Определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, и

где Q_max – Q_min разность между максимальными и минимальными отсчетами исходного массива, а m – число интервалов. Получается, что

₇ = 1,6667

₉ = 1,25

₁₁ = 1

Строить гистограмму желательно симметрично относительно середины; середина моего массива данных имеет значение -0,00125, при построении для упрощения примем ≈ 0.

В таблицах 3.2 - 3.4 указаны подробные данные для построения гистограммы (полигона и кумулятивной кривой) с семью интервалами, с девятью и с одиннадцатью интервалами.

 

                                                                                                       Таблица 3.2

Данные для построения гистограммы с семью интервалами

Границы интервала	Кол. попаданий в интервал	Середины интервалов	N/nXdQ	N/n
-5,8335; -4,1668	6	-5	0,015	0,025
-4,1668; -2,5	24	-3,3334	0,06	0,1
-2,5; -0,8335	52	-1,6667	0,13	0,2167
-0,8335; 0,83355	77	0	0,1925	0,3208
0,8335; 2,5	50	1,6667	0,125	0,2083
2,5; 4,1668	25	3,3334	0,0625	0,1042
4,1668; 5,8335	6	5	0,015	0,025

 

                                                                                                           Таблица 3.3

Данные для построения гистограммы с девятью интервалами

Границы интервала	Кол. попаданий в интервал	Середины интервалов	N/nXdQ	N/n
Продолжение таблицы 3.3
-5,625; -4,375	4	-5	0,0133	0,016667
-4,375; -3,125	13	-3,75	0,0433	0,0541667
-3,125; -1,875	27	-2,5	0,09	0,1125
-1,875; -0,625	50	-1,25	0,1667	0,208333
-0,625; 0,625	56	0	0,1867	0,233333
0,625; 1,875	45	1,25	0,15	0,1875
1,875; 3,125	29	2,5	0,0967	0,120833
3,125; 4,375	11	3,75	0,0367	0,045833
4,375; 5,625	5	5	0,0167	0,020833

 

                                                                                                           Таблица 3.4

Данные для построения гистограммы с одиннадцатью интервалами

Границы интервала	Кол. попаданий в интервал	Середины интервалов	N/nXdQ	N/n
-5,5; -4,5	3	-5	0,0125	0,0125
-4,5; -3,5	7	-4	0,0292	0,029167
-3,5; -2,5	19	-3	0,0792	0,079167
-2,5; -1,5	34	-2	0,1417	0,141667
-1,5; -0,5	39	-1	0,1625	0,1625
-0,5; 0,5	41	0	0,1708	0,170833
0,5; 1,5	37	1	0,1542	0,154167
Продолжение таблицы 3.4
1,5; 2,5	29	2	0,1208	0,120833
2,5; 3,5	19	3	0,0792	0,079167
3,5; 4,5	8	4	0,0333	0,033333
4,5; 5,5	4	5	0,0167	0,016667

 

Непосредственно графическое  представление результатов далее. Заметим, что для большей наглядности строят графики статистического распределения, в частности, полигон.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой  соединяют точки середин интервалов. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают середины интервалов, а на оси ординат – соответствующие им частоты, то есть вероятность попадания в каждый интервал. Совместно с осью абсцисс образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормировки должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей). [13]

 

Рис 3.1 Гистограмма и полигон  для семи интервалов

Гистограмма первая и ее полигон по виду напоминают треугольный  ЗРВ, но ее количество интервалов, на которое  я разбила совокупность экспериментальных  данных слишком мало, поэтому возможно потеряны характерные особенности действительного ЗРВ, к тому же полигон получился резким. Для этого рассмотрим гистограмму с девятью интервалами.

Рис 3.2 Гистограмма и полигон  для девяти интервалов

 

Как мы видим, при увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины, гистограмма все более приближается к гладкой и плавной кривой — графику плотности распределения вероятности. Вторая гистограмма и полигон, несомненно, схожи с нормальным законом распределения вероятности.

После построения гистограмм последует аппроксимация одной  из гистограммы и определение соответствия аналитического ЗРВ экспериментальным данным, выдвижение гипотезы о распределении и проверка гипотезы. Но для завершения графического метода представления экспериментальных данных обратим внимание и на гистограмму с одиннадцатью интервалами.

 

Рис. 3.3 Гистограмма и полигон  для одиннадцати интервалов

 

Получается, что и третья гистограмма схожа с нормальным ЗРВ, но немного отдалена от него в  связи со слабовыраженной пологостью, которая обусловливается значением СКО.

Увеличение  оценок  энтропийного  коэффициента для каждой гистограммы указывает на увеличение интервала неопределенности, в  котором  должен  находиться  результат  многократного  измерения.

Для исключения грубых промахов кроме гистограмм целесообразно построить кумулятивные кривые по экспериментальным данным, что я и сделала.

Кумулятивная кривая представляет собой ломаную, составленную  по последовательно суммированным вероятностям.  При построении кумулятивной кривой на ось абсцисс наносятся значения признака, а ординатами служат нарастающие итоги вероятностей. Соединением вершин ординат прямыми линиями получают кумуляту. [5]

Рис. 3.4 Кумулята для семи интервалов

 

Рис. 3.5 Кумулята для девяти интервалов

Рис. 3.6 Кумулята для 11 интервалов

 

Кумуляты в данном случае определяют отсутствие промахов при построении.

Таким образом следует, что из полученных гистограмм я выбираю для

дальнейшего анализа гистограмму  с девятью интервалами и с одиннадцатью, так как они отвечают максимальному числу признаков, установленных в результате предварительного анализа. Именно эти гистограммы будут аппроксимироваться.

 

 

3.2 Аппроксимация гистограммы и определение аналитического

  выражения функции плотности распределения вероятности

 

В классической математической статистике предполагается известным вид закона распределения и производится оценка значений его параметров по результатам  наблюдений. Но обычно заранее вид  закона распределения неизвестен, а  теоретические предположения не позволяют его однозначно установить. Обработка экспериментальных также не позволит точно вычислить истинный закон распределения показателя. В таком случае следует говорить только об аппроксимации (приближенном описании) реального закона некоторым другим, который не противоречит ЭД (экспериментальным данным) и в каком-то смысле похож на этот неизвестный истинный закон. [4]

В соответствии с этими положениями постановка задачи аппроксимации закона распределения ЭД формулируется следующим образом. Имеется выборка наблюдений (x₁, x₂, …, x_n) за случайной величиной Х. Объем выборки п фиксирован.

Необходимо подобрать закон  распределения (вид и параметры), который бы в статистическом смысле соответствовал имеющимся наблюдениям.

Задача аппроксимации на основе типовых распределений решается итерационно и включает выполнение трех основных шагов:

• определения оценок параметров закона распределения;
• предварительного выбора вида закона распределения;
• оценки согласованности закона распределения и ЭД

В моей работе первый шаг уже выполнен.

Если заданный уровень согласованности  достигнут, то задача считается решенной, а если нет, то шаги повторяются снова, начиная со второго шага, на котором выбирается другой вид закона, или начиная с первого – путем некоторого уточнения параметров распределения.

Выбор вида закона распределения осуществляется посредством анализа гистограммы  распределения, оценок коэффициентов  асимметрии и эксцесса. По степени "похожести" гистограммы и графиков плотностей распределения типовых законов  или по "близости" значений оценок коэффициентов и диапазонов их теоретических  значений выбираются распределения  – кандидаты для последующей  оценки параметров.

Применительно к выбранному закону распределения производится проверка гипотезы о том, что имеющаяся  выборка может принадлежать этому  закону. Если гипотеза не отвергается, то можно считать, что задача аппроксимации решена. Если гипотеза отвергается, то возможны следующие действия: изменения значений оценок параметров распределения; выбор другого вида закона распределения; продолжение наблюдений и пополнение выборки. Конечно, такой подход не гарантирует нахождение "истинного" или даже подбора подходящего закона распределения.

В данной работе для определения аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности я сгладила полученный на основе гистограммы полигон распределений, представив его в виде более плавной кривой, после чего построила теоретическую кривую плотности распределения вероятности и сравнила с ней полученную кривую.

 

Рис. 3.7 Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности для 11 интервалов

 

Рис. 3.8 Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности для 9 интервалов

 

Так как очень часто  по внешнему виду один закон распределения вероятности трудно отличить от другого, а некоторые из них при определенных значениях параметров переходят друг в друга, я вместе с определением аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности провела сравнение оценок начальных и центральных моментов(стандартное отклонение, оценки ассиметрии, эксцесса и т.д.), представленных в таблице 3.1, с теоретическими (приложение 2 и 3).

Исходя из метода наибольшего  правдоподобия, графического метода и аппроксимации гистограмм можно предположить, что мое действительное распределение близко к нормальному, то есть выдвинуть гипотезу о виде распределения и в последствии ее доказать.

Обычно после выбора аналитического выражения аппроксимирующей

функции плотности вероятности  необходимо определить параметры функции (т.е. коэффициенты, входящие в аналитическое выражение), если вычисленных моментов недостаточно. Параметры некоторых функций (например, равномерное распределение вероятности, треугольное, трапецеидальное и т.д.) определяются легко с помощью полученной экспериментальной кривой, другие не требуют дополнительных вычислений, так как полученных значений среднего арифметического и стандартного отклонения достаточно для определения всех констант, входящих в аналитическое выражение функции плотности вероятности. Например, функция нормального распределения имеет вид