. Димов, Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация:  Учебник для вузов/ Ю.В.Димов. – СПб.: Питер, 2004. – 432 с.
8. Кострикин, А.М. Теоретическая метрология: Учебное пособие/А.М. Кострикин. - Мн.: БГУИР, 2001. – 272 с.
9. Маркин, Н. С. Основы теории обработки результатов измерений/Н. С. Маркин. – М. : Изд-во стандартов, 1991. – 176 с.
10. Пронкин, Н.С. Основы метрологии: Практикум по метрологии и измерениям. Учеб. пособие для вузов/Н.С. Пронкин - М.: Логос, 2007. — 392 с.
11. Радкевич, Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов/Я.М. Радкевич, А.Г. Схиртладзе, Б.И. Лактионов. – Изд 3-е. - М.: Высшая школа, 2007. - 791с.
12. Сергеев, А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация: Учеб. пособие/ А.Г. Сергеев, М.В. Латышев, В.В. Терегеря – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Логос, 2005. – 560 с. ил.
13. Смирнов, В. Я. Теоретическая метрология: Задание  на  курсовую  работу. Методические  указания к выполнению курсовой работы/В. Я. Смирнов. – СПб.: СЗТУ, 2003. –  90 с.
14. Юдин, М.Ф. Основные термины в области метрологии: Словарь-справочник/М.Ф. Юдин, М.Н. Селиванов и др.; под ред. Ю.В.Тарбеева.– М.: Изд-во стандартов, 1989.
15. Измерения и погрешности: Учебное пособие [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://do.ire.krgtu.ru/book/el_posob/izm_pogr/index.htm. - Загл. с экрана
16. Справочник метролога [Электронный ресурс]. – Режим доступа:  http://metrologu.ru/info/.- Загл. с экрана