Статистическое изучение производительности труда

 

     Расчет  общей дисперсии по формуле (10):

     

     Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

      ,

     где – средняя из квадратов значений результативного признака,

       – квадрат средней величины  значений результативного признака.

     Для демонстрационного примера 

     

     

     Тогда

     

     Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

      ,                                                (13)

     где     –групповые средние,

       – общая средняя,

      –число единиц в j-ой группе,

     k – число групп.

     Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

     Таблица 13

     Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

 

 

      Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

     

     Расчет  эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

        ^{или 94,9%}

     Вывод. 94,9% вариации выпуска продукции организаций обусловлено вариацией уровня производительности труда, а 5,1% –  влиянием прочих неучтенных факторов.

     Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                          (14)

     Значение  показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

     Таблица 14

     Шкала Чэддока

 

     Расчет  эмпирического корреляционного  отношения  по формуле (14):

        ^{или 97,4%}

     Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между уровнем производительности труда и выпуском продукции организаций является весьма тесной.

     Задание 3

     По  результатам выполнения Задания 1 с  вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться производительность труда в генеральной совокупности.
2. ошибку   выборки   доли   организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

     Выполнение  Задания 3

     Целью выполнения данного  Задания является определение для генеральной совокупности организаций региона границ, в которых будут находиться величина среднего уровня производительности труда организаций и доля организаций с уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.

     1. Определение ошибки выборки среднего уровня производительности труда организаций и границы, в которых будет находиться генеральная совокупность.

     Применение  выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

     Значения  признаков единиц, отобранных из генеральной  совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

     Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

     Величина  средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

     Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

      ,                                                    (15)

     где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

            N – число единиц в генеральной совокупности,

             n – число единиц в выборочной совокупности.

     Предельная  ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

      ,

      ,                                            (16)

     где     – выборочная средняя,

               – генеральная средняя.

     Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

     В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже  Р= 0,683.

     В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки  Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

                                                             (17)

     Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

     Таблица 15

 

     По  условию задачи выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

     Таблица 16

 

     Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

      ,

     Расчет  предельной ошибки выборки по формуле (17):

     

     Определение по формуле (16) доверительного интервала  для генеральной средней:

     0,248-0,00015 0,248+0,00015

     0,24785 млн руб./чел.  0,24815 млн руб. 

     Вывод. На основании проведенного выборочного обследования организаций региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средний уровень производительности труда находится в пределах от ,024785 млн руб./чел. до 0,24815 млн руб./чел.

3. Определение ошибки выборки   доли   организаций с   уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

 

     Доля  единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

                   ,                                                                  (18)

     где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

             n – общее число единиц в совокупности.

     Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

                      ,                                           (19)

     где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;