Определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, и

Этапы выполнения работы подробно представлены далее.

2 Обработка экспериментальных  данных

 

2.1 Построение статистического ряда

 

Дан массив данных (приложение 1), то есть совокупность однородных параметров, в данном случае безразмерных величин.  
При достаточно большом числе данных, их совокупность может быть громоздкой, неудобной и малонаглядной для дальнейшего наблюдения и анализа. Поэтому необходимо их сгруппировать по возрастанию, отсюда мы получим статистический ряд распределения – упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. [6] 
         В данной работе статистический ряд имеет вид

                                          

.                                              (2.1)                                        

При этом одновременно определяется количество каждого значения отсчета. Полученный ряд может быть представлен в виде таблицы, а также в виде линейчатой диаграммы. Я построила статистический ряд в виде таблицы, где значения расположены по возрастанию от Q_min = -5 до Q_max= 5.

 

                                                                                                                     Таблица 2.1

Статистический ряд распределения

Х	1	2	3	4	5		6	7	8	9	10
1	-5,0	-4,8	-4,6	-4,5	-4,2		-4,2	-3,8	-3,7	-3,6	-3,5
2	-3,5	-3,5	-3,4	-3,3	-3,3		-3,2	-3,2	-3,1	-3,0	-2,9
3	-2,8	-2,8	-2,7	-2,7	-2,6		-2,6	-2,6	-2,6	-2,5	-2,5
4	-2,5	-2,4	-2,4	-2,4	-2,4		-2,4	-2,3	-2,3	-2,2	-2,2
5	-2,2	-2,0	-2,0	-1,9	-1,8		-1,8	-1,8	-1,8	-1,8	-1,7
Продолжение таблицы 2.1
6	-1,7	-1,7	-1,7	-1,7	-1,7		-1,6	-1,6	-1,6	-1,6	-1,6
7	-1,6	-1,5	-1,5	-1,5	-1,5		-1,5	-1,5	-1,4	-1,4	-1,4
8	-1,4	-1,3	-1,2	-1,2	-1,2		-1,2	-1,1	-1,0	-1,0	-0,9
9	-0,9	-0,9	-0,8	-0,8	-0,8		-0,8	-0,8	-0,8	-0,7	-0,7
10	-0,7	-0,7	-0,7	-0,7		-0,6	-0,6	-0,6	-0,6	-0,6	-0,6
11	-0,6	-0,6	-0,5	-0,5		-0,5	-0,5	-0,4	-0,4	-0,4	-0,4
12	-0,4	-0,4	-0,4	-0,3		-0,2	-0,2	-0,2	-0,1	-0,1	0,0
13	0,0	0,1	0,1	0,2		0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
14	0,3	0,3	0,3	0,3		0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4
15	0,5	0,5	0,5	0,6		0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6
16	0,7	0,7	0,7	0,7		0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,9
17	0,9	0,9	1,1	1,2		1,2	1,2	1,3	1,3	1,3	1,3
18	1,4	1,4	1,4	1,4		1,4	1,4	1,5	1,5	1,5	1,5
19	1,6	1,6	1,6	1,6		1,6	1,6	1,7	1,7	1,7	1,8
20	1,8	1,8	1,8	1,8		1,8	1,9	1,9	1,9	2,1	2,2
21	2,2	2,3	2,3	2,3		2,4	2,4	2,4	2,5	2,5	2,6
22	2,6	2,6	2,6	2,6		2,7	2,7	2,7	2,8	2,8	2,9
23	2,9	2,9	3,0	3,1		3,2	3,4	3,5	3,5	3,6	3,7
24	3,7	3,9	3,9	4,0		4,2	4,4	4,5	4,6	4,9	5,0

 

Я определила количество каждого значения отсчета (таблица 2.2).

 

                                               Таблица 2.2

Количество каждого значения отсчета

-5,0	1
-4,8	1
-4,6	1
-4,5	1
-4,2	2
-3,8	1
-3,7	1
-3,6	1
-3,5	3
-3,4	1
-3,3	2
-3,2	2
-3,1	1
-3,0	1
-2,9	1
-2,8	2
-2,7	2
-2,6	4
-2,5	3
-2,4	5
-2,3	2
-2,2	3
-2,0	2
-1,9	1
-1,8	5
Продолжение таблицы 2.2
-1,7	6
-1,6	6
-1,5	6
-1,4	4
-1,3	1
-1,2	4
-1,1	1
-1,0	2
-0,9	3
-0,8	6
-0,7	6
-0,6	8
-0,5	4
-0,4	7
-0,3	1
-0,2	3
-0,1	2
0,0	2
0,1	2
0,2	7
0,3	4
0,4	6
0,5	3
0,6	7
0,7	4
0,8	5
0,9	3
1,1	1
Продолжение таблицы 2.2
1,2	3
1,3	4
1,4	6
1,5	4
1,6	6
1,7	3
1,8	6
1,9	3
2,1	1
2,2	2
2,3	3
2,4	3
2,5	2
2,6	5
2,7	3
2,8	2
2,9	3
3,0	1
3,1	1
3,2	1
3,4	1
3,5	2
3,6	1
3,7	2
3,9	2
4,0	1
4,2	1
4,4	1
Продолжение таблицы 2.2
4,5	1
4,6	1
4,9	1
5,0	1

 

Для большей наглядности  я построила так же линейчатую диаграмму, которая представлена на рисунке 2.1 и определяет зависимость    количества     каждого   значения    отсчета   от     его непосредственного значения.

 

Рис. 2.1 Линейчатая диаграмма

 

 

 

 

 

2.2 Определение  оценок числовых  характеристик

 

 Задачей измерения является нахождение по полученным  наблюдениям  наилучшей оценки измеряемой величины  - результата измерения и оценки точности этого результата, т.е. степени его близости к истинному значению величины - погрешности измерений. При этом считается, что закон распределения наблюдений и погрешностей известен. [7]

Под оценкой в данном случае понимается нахождение значений параметров этих распределений случайных величин по ограниченному числу наблюдений. Полученные оценки параметров распределений являются лишь приближениями к истинным значениям этих параметров и используются в качестве результата измерений и его погрешности.

Для исследования распределения  случайных величин используют моменты, представляющие собой систему численных характеристик распределения.  Если начальное значение a=X_ср , то момент называется центральным. Обычно для практических целей ограничиваются вычислением моментов не выше четвертого порядка, как и в данной работе. [11]

Итак, к числовым характеристикам статистического распределения относятся: среднее значений экспериментальных данных , оценка дисперсии, оценки начальных и центральных моментов, асимметрия и другие.

1. Средним значением называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке, которое определяется по формуле

                                                     

,                                                 (2.2)

где n  - количество отсчетов в массиве экспериментальных данных.

Среднее значение моих экспериментальных  данных = -0,00125

2. Следующим шагом является нахождение несмещенной оценки дисперсии и стандартного отклонения (первый и второй центральный моменты), которые также являются случайными величинами. Дисперсия S_Q² применяется для того, чтобы оценить рассеяние массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического. Среднеквадратичное отклонение – положительное значение квадратного корня из дисперсии.             Дисперсия и СКО  определяются по формулам

                                          ;                                                 (2.3)

                                                   .                                                        (2.4)

        Известно, что дисперсия выражает мощность рассеяния относительно

постоянной составляющей, а стандартное отклонение, имеющее размерность случайной величины, является действующим значением рассеяния случайной величины. [10]

   Произведя расчеты, я получила _Q² = 4,416532 и S_Q = 2,101555.

3. Кроме рассмотренных числовых характеристик применяется и ряд других вероятностных характеристик, каждая из которых описывает определенное свойство распределения.

Так, третий центральный момент µ₃, определяющийся по формуле

                                          ,                                             (2.5)

характеризует степень асимметрии кривой распределения относительно математического ожидания.

Определенное мной значение µ₃=0,364845.

Но третий центральный момент и его оценка имеют размерность куба

случайной величины, поэтому  для относительной характеристики удобнее применять безразмерную величину, называемую коэффициентом асимметрии S:

 

 

                                                 .                                                       (2.6)

На рисунке 2.2 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Рис. 2.2 Кривые распределения с различными асимметриями

 

При одномодальном, то есть одновершинном распределении, асимметрия положительна, если мода находится влево от среднего значения, и она отрицательна, если мода находится вправо от среднего значения.  При симметричном распределении S=0. Наше вычисленное значение S=0,039308 близко к нулю, но не равно ему, в связи с реальностью условий.

Так в каких случаях можно считать симметричным ЗРВ, если µ 3 ≈ 0? Для ответа на этот вопрос определяется параметр, характеризующий рассеяние оценки коэффициента асимметрии

                                              .                                             (2.7)

Если выполняется условие  

                                                        ,                                           (2.8)

то можно считать, что  ЗРВ симметричный, если же   условие не выполняется, то несимметричностью пренебрегать нельзя.

В моем случае распределение  можно считать симметричным, так  как условие  выполняется ( 0,23472).

4. Четвертый центральный момент определяет свойство островершинности кривой распределения и его протяженность. Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле

                                             .                                               (2.9)

Результат вычисления µ₄=48,145916.

За характеристику свойств заостренности плотности распределения вероятности и протяженности распределения принимают безразмерную величину, которая называется эксцессом

                                                      

,                                                      (2.10)

где   D_Q - второй центральный момент случайной величины (дисперсия).

В моей работе эксцесс равен 2,468293.

    При симметричном одномодальном распределении эксцесс обычно положителен, если кривая распределения островершинна, и отрицателен, если кривая плосковершинна. Исходя их этого, уже заранее можно предположить, что моё распределение островершинно.

Рис. 2.3 Распределение плотности вероятности с различными коэффициентами эксцесса

 

Эксцесс распределения для  разных законов может иметь значение от

ε = 1 для дискретного двузначного и до бесконечности. Так как для нормального закона ε = 3, то в некоторых случаях вводится понятие коэффициента эксцесса γ = ε - 3, который для менее протяженных распределений (треугольного, равномерного и т.д.) отрицательный, а для распределений, более протяженных, чем нормальный, γ > 0 и может изменяться до бесконечности.

Полученный коэффициент эксцесса равен -0,531707, что позволяет на шаг приблизиться к предположению о распределении. Возможно, распределение либо нормальное, так как значение коэффициента эксцесса близко к нулю, либо к примеру, менее протяженное треугольное, так как коэффициент отрицателен.

Последнее в расчетах не всегда удобно, поэтому применяют в расчетах чаще оценку контрэксцесса k, изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле:                     

                                                    .                                             (2.11)

По моим вычислениям  =0,636505.

По величине коэффициентов  асимметрии  эксцесса можно сделать  допущение, например, о нормальности распределения изучаемой случайной  величины, сравнив оценки характеристик  с табличными значениями. Хотя далее  это требует более строгой  проверки.