Корреляционно-регрессионный анализ

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 5

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Экономические данные почти  всегда представлены в виде таблиц. Числовые данные, содержащиеся в таблицах, обычно имеют между собой явные (известные) или неявные (скрытые) связи.

Явно связаны показатели, которые получены методами прямого  счета, т. е. вычислены по заранее  известным формулам. Например, проценты выполнения плана, уровни, удельные веса, отклонения в сумме, отклонения в  процентах, темпы роста, темпы прироста, индексы и т. д.

Связи же второго типа заранее  неизвестны. Однако люди должны уметь  объяснять и предсказывать (прогнозировать) сложные явления для того, чтобы  управлять ими. Поэтому специалисты  с помощью наблюдений стремятся  выявить скрытые зависимости  и выразить их в виде формул, т. е. математически смоделировать явления  или процессы. Одну из таких возможностей предоставляет корреляционно-регрессионный  анализ.

Представление экономических  и других данных в электронных  таблицах в наши дни стало простым  и естественным. Оснащение же электронных  таблиц средствами корреляционно-регрессионного анализа способствует тому, что из группы сложных, глубоко научных  и потому редко используемых, почти  экзотических методов, корреляционно-регрессионный анализ превращается для специалиста в повседневный, эффективный и оперативный аналитический инструмент. Однако, в силу его сложности, освоение его требует значительно больших знаний и усилий, чем освоение простых электронных таблиц.

Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту  связей показателей с помощью  коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые, умеренные и  др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти  их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить  статистическую значимость модели. В  экономике значимое уравнение используется, как правило, для прогнозирования изучаемого явления или показателя.

Поэтому регрессионный  анализ называют основным методом современной  математической статистики для выявления  неявных и завуалированных связей между данными наблюдений. Электронные  же таблицы делают такой анализ легко  доступным. Из множества видов этого  анализа мы рассмотрим те, которые  используются наиболее часто в качестве универсальных инструментов познания действительности.

Корреляционно-регрессионный  анализ связей между переменными  показывает, как один набор переменных (X) может влиять на другой набор (У).

 

 

 

 

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе проведен корреляционно-регрессионный  анализ показателей работы организации ООО «Система М» для выявления зависимости влияния ряда показателей на объем чистой прибыли.

Вид деятельности организации  – розничная продажа компьютеров, компьютерных комплектующих, программного обеспечения. Зависимой переменной будем считать чистую прибыль организации (. Рассмотрим влияние следующих переменных на зависимую (так как организация меняла адрес работы магазина, а также график работы факторы были взяты соответствующие):

x₁ – объем продаж, тыс.руб.

x₂ – площадь торгового зала, м²

x₃ – численность сотрудников организации, чел.

x₄ – фонд оплаты труда сотрудников, тыс.руб.

x₅ – время работы магазина, час.

Нулевой этап - это сбор данных.

На этапе сбора исходных данных и их первичной обработки, согласно теории, сходная информация может быть собрана в трех видах:

• динамические (временные) ряды;
• пространственная информация – информация о работе нескольких объектов в одном разрезе времени;
• сменная – табличная форма, т.е. информация о работе нескольких объектов за разные периоды.

В данной работе исходные данные для выполнения многофакторного  корреляционно–регрессионного анализа  влияния факторов на зависимую переменную (чистая прибыль) собраны в виде динамических рядов и представлены в таблице 1 (2011-2012 год).

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

На этапе спецификации функции регрессии предполагаем, что имеет место множественная линейная регрессия, т. е. доходы организации линейно зависят от выбранных пяти факторов x₁, x₂, …x₅. Уравнение регрессии имеет следующий вид:

,

где a₀, a₁,….a₅ – параметры уравнения регрессии, подлежат оценке.

Таблица 1 – Исходные данные

Календарный период	Переменные
	Объясняющие переменные (факторы)					Зависимая переменная (y)
	x1	x2	x3	x4	x5
1	1148	101	6	120	12	73
2	1252	101	6	121	12	88
3	1250	101	5	105	9	98
4	1329	101	5	106	9	114
5	1360	101	6	122	9	104
6	1258	101	7	131	9	74
7	1233	101	7	132	9	71
8	1237	101	7	133	9	70
9	1347	101	7	135	12	100
10	1394	101	6	124	12	112
11	1443	101	6	123	12	115
12	1715	101	7	146	12	155
13	1525	101	6	124	12	128
14	1397	101	6	123	12	110
15	1070	75	5	108	9	65
16	1068	75	5	106	9	58
17	1060	75	5	108	9	59
18	1067	75	5	110	9	63
19	1051	75	5	108	9	72
20	1059	75	5	109	9	70
21	1082	75	6	124	12	77
22	1093	75	6	125	12	89
23	1115	75	6	128	12	107
24	1104	75	6	140	12	124

 

Отчет о результатах регрессионного анализа представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Результаты выполнения функции регрессии и корреляционная матрица для первой функции

В регрессионном анализе  наиболее важными результатами являются:

• множественный R, характеризующий точность модели для имеющихся исходных данных;
• F-критерий Фишера;
• коэффициенты при переменных и Y-пересечение, являющиеся искомыми параметрами модели;
• t-статистика – величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели.

Для данной регрессии коэффициент  множественной корреляции равен  R=0,9597, а коэффициент детерминации R-квадрат=0,9211 что свидетельствует о высокой тесноте связи между выбранными факторами и доходами предприятия.

Для оценки значимости R² применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

 

где n - размер выборки (количество экспериментов); m - число параметров при переменной x.

 

Если F_факт превышает некоторое критическое значение F_крит для данных n и m при заданном уровне значимости α, то величина R² считается существенной.

F_крит находим в таблице критических значений критерия Фишера для уровня значимости a = 0,05, числу степеней свободы большей дисперсии f₁=m и числу степеней свободы меньшей дисперсии f₂=n-m-1. Таким образом, f₁=5, f₂=24-5-1=18. Для таких значений F_крит(0,05,5,18) = 2,77 и, следовательно, F_факт>F_крит, таким образом величина R² является значимой.

На t-статистике (t-критерий Стьюдента) следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет тот или иной фактор x на y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. В данной модели критерий Стьюдента уже был вычислен при выполнении функции регрессии, нам необходимо только сравнить t-критическое (t_крит) с величиной t-статистики (t_стат), для этого нужно найти количество степеней свободы f=n-m-1, f=24-5-1=18. Таким образом, при уровне значимости a=0,05 и количестве степеней свободы f=18,  значение t_крит = 2,10.

Проанализировав данные, мы можем сделать вывод, что наиболее значимыми факторами является факторы x₁, x₂, x₃, x₄. После этого исключаем фактор x₅ и повторно выполняем регрессию, строим корреляционную матрицу. Результат на рисунке 2.

Рисунок 2 – Результаты выполнения функции регрессии и корреляционная матрица для второй функции

Для данной регрессии коэффициент  множественной корреляции равен  R=0,9583, а коэффициент детерминации R-квадрат=0,9184 что свидетельствует о высокой тесноте связи между выбранными факторами и зависимой переменной.

Прежде чем вынести окончательное  решение об исключении переменных из анализа в силу их незначимого  влияния на зависимую переменную, проведем исследование совместного  влияния факторов.

Для этого воспользуемся статистикой, которая имеет F–распределение с f:

где Д_m – коэффициент детерминации регрессии с m объясняющими переменными; Д_m1 – коэффициент детерминации регрессии с m₁ факторами; m – число переменных в первой регрессии; m₁ – число переменных в последней регрессии.

Если F_расп£F_крит, то исключенные выше факторы совместно не оказывают статистически значимого влияния на функцию. Вычислим F_расп:

 

 

Определим критическое  значение статистики F_крит при f₁ = 5 – 4 = 1 и f₂ = 24 – 5 –1 = 18 и уровне значимости a=0,05. F_крит(0,05,1,18)=4,41. Тогда, сравнивая 0,62<4,41, делаем вывод, что ранее исключенные факторы совместно не оказывают статистически значимого влияния на вариацию переменной у. Поэтому фактор x₅(время работы магазина) окончательно исключаем из модели.

Этап проверки адекватности модели включает расчет следующих показателей: оценку значимости коэффициента детерминации, проверку качества подбора теоретического уравнения, вычисление специальных показателей.

Оценка значимости коэффициента детерминации необходима для решения вопроса: оказывают  ли выбранные факторы влияние  на зависимую переменную?

Для оценки значимости R² применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

 

где n - размер выборки (количество экспериментов); m - число параметров при переменной x.

 

Если F превышает некоторое  критическое значение F_крит для данных n и m и принятой доверительной вероятности, то величина R² считается существенной.

F_крит возьмем из таблицы значений критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости a = 0,05, f₁=m и f₂=n-m-1. Таким образом f₁=4, f₂=24-4-1=19. Для таких значений F_крит(0,05,4,19)=2,9 и, следовательно F_расп>F_крит, таким образом величина R² является значимой.

Проверка качества подбора теоретического уравнения проводится с использованием средней ошибки аппроксимации регрессии. Средняя ошибка аппроксимации регрессии рассчитывается по формуле:

 

,

 

где у_i – фактическое значение функции для i – го календарного периода;

у_it – теоретическое значение функции для i – го календарного периода;.

Для вычисления средней ошибки аппроксимации  составляем еще одну расчетную таблицу.

Таблица 2 – Расчет значения средней  ошибки аппроксимации

y	Фактическое значение функции	Остаток	Теоретическое значение функции	Вычисление ошибки, %
1	98,000	-6,425	104,425	-6,153
2	101,000	-11,588	112,588	-10,292
3	106,000	2,939	103,061	2,851
4	114,000	4,088	109,912	3,720
5	119,000	-1,961	120,961	-1,621
6	108,000	1,896	106,104	1,787
7	109,000	1,505	107,495	1,400
8	112,000	1,592	110,408	1,442
9	116,000	-5,590	121,590	-4,597
10	124,000	-4,153	128,153	-3,240
11	132,000	3,979	128,021	3,108
12	155,000	-15,646	170,646	-9,169
13	148,000	12,970	135,030	9,606
14	142,000	16,393	125,607	13,051
15	65,000	-3,321	68,321	-4,861
16	58,000	-4,809	62,809	-7,657
17	59,000	-8,796	67,796	-12,975
18	63,000	-10,571	73,571	-14,368
19	72,000	4,676	67,324	6,945
20	70,000	-0,447	70,447	-0,635
21	77,000	-1,373	78,373	-1,752
22	89,000	7,346	81,654	8,996
23	107,000	16,081	90,919	17,687
24	124,000	-1,830	125,830	-1,454
Среднее значение	102,833	-0,127	102,960	-0,341