Определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, и

Содержание

Содержание………………………………………………………………………….5

Введение……………………………………………………………………………..6

1 Общие положения  об этапах выполнения работы………………………….10

2 Обработка экспериментальных  данных…………………………………......13

1. Построение статистического ряда……………………………………...13
2. Определение оценок числовых характеристик……………………….19
2. Обнаружение и исключение из массива промахов…………………....24
3. Приближённая идентификация формы и вида закона

распределения вероятности  экспериментальных данных…………………..28

3.1 Метод наибольшего правдоподобия   и графический метод……….....29

          3.2 Аппроксимация гистограммы и  определение аналитического

          выражения функции плотности распределения вероятности…………….39

4  Определение соответствия аналитического выражения ЗРВ       экспериментальным данным……………………………………………………45

          4.1 Критерий согласия Пирсона………………………………………….....45

5  Определение  результата измерения…………………………………………48

Заключение………………………………………………………………………...50

Список литературы……………………………………………………………….52

Приложения……………………………………………………………………......54

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

На современном этапе  развития экономики в своей практической деятельности перед производителями  все чаще возникает вопрос о борьбе за доверие потребителя, что в  свою очередь, требует  более широкого использования методов и правил стандартизации, сертификации и неразрывно связанной с ними метрологии - науки об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Метрология постепенно становится тем инструментом, использование  которого позволяет обеспечить качество выпускаемой продукции, работ и услуг. Сегодня она пронизывает все сферы жизни. Измерение – один из важнейших путей познания природы, дающий количественную характеристику окружающего мира.

   Они имеют большое значение в технократическом обществе, давая возможность обеспечить взаимозаменяемость узлов и деталей, совершенствовать технологию, безопасность труда и других видов деятельности. [1]

В связи с развитием  науки, разработкой новых технологий, эталонов и средств измерений, измерения охватывают более современные физические величины, расширяются диапазоны измерений. Постоянно растут требования к точности и качеству измерений, так как ошибка в прогнозе получаемого результата может повлечь за собой  большие экономические или человеческие потери.

Теоретическая метрология, являясь базой измерительной техники, занимается изучением проблем измерений в целом и образующих измерение элементов: средств измерений, физических величин и их единиц, методов и методик измерений, результатов и погрешностей измерений и др..

Надежность эргономической системы, в которую входят человек, окружающая среда, объект измерений  и средство измерений, не безгранична. В ней могут происходить сбои, отказы аппаратуры, сейсмические сотрясения, описки в записях и многое другое, не имеющее отношения к измерениям. В результате появляются ошибки , вероятность которых, как следует из теории надежности больших систем, не так уж мала. При однократном измерении ошибка может быть обнаружена только путем логического анализа или сопоставления результата с априорным представлением о нем. Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить. При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера ошибки проявляются в том, что результаты отдельных измерений заметно отличаются от остальных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна. Остается понять и устранить ее причину или просто отбросить этот результат как заведомо неверный. Если отличие незначительное, то это может быть следствием, как ошибки, так и рассеяния отсчета, а, следовательно, показания и результата измерения, которые, согласно основному постулату метрологии, являются случайными.

В практической деятельности качество результата измерения оценивается как систематической, так и случайной составляющими. Например, составляющей основной погрешности является систематическая погрешность, то есть не изменяющаяся или изменяющаяся закономерно при многократных измерениях одной и той же величины.  Случайная погрешность также оказывает влияние на результат измерения, она изменяется случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайной погрешности нельзя предвидеть и предугадать.

При грубых измерениях чаще всего ограничиваются систематическими составляющими, которые могут быть учтены с помощью поправок, внесенных в результат измерения по величине равными систематическим погрешностям, но обратные по знаку. А в тех случаях, когда требуется получение высокоточных измерений, необходимо учитывать все факторы, влияющие на качество результата измерения, включая и случайные. Случайную составляющую и ее влияние на ряд можно оценить только с помощью статистических методов. Обычно она проявляется в повышенной изменчивости значений ряда.

Появление влияющей на качество результата измерения случайной составляющей связано с проблемой измерения параметров реальных процессов или явлений в реальных условиях. При подготовке и проведении высокоточных измерений в метрологической практике учитываются влияния объекта измерения, субъекта, способа измерения средства и ,соответственно, реальных условий измерения. Относительная влажность воздуха, колебание напряжения в электрической цепи, вибрации, психофизического состояние субъекта, его внимательность или острота зрения и множество других явлений составляют совокупность факторов, оказывающих влияние на качество результата измерения, и носят случайный характер.

Наиболее полно качество результата измерений определяет закон распределения вероятностей, описывающий область значений случайной величины , принимающей в результате измерения одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Необходимо учитывать, что  вид закона распределения вероятности, определяющего качество результата измерения, имеет и экономическую оставляющую многократных измерений, что важно в современных условиях, так как от него зависит рассеяние всех оценок (стандартного отклонения, асимметрии, эксцесса и т.д.). То есть для обеспечения одного и того же качества измерения при одном законе распределения можно ограничиться достаточно малым количеством экспериментальных данных, тогда как при другом – количество исходных данных должно быть значительно больше.

При анализе качества результата измерения нужно определять не только оценку характеристики положения закона распределения вероятности (среднего арифметического, медианы, моды и т.д.), но и закон распределения этой оценки.

В свою очередь, статистическая обработка полученных при измерении экспериментальных данных должна показать, в каких пределах и с какой вероятностью может находиться оценка характеристики положения закона распределения вероятности, с которой идентифицируется значение измеряемой физической величины.

Итак, целью курсовой работы является определение с помощью многократного        измерения     наиболее     эффективной      оценки характеристики положения закона распределения вероятности, идентифицируемой со значением измеряемой безразмерной величины. В ходе работы поэтапно решается несколько задач:

• обрабатывается массив экспериментальных данных статистическими методами с определением оценок числовых характеристик, строится гистограмма с ее последующей аппроксимацией;
• идентифицируется приближенно  (то есть определяется тождественность) вид и форма закона распределения вероятности экспериментальных данных; идентификация включает в себя аппроксимацию гистограммы и определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности и здесь же выдвигается гипотеза о данном распределении;
• определяется соответствие аналитического выражения ЗРВ экспериментальным данным, а именно отвергается или принимается выдвинутая гипотеза о распределении;
• определяется результат многократного измерения в виде оценки некоторой характеристики положения закона распределения вероятности и доверительный интервал.

 

 

 

 

 

1 Общие положения об этапах выполнения работы

 

В основу начала работы положен исходный массив данных, полученный путем многократных измерений. Измерением называют совокупность операций совокупность операций для определения отношения одной (измеряемой) величины к другой однородной величине, принятой за единицу, хранящуюся в техническом средстве (средстве измерений).  В данной работе, имеют место многократные измерения, которые характеризуется превышением числа измерений количества измеряемых величин. Преимущество многократных измерений – в значительном снижении влияний случайных факторов на точность измерения. Обработка многократных измерений должна проводиться в соответствии с    ГОСТ 8.207 76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения». [2]

Результат измерения (значение величины, полученное после обработки результатов наблюдений) получаются путём соответствующей обработки статистическими методами показаний, полученных с помощью средств измерений. Результат многократного измерения является случайной величиной, то есть принимающей в результате измерений одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. 

Далее результат представляется в виде некоторой оценки характеристики положения закона распределения вероятности,  значение которой определено в доверительных интервалах с заданной вероятностью. Так как размеры доверительных интервалов зависят от закона распределения вероятности, то для повышения точности целесообразно найти закон распределения вероятности и только после этого рассчитать границы, в которых может находиться оценка характеристики положения с выбранной заданной доверительной вероятностью. С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины.

Методика определения  закона распределения вероятности  случайной величины, который полностью описывается плотностью распределения вероятности и функцией распределения вероятности, базируется на использовании совокупности аналитических и графических методов (гистограммы, графики, кумулятивные кривые, определение эксцесса, асимметрии, выдвижение гипотезы о ЗРВ и т.д.), которые в последствии предстоит выполнить.

Найденные оценки необходимо сравнить с известными табличными значениями показателей, рассчитанными для различных теоретических функций распределения.

Определить с высокой достоверностью ЗРВ по оценкам показателей формы кривой сложно, так как очень часто одинаковые значения оценок могут принадлежать различным ЗРВ. По этой причине определение возможных форм ЗРВ по оценкам показателей формы кривой следует рассматривать в качестве предварительной оценки формы ЗРВ (одной или нескольких возможных вариантов).

Гипотезу о форме ЗРВ, которую следует подвергнуть  дальнейшему анализу, можно выдвинуть после построения гистограммы и кумулятивной кривой. А так как гистограмма является более информативной, чем кумулятивная кривая, то при выполнении курсовой работы ее построение обязательно. Необходимо отметить, что форма гистограммы очень часто зависит от количества интервалов, на которые разбивается весь массив выборки, от расположения интервалов относительно характеристики положения (среднего арифметического, медианы и т.д.). Поэтому целесообразно привести в работе несколько (не менее двух) гистограмм, которые могут отличаться друг от друга количеством интервалов или другими параметрами.

Окончательный вывод о  том, какая гипотеза о форме ЗРВ  должна быть подвергнута дальнейшему анализу, может быть сделан после сравнения формы ЗРВ, полученной по гистограмме, с возможными формами, определенными по оценкам показателей формы распределения (асимметрия, эксцесс, коэффициент формы кривой распределения, контрэксцесс, энтропийный коэффициент). Можно выдвинуть несколько гипотез о ЗРВ и проверить их при помощи критериев согласия, либо выдвинуть одну гипотезу и обосновать свой выбор.

Если предварительный  вывод о возможных формах ЗРВ, полученный по оценкам показателей формы, соответствует выводу о форме ЗРВ, полученному на основании построенной гистограммы, то можно гипотезу о форме ЗРВ принять к дальнейшему анализу. Если же этого соответствия не получается, то необходимо внести изменения в параметры гистограммы, построить новую гистограмму и выдвинуть по ней другую гипотезу о форме ЗРВ. Провести очередное сравнение и добиться соответствия формы гистограммы выводу, сделанному на основании сравнения оценок показателей формы распределения с показателями формы известных теоретических ЗРВ (табличных). [12]

После того как гипотеза о форме ЗРВ будет выдвинута, с помощью гистограммы и кумулятивной кривой определяются аналитическое выражение ЗРВ и числовые значения параметров, входящих в аналитическое выражение ЗРВ.

После определения ЗРВ  необходимо определить результат многократного измерения физической величины, представив его в виде характеристики положения, доверительные интервалы значений которой определены с заданной вероятностью. При этом зависимость параметра t, с помощью которого определяются доверительные границы, от доверительной вероятности для каждого ЗРВ будет разная и располагаться между зависимостью, определенной для нормального ЗРВ, и зависимостью, определенной по неравенству Чебышева.

При выполнении работы для полученного ЗРВ нужно построить зависимость параметра t от доверительной вероятности и определить по этой зависимости пределы, в которых может находиться характеристика положения для двух значений доверительной вероятности: Р = 0,9 и Р =0,95.