Шпаргалка по "Статистике"

Предельные теоремы теории вероятностей позволяют определять размер случайных ошибок выборки. Различают  среднюю (стандартную) и предельную ошибку выборки. Под средней (стандартной) ошибкой выборки понимают такое расхождение между средней выборочной и генеральной совокупностями (~ —), которое не превышает ±. Предельной ошибкой выборки принято считать максимально возможное расхождение (~ —), т. е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

В математической теории выборочного  метода сравниваются средние характеристики признаков выборочной и генеральной  совокупностей и доказывается, что  с увеличением объема выборки  вероятность появления больших  ошибок и пределы максимально  возможной ошибки уменьшаются. Чем  больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик. На основании теоремы, доказанной П.Л. Чебышевым, величину стандартной ошибки простой случайной выборки при  достаточно большом объеме выборки (n) можно определить по формуле

– стандартная ошибка.

Из этой формулы средней (стандартной) ошибки простой случайной  выборки видно, что величина зависит  от изменчивости признака в генеральной  совокупности (чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки) и от объема выборки n (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Академик A.M. Ляпунов доказал, что вероятность появления случайной  ошибки выборки при достаточно большом  ее объеме подчиняется закону нормального  распределения. Эта вероятность  определяется по формуле 

В математической статистике употребляют коэффициент доверия t, значения функции F(t) табулированы при разных его значениях, при этом получают соответствующие уровни доверительной вероятности (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Коэффициент доверия t и соответствующие уровни доверительной  вероятности

Коэффициент доверия позволяет  вычислить предельную ошибку выборки,

 

т. е. предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки.

Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена  с определенной вероятностью. Как  видно из последней графы табл. 6.1, вероятность появления ошибки равной или большей утроенной  средней ошибки выборки, т. е. 

крайне мала и равна 0,003(1–0,997). Такие маловероятные события  считаются практически невозможными, а потому величину

можно принять за предел возможной  ошибки выборки.

Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю  арифметическую выборочной совокупности и величину предельной ошибки этой средней, которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная величина может отличаться от генеральной  средней в большую или меньшую  сторону. Тогда величина генеральной  средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница  будет равна 

Интервал, в который с  данной степенью вероятности будет  заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительным, а вероятность Р – доверительной вероятностью. Чаще всего доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99, тогда коэффициент доверия t равен соответственно 1,96 и 2,58. Это означает, что доверительный интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.

Наряду с абсолютной величиной  предельной ошибки выборки рассчитывается и относительная ошибка выборки, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

 

Чем больше величина предельной ошибки выборки, тем больше величина доверительного интервала и тем, следовательно, ниже точность оценки. Средняя (стандартная) ошибка выборки  зависит от объема выборки и степени  вариации признака в генеральной  совокупности.

 

12. Понятие о выборочном наблюдении. Определение необходимой численности выборки

Статистическое наблюдение можно организовать как сплошное и несплошное. Сплошное предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности явления, несплошное – лишь ее части. К несплошному относится и выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение является одним из наиболее широко применяемых  видов несплошного наблюдения. В  основе этого наблюдения лежит идея о том, что отобранная в случайном  порядке некоторая часть единиц может представлять всю изучаемую  совокупность явления по интересующим исследователя признакам. Целью  выборочного наблюдения является получение  информации прежде всего для определения  сводных обобщающих характеристик  всей изучаемой совокупности. По своей  цели выборочное наблюдение совпадает  с одной из задач сплошного  наблюдения, и поэтому встает вопрос о том, какое из двух видов наблюдения – сплошное или выборочное –  целесообразнее провести.

При решении этого вопроса  необходимо исходить из следующих основных требований, предъявляемых к статистическому  наблюдению:

• информация должна быть достоверной, т. е. максимально соответствовать реальной действительности;
• сведения должны быть достаточно полными для решения задач исследования;
• отбор информации должен быть проведен в максимально сжатые сроки для использования ее в оперативных целях;
• денежные и трудовые затраты на организацию и проведение должны быть минимальными.

При выборочном наблюдении эти  требования обеспечиваются в большей  мере, чем при сплошном. Преимущества этого метода по сравнению со сплошным можно оценить, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного  метода, а именно обеспечение случайности  отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет  получить такую совокупность единиц, которая представляет всю изучаемую  совокупность по интересующим исследователя  признакам, т. е. является репрезентативной (представительной).

При проведении выборочного  наблюдения обследуются не все единицы  изучаемого объекта, т. е. не все единицы совокупности, а лишь некоторая специально отобранная часть. Первый принцип отбора– обеспечение случайности – заключается в том, что при отборе каждой из единиц изучаемой совокупности обеспечивается равная возможность попасть в выборку. Случайный отбор – это не беспорядочный отбор, а отбор при соблюдении определенной методики, например осуществление отбора по жребию, применение таблицы случайных чисел и т. д.

Второй принцип отбора – обеспечение достаточного числа отобранных единиц – тесно связан с понятием репрезентативности выборки. Так как любое выборочное наблюдение проводится с определенной целью и четко сформулированными конкретными задачами, то понятие репрезентативности как раз и связано с целью и задачами исследования. Отобранная из всей изучаемой совокупности часть должна быть репрезентативной прежде всего в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.

В выборочном наблюдении используются понятия «генералъная совокупность» – изучаемая совокупность единиц, подлежащая изучению по интересующим исследователя признакам, и «выборочная совокупность» – случайно отобранная из генеральной совокупности некоторая ее часть. К данной выборке предъявляется требование репрезентативности, т. е. при изучении лишь части генеральной совокупности полученные выводы можно применять ко всей совокупности. Характеристиками генеральной и выборочной совокупностей могут служить средние значения изучаемых признаков, их дисперсии и средние квадратические отклонения, мода и медиана и др.

Исследователя могут интересовать и распределения единиц по изучаемым  признакам в генеральной и  выборочной совокупностях. В этом случае частоты называются соответственно генеральными и выборочными.

Система правил отбора и способов характеристики единиц изучаемой совокупности составляет содержание выборочного  метода, суть которого состоит в  получении первичных данных при  наблюдении выборки с последующим  обобщением, анализом и их распространением на всю генеральную совокупность с целью получения достоверной  информации об исследуемом явлении.

Репрезентативность выборки  обеспечивается соблюдением принципа случайности отбора объектов совокупности в выборку. Если совокупность является качественно однородной, то принцип  случайности реализуется простым  случайным отбором объектов выборки. Простым случайным отбором называют такую процедуру образования выборки, которая обеспечивает для каждой единицы совокупности одинаковую вероятность быть выбранной для наблюдения, для любой выборки заданного объема.

Таким образом, цель выборочного  метода – сделать вывод о значении признаков генеральной совокупности на основе информации случайной выборки  из этой совокупности.

Определение необходимой  численности выборки 

Одним из научных принципов  в теории выборочного метода является обеспечение достаточного числа  отобранных единиц. Теоретически необходимость  соблюдения этого принципа представлена в доказательствах предельных теорем теории вероятностей, которые позволяют  установить, какой объем единиц следует  выбрать из генеральной совокупности, чтобы он был достаточным и  обеспечивал репрезентативность выборки.

Уменьшение стандартной  ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности оценки всегда связано с  увеличением объема выборки, поэтому  уже на стадии организации выборочного  наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объем  выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов  наблюдений. Расчет необходимого объема выборки строится с помощью формул, выведенных из формул предельных ошибок выборки (Δ), соответствующих тому или иному виду и способу отбора. Так, для случайного повторного объема выборки (n) имеем:

 

Суть этой формулы –  в том, что при случайном повторном  отборе необходимой численности  объем выборки прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия (t²) и дисперсии вариационного признака (σ²) и обратно пропорционален квадрату предельной ошибки выборки (σ²). В частности, с увеличением предельной ошибки в два раза необходимая численность выборки может быть уменьшена в четыре раза. Из трех параметров два (t и σ) задаются исследователем. При этом исследователь исходя из цели

и задач выборочного обследования должен решить вопрос: в каком количественном сочетании лучше включить эти  параметры для обеспечения оптимального варианта? В одном случае его может  больше устраивать надежность полученных результатов (t), нежели мера точности (σ), в другом – наоборот. Сложнее  решить вопрос в отношении величины предельной ошибки выборки, так как  этим показателем исследователь  на стадии проектировки выборочного  наблюдения не располагает, поэтому  в практике принято задавать величину предельной ошибки выборки, как правило, в пределах до 10 % предполагаемого среднего уровня признака. К установлению предполагаемого среднего уровня можно подходить по разному: использовать данные подобных ранее проведенных обследований или же воспользоваться данными основы выборки и произвести небольшую пробную выборку.

Наиболее сложно установить при проектировании выборочного  наблюдения третий параметр в формуле (5.2) – дисперсию выборочной совокупности. В этом случае необходимо использовать всю информацию, имеющуюся в распоряжении исследователя, полученную в ранее проведенных подобных и пробных обследованиях.

Вопрос об определении  необходимой численности выборки  усложняется, если выборочное обследование предполагает изучение нескольких признаков  единиц отбора. В этом случае средние  уровни каждого из признаков и  их вариация, как правило, различны, и поэтому решить вопрос о том, дисперсии какого из признаков отдать предпочтение, возможно лишь с учетом цели и задач обследования.

При проектировании выборочного  наблюдения предполагаются заранее  заданная величина допустимой ошибки выборки в соответствии с задачами конкретного исследования и вероятность  выводов по результатам наблюдения.

В целом формула предельной ошибки выборочной средней величины позволяет определять:

• величину возможных отклонений показателей генеральной совокупности от показателей выборочной совокупности;
• необходимую численность выборки, обеспечивающую требуемую точность, при которой пределы возможной ошибки не превысят некоторой заданной величины;
• вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет иметь заданный предел.

 

13. Относительные  величины, их значение и основные  виды

Изучая экономические  явления, статистика не может ограничиваться исчислением только абсолютных величин. В анализе статистической информации важное место занимают производные  обобщающие показатели — средние  и относительные величины. Остановимся  на характеристике относительных величин.