Регрессионный анализ в статистическом изучении взаимосвязи показателей

        В наиболее общем виде задача статистики в области изучения

взаимосвязей состоит  в количественной оценке их наличия  и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних  факторов на другие. Для ее решения  применяются две группы методов, одна из которых включает в

 

                                                    9

себя методы корреляционного  анализа, а другая – регрессионный анализ. В

то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный  анализ, что имеет под собой  некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                          

                                                                               10

        2 ХАРАКТЕРИСТИКА РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

       

           2.1 Оценка взаимосвязи между факторным и результативным признаком на основе регрессионного анализа

 

            Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями [5]:

Прямой y₀=a₀+a₁x                                                                                (2.1)

гиперболы y₀=a₀+a₁                                                                                                                                 (2.2)

параболы y₀=a₀+a₁+a₂x²                                                                                  (2.3)

и так далее.

            Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

             Оценка параметров уравнений регрессии (a₀, a₁, и a₂ - в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (a₀ , a₁), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

S= Σ (y-y_x)²→min                                                                               (2.4)

            

                                                         11

 Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет

следующий вид:

                                                                       (2.5)

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр a₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков; коэффициент регрессии a₁ показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

              На практике исследования часто проводятся по большому числу наблюдений. В этом случае исходные данные удобнее представлять в сводной групповой таблице. При этом анализу подвергаются сгруппированные данные и по факторному (x) и по результативному (y) признакам, то есть уравнения парной регрессии целесообразно строить на основе сгруппированных данных [6].

               Если значения x и y заданы в определенных интервалах (a, b), то для каждого интервала сначала необходимо определить середину (x’/y’ = (a+b)/2), а затем уже коррелировать значения x’ и y’ и строить уравнения регрессии между ними.

 

               Система нормальных уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии примет вид:

                                                                 (2.6)

где n= - число анализируемых предприятий;

f_x/f_y - число предприятий, согласно распределению, соответственно по

                                                       12

факторному и результативному  признакам;

yf_y / xf_x - значения результативного и факторного признака по конкретной группе предприятий.

 

          

               2.2 Отбор факторных признаков для построения множественной регрессионной модели

 

             Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии: y_1,2,…,k=f(x₁,x₂,…,x_k)                                                               (2.7)

             Построение моделей множественной регрессии включает несколько этапов [7]:

1. Выбор формы связи  (уравнения регрессии);

2. Отбор факторных признаков;

3. Обеспечение достаточного  объема совокупности.

            Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые в определенной степени будут описывать эти связи. Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения множественной  регрессии является отбор и последующее  включение факторных признаков.

            С одной стороны, чем больше факторных признаков включено в уравнение, тем оно лучше описывает явление. Однако модель размерностью 100 и более факторных признаков сложно реализуема и требует больших затрат машинного времени. Сокращение размерности модели за счет исключения второстепенных, экономически и статистически несущественных факторов способствует простоте и качеству ее реализации.

 

                                                    13

В то же время построение модели регрессии малой размерности  может привести к тому, что такая  модель будет недостаточно адекватна исследуемым явлениям и процессам.

            Проблема отбора факторных признаков для построения моделей

взаимосвязи может быть решена на основе интуитивно-логических или

многомерных статистических методов анализа [8].

            Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ).

Сущность метода шаговой  регрессии заключается в последовательном включении факторов в уравнение  регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, на сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R²). Одновременно используется и обратный метод, то есть исключение факторов, ставших незначимыми.

            Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значения коэффициентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения. Если при включении в модель соответствующего факторного признака величина множественного коэффициента корреляции увеличивается, а коэффициента регрессии не изменяется (или меняется несущественно), то данный признак существенен и его включение в уравнение регрессии необходимо. В противном случае, фактор нецелесообразно включать в модель регрессии.

             При построении модели регрессии возможна проблема мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель (r_xij >0,8).

            Наличие мультиколлинеарности между признаками приводит к:

                                                   14

1. искажению величины параметров модели, которые имеют тенденцию к завышению, чем осложняется процесс определения наиболее существенных факторных признаков;
2. изменению смысла экономической интерпретации коэффициентов регрессии.

            В качестве причин возникновения мультиколлинеарности между признаками, можно выделить следующие:

3. изучаемые факторные признаки являются характеристикой одной и той же стороны явления или процесса. Например: показатели объема производимой продукции и среднегодовой стоимости основных фондов одновременно включать в модель не рекомендуется, так как они оба характеризуют размер предприятия;
4. факторные признаки являются составляющими элементами друг друга;
5. факторные признаки по экономическому смыслу дублируют друг друга.

             Устранение мультиколлинеарности может реализовываться через исключение из корреляционной модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков или преобразование исходных факторных признаков в новые, укрупненные факторы [9].

            Вопрос о том, какой из факторов следует отбросить, решается на основании качественного и логического анализа изучаемого явления.

        Качество уравнения регрессии зависит от степени достоверности и надежности исходных данных и объема совокупности. Исследователь должен стремиться к увеличению числа наблюдений, так как большой объем наблюдений является одной из предпосылок построения адекватных статистических моделей.

          Аналитическая форма связи результативного признака от ряда факторных выражается и называется многофакторным (множественным)

уравнением регрессии  или моделью связи.

                                                       15

Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид: y_1,2,…,k=a₀+ax₁+ax₂+…+ax_k ,                                                       (2.8)

где y_1,2,…,k  - теоретические значения результативного признака, полученные в результате подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии; x₁,x₂,…,x_k

 x₁,x₂,…,x_k  - факторные признаки;

a₁,a₂,…,a_k - параметры модели (коэффициенты регрессии).

            Параметры уравнения могут быть определены графическим методом, методом наименьших квадратов и так далее.

           

 

             2.3 Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии

 

         Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние  данного признака на моделируемый [10].

            Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

             Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет знак минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое

 

                                                         16

явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь ввиду, что когда рассматривается совокупное влияние факторов, то в силу наличия взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться.

            С целью расширения возможностей экономического анализа, используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:

       Э_xi=a₁*                                                                                           (2.9)