Машинный эксперимент. Эффективность машинных экспериментов с моделями М_м существенно [зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Поэтому основная задача планирования машинных экспериментов с моделью М_и формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования.

Таким образом, при машинном моделировании рационально  планировать и проектировать  не [только саму модель М_м системы S, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструментальной ЭВМ

Для планирования эксперимента наиболее важное значение имеет следующее:

1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью М_м системы S;

2) возможность управления экспериментом с модельюМ_м, включая его прерывание и 
возобновление;

легкость варьирования условий проведения эксперимента ( воздействии внешней среды Е);

наличие корреляции между последовательностью точек  в процессе моделирования;

трудности, связанные  с определением интервала моделирования.

Преимуществом машинных экспериментов является возможность  полного воспроизведения условий  эксперимента с моделью исследуемой системы 51 Сравнивать две альтернативы возможно при одинаковых условиях, что достигается, например, выбором одной и той же последовательности случайных чисел для каждой из альтернатив. Существенным достоинством является простота прерывания и возобновления машинных экспериментов, что позволяет применять последовательные к эвристические приемы планирования, которые могут оказаться нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. При работе с машинной моделью М_м всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений об его] дальнейшем ходе (например, о необходимости изменения значений параметров модели М_м ).

Недостатком машинных экспериментов является то, что часто  возникают трудности, связанные  с наличием корреляции в выходных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зависят от [результатов  одного или нескольких предыдущих, и поэтому

в них содержится меньше информации, чем в независимых  наблюдениях. Так как в большинстве  существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то многие из этих методов нельзя непосредственно применять для машинных экспериментов при наличии корреляции.

Основные понятия  планирования экспериментов. В связи  с тем что математические метода планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении  процесса проведения [эксперимента, наиболее подходящей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным  ящиком». При таком кибернетическом  подходе различают входные и  выходные переменные

х,,х₂ х_к,у,у_г,...,у_т. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом

эксперименте, она  может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место  только| две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, тох—фактор, а у—реакция. В экспериментах с машинными моделями М _м системы S фактор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной

Каждый фактор х,, i=l,2,... к, может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует  определенная точка в многомерном  пространстве, называемом факторным пространством Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как, например, это показано для случая двух факторов х₁ и х₂ на рисунке (плоскость х, 0, х,).

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в  виде соотношения

y_t =ᴪ(x₁,x₂,...,x_k),i = 1,2,...,m

Функцию ᴪ связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции,— поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей 4f_t, i=J,2,... щ поэтому используют приближенные соотношения:

у, =φ(х₁,х₂,...,х_к) = 1,2,...,m 

Зависимости φ находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (например, минимальном числе испытаний), варьируя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы  при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и не изучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и Случайными.

В машинных экспериментах  с моделями М_и не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе S. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены и нельзя во время проведения данного эксперимента (испытания) с моделью М_м вводить дополнительные факторы.

Каждый фактор может принимать в испытании  одно или несколько значений, называемых уровнями, [причем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется! операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора |и требование непосредственного  воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного! воздействия на объект имеет большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим [требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Основные из них — совместимость и| независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью  М_м для оценки некоторых характеристик! [процесса функционирования исследуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой (характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы x_i , i =1,2,...,k, влияющие на искомую характеристику, и [описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов x_min÷x_max; определить координаты точек факторного пространства {х₁,х₂,...,х_к}, в которых следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Свойства объекта  исследования, т. е. процесса машинного  моделирования системы S, можно [описывать с помощью различных методов (моделей планирования). Для выбора конкретной модели] необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие Простота — одно из. главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но) при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором  реализуются все возможные сочетания [уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т. е. g=2. Такие планы называются планами типа 2 , где N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения  коэффициентов линейной модели основан  на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем х, и верхнем v  — симметрично

расположенных относительно основного уровня x,i =1,k,. Геометрическая интерпретация показана на рисунке 2.

Так как каждый фактор принимает лишь два значения, то для стандартизации и упрощения  записи| условий каждого испытания  и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответствовал -1, верхний +1, а основной — нулю.

Расположение  точек для ПФЭ типа 2 показано на рисунке б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полного факторного эксперимента типа 2².

Рассмотрим построение планов так называемого дробного факторного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторньй эксперимент типа 2². Используя матрицу планирования, приведенную в табл. 3.4, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

Y = b₀ +b₁x₁ +b₂x₂ +b₁₂ х ₁х₂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

3.2 Матрица планирования эксперимента

Уравнение регрессии для k факторов имеет следующий вид: 

+ 

Необходимое число опытов N при ПФЭ определяется по формуле:

, где  - ядро плана, 2k – звездные плечи, - число экспериментов в центре плана.

Число возможных комбинаций  N равно  46.  

План  проведения экспериментов ротатабельный план 2-ого порядка записывается в следующем виде: