Статистическое изучение производительности труда

 

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с производительностью труда в пределах от 0,216 до 0,264 млн руб./чел. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); 23,34% с производительностью труда в пределах от 0,264 до 0,312 млн руб./чел.; 23,33 % организации с производительностью труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,67% – менее 0,312 млн руб./чел.. 

     1.2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и  путем  расчетов 

     Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

     Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

     

     Рис. 1 Определение моды графическим методом

     Конкретное  значение моды для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

                              (3)

     где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

     h –величина модального интервала,

     f_Mo – частота модального интервала,

     f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

     f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Согласно  табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн  руб./чел., так как его частота  максимальна (f₃ = 12).

     Расчет  моды по формуле (3):

       млн руб./чел.

     Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 0,245.

     Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

     Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

     

     Рис. 2. Определение медианы графическим методом

     Конкретное  значение медианы для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

      ,                                       (4)

     где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

     h – величина медианного интервала,

      – сумма всех частот,

     f_Ме – частота медианного интервала,

     S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

     Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

     В демонстрационном примере медианным  интервалом является интервал    0,216 – 0,264 млн руб./чел., так как  именно в этом интервале накопленная  частота S_j = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

     Расчет  значения медианы по формуле (4):

       млн руб./чел.

     Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем уровень производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина – не менее 0,248 млн руб./чел.. 

     3. Расчет характеристик  ряда распределения 

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( – середина j-го интервала).

     Таблица 6

     Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

     Расчет  средней арифметической взвешенной:

                                        

     Расчет  среднего квадратического отклонения:

                         

     Расчет  дисперсии:

     σ² =0,0532²=0,0028млн.руб/чел.

     Расчет  коэффициента вариации:

                                            

     Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний выпуск продукции организаций составляет 0,248 млн. руб./чел., отклонение от среднего уровня в ту или иную сторону составляет в среднем 0,0532 млн руб./чел. (или 21,45%), наиболее характерные значения уровня производительности труда находятся в пределах от 0,1948 млн руб./чел. до 0,3012 млн руб./чел. (диапазон ).

     Значение  V_σ = 21,45% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =0,248 млн руб./чел, Мо=0,245 млн руб./чел., Ме=0,248 млн руб.\чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организхаций. Таким образом, найденное среднее значение уровня производительности труда (0,248 млн руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций. 

     4.Вычисление  средней арифметической  по исходным данным 

     Для расчета применяется формула  средней арифметической простой:

                                         (8)

     Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

     Задание 2

     По  исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания  1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:

     а) аналитической группировки;

     б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

     Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

     Выполнение  Задания 2

     Целью выполнения данного  Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

     Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

     По  условию Задания 2 факторным является признак Уровень производительности труда (X), результативным – признак Выпуск продукции (Y).

     1. Установление наличия и характера  связи между признаками Уровень  производительности труда и Выпуск продукции методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

     1а.  Применение метода  аналитической группировки

     При использовании метода аналитической  группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для  каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

     Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Уровень производительности труда и результативным признаком Y – Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

     Таблица 7

     Зависимость суммы прибыли  банков от объема кредитных  вложений