Шпаргалка по "Статистике"

Формула простой средней квадратической

(5.10)

Формула взвешенной средней квадратической

(5.11)

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней  величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач  статистического исследования. Выбор  средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего  показателя совокупности;

б) определение для данного  обобщающего показателя математического  соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью  соответствующего уравнения.

 

15. Структурные  средние величины.

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант.

Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто  встречающееся или типичное значение. Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского  спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают  центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность). В пределах интервала  надо найти то значение признака, которое  является модой.

где x0 – нижняя граница модального интервала; h – величина модального интервала; f m – частота модального интервала; f m -1 – частота интервала, предшествующего модальному; f m+ 1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (M e) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается  в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет  получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем  индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного  ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где  накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности  совокупности.

 

16. Понятие вариации. Показатели  вариации.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые  по–разному сочетаются в каждом отдельном  случае.

Колебания отдельных значений характеризуют  показатели вариации.

Термин «вариация» произошел от лат. variatio – «изменение, колеблемость, различие». Под вариацией

понимают количественные изменения  величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены  перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Систематическая вариация помогает оценить  степень зависимости изменений  в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.

Абсолютные и средние  показатели вариации и способы их расчета

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей, такие  как размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (х  мах ) и наименьшим (х т щ) значениями вариантов:

R = Xmax— X min .

Среднее линейное отклонение исчисляют  для того, чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, которое учитывает различия всех единиц изучаемой статистической совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней  без учета знака этих отклонений:

На практике меру вариации более  объективно отражает показатель дисперсии ( 2 – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат (х –  х1)2 :

Корень квадратный из дисперсии 2 среднего квадрата отклонений представляет собой  среднее квадратическое отклонение σ2 и σ– общепринятые меры вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение –  это мерило надежности средней.

Свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике), которые  позволяют упростить расчеты:

1) если из всех значений вариант  отнять какое–то постоянное число  А2 , то средний квадрат отклонений  от этого не изменится; 

2) если все значения вариант  разделить на какое–то постоянное  число А, то средний квадрат  отклонений уменьшится от этого  в А2 раз, а среднее квадратическое  отклонение – в А раз 

3) если исчислить средний квадрат  отклонений от любой величины  А, которая в той или иной  степени отличается от средней  арифметической х, то он всегда  будет больше среднего квадрата  отклонений σ2 , исчисленного от  средней арифметической.

Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах, которые позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях. Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют отношением абсолютного показателя рассеивания  к средней арифметической и умножают на 100%. Виды дисперсий и закон сложения дисперсий

При помощи группировок, подразделив  изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку–фактору, можно  определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю  из внут–ригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия 

характеризует вариацию признака, зависящую  от всех условий в изучаемой статистической совокупности. Исчисляется общая  дисперсия по формуле: где х0 – общая средняя для всей изучаемой совокупности.

 

17.  Виды  дисперсий.  Правило сложения дисперсий.

Изучение вариации (колеблемости, рассеивания) (см. Показатели вариации) признака по всей совокупности в целом, предусматривает изучение вариации для каждой из составляющих ее групп, а также  между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия D(x) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака (х_i) от общей средней величины и может быть вычислена как: 1. простая дисперсия   2. взвешенная дисперсия

Межгрупповая дисперсия (факторная) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних  от общей средней:

Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная)  отражает случайную вариацию неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы (х_i) от средней арифметической этой группы (x_ср) (групповой средней) и может быть исчислена как:

1. простая дисперсия  2. взвешенная дисперсия

На основании внутригрупповой  дисперсии по каждой группе  можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Правило сложения дисперсий

Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий. 

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак. Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации - показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице. Эмпирическое корреляционное отношение (см. пример) – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

Он показывает тесноту связи  между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Смотри схему дисперсионного анализа:  Проверка адекватности регрессионной модели

Примечание: приведены так же формулы расчета коэффициента детерминации и корреляционного отношения, которые используются при анализе рядов динамики.

Пример расчета  дисперсии 

Условие:

Объем дневной выручки в 5 торговых точках составил: 16, 21, 26, 23, X₅ (у.е.). Учитывая, что Х_ср.= 22, найти выборочную дисперсию S²

Решение: Опр. среднюю 

 

18. Понятие о статистических  рядах динамики

Коммерческая деятельность на рынке товаров и услуг развивается  во времени. Изучение происходящих при  этом изменений является одним из необходимых условий познания закономерностей  их динамики. Динамизм социально-экономических  явлений есть результат взаимодействия разнообразных причин и условий. И поскольку их совокупное действие происходит во времени, то при статистическом изучении динамики коммерческой деятельности время предстает как собирательный  фактор развития.

Основная цель статистического  изучения динамики коммерческой деятельности состоит в выявлении и определении  закономерностей ее развития во времени. Это достигается посредством  построения и анализа статистических рядов динамики.

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени.

В каждом ряду динамики имеются  два основных элемента:

1) показатель времени t;

2) соответствующие ему  уровни развития изучаемого явления  у.

В качестве отчета времени  в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Их можно выражать абсолютными, относительными или средними величинами.

В зависимости от характера  изучаемого явления уровни рядов  динамики могут относиться или к  определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В  соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений  на определенные даты (моменты) времени.

Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1998 г.: