Применение исследовательских задач в преподавании физики и подготовке к соревнованиям школьников

Скорости точек A и B можно выразить через скорость центра масс мяча v и угловую скорость его вращения w (R – радиус мяча)

 

Откуда

.  (1)

Эта разность давлений создает силу Магнуса, равную

 (2)

и направленную перпендикулярно  скорости мяча. Сила Магнуса и придает  мячу ускорение, равное

.

Оно направлено перпендикулярно  скорости мяча. Следовательно, это ускорение  центростремительное, и траектория мяча представляет собой дугу окружности. Радиус этой траектории R_т зависит от угловой скорости вращения мяча следующим образом:

.   (3)

Если этот радиус будет  порядка 1 м, это не устраивает футболиста, исполняющего удар, т.к. мяч будет описывать окружность этого очень малого радиуса и просто не долетит до ворот. Не устраивает его и слишком большой радиус траектории (порядка 200 м). При таком радиусе дуга, имеющая длину 16-40 м (именно с таких расстояний наносятся штрафные удары по воротам), будет мало отличаться от отрезка прямой, и мяч угодит прямо в стенку. Лучше всего, если диаметр траектории будет приблизительно равен расстоянию до ворот (см. рис. 15). Найдем, какую угловую скорость нужно придать мячу, чтобы обеспечить такую траекторию.

 

 

 

 

 

 

Рис. 15

Если удар наносится, к примеру, с 20 м, а скорость удара  около 40 м/с, то радиус траектории должен быть равен 10 м. Подставляя в формулу (3) это значение, а также стандартные  массу и радиус футбольного мяча (0,4 кг и 0,15 м), находим, что

   (4)

Выясним, какие угловые  скорости достигаются на самом деле.

Рассмотрим сначала  упругий центральный удар ноги по мячу. Так как масса ноги значительно  превышает массу мяча, то скорость мяча v связана со скоростью ноги u соотношением

.   (5)

При этом сила, действующая  со стороны ноги на мяч, равна

,  (6)

где Dt – время взаимодействия ноги с мячом. Это время можно оценить, зная, что механическое взаимодействие не может передаваться через воздух внутри мяча быстрее скорости звука c_зв. Звуковая волна, возникшая из-за того, что воздух вблизи какой-то точки мяча сжался под действием ноги, должна достичь диаметрально противоположной точки, отразиться от поверхности и вернуться в исходную точку (см. рис. 16).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 16

Следовательно, она должна пройти два диаметра мяча, а значит

. (7)

Подставив это в формулу (6), получаем

.  (8)

(Попробуйте оценить  ее численно)

При нецентральном ударе мячу сообщаются скорость поступательного движения v и угловую скорость w вращения вокруг центра масс. Силу взаимодействия мяча с ногой можно при этом разложить на силу N, направленную по радиусу мяча, и силу f, направленную по касательной (см. рис. 17).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 17

Сила N сообщает мячу только поступательное движение, скорость которого направлена по радиусу мяча и равна

 (9),

где a - угол между скоростью ноги и радиусом мяча. По второму закону Ньютона сила N равна

.    (10)

Сила f является силой трения бутсы об мяч. Момент этой силы сообщает мячу вращение. Угловую скорость этого вращения можно выразить из уравнения вращательного движения

.

Поскольку плечо силы f равно радиусу мяча R, а момент инерции мяча равен mR² (почти вся масса мяча сосредоточена в камере и покрышке), имеем

;

.   (11)

Сила трения осуществляет неупругое взаимодействие, поэтому  линейная скорость вращения мяча не должна превышать касательную скорость ноги:

;

;

.  (12)

С другой стороны, сила f удовлетворяет соотношению

.

Следовательно, из (11)

. (13)

В целом, зависимость  угловой скорости от угла a будет такова: угловая скорость (а с ней и сила f) при малых a будет возрастать по формуле (12), до тех пор, пока сила f не достигнет максимального значения (при некотором критическом a). При дальнейшем возрастании угла a сила трения остается постоянной, а угловая скорость убывает по формуле (13) При a=0^о и a=90^о угловая скорость обращается в нуль.

Найдем этот критический  угол a_кр. При этом значении угла значения w, вычисленные по формулам (12) и (13) должны совпадать:

;

.  (14)

При этом максимальная угловая  скорость

. (15).

Любое значение w<w_max будет достигаться два раза – один раз при a<a_кр, и другой раз при a>a_кр. (см. график на рис. 18).

 

 

 

 

 

Рис. 18

Выясним, будет ли достаточно этой угловой скорости для обводящего удара.

Подставляя формулы (9), (12) и (13) в формулу (3), получаем, что  радиус траектории при a<a_кр равен

,   (16)

а при a>a_кр равен

.  (17)

То есть, с увеличением  угла a радиус траектории убывает, пока a<a_кр, а затем остается постоянным. Вычислим этот минимальный радиус кривизны. Подставляя в формулу (17) m = 0,4 кг, R = 0,15 м, r = 1,3 кг/м³, m = 0,5, получаем R_{тр min} = 4,35 м. Следовательно, для нанесения обводящего штрафного удара даже не обязательно придавать мячу максимальную угловую скорость. Вычислим по формуле (16), каким должен быть угол a для удара, например, с 20 м (R_тр = 10 м):

При этом скорость поступательного  движения мяча равна v = 2u×cosa = 36,7 м/с (при u = 20 м/с), а угловая скорость его вращения равна ω = 2u×sina/R = 53,2 рад/с (n = 8,46 об/с).

Можно предположить, что  секрет Роберто Карлоса в том, что он интуитивно чувствует, в какой точке надо ударить по мячу, чтобы он по необходимой траектории полетел в ворота. А его небольшая ступня позволяет ему допускать при этом меньшую погрешность. Так что комментатор В. Маслаченко прав лишь отчасти: основную роль играют сила удара, от которой зависит скорость полета, и точка нанесения удара, от которой зависит угловая скорость, обеспечивающая искривление траектории.

 

Часть 2. Космическая Одиссея.

Уважаемый коллега!

Вряд ли вы довольны тем, как большинство учеников относится  к естественным наукам.

Мы этим тоже не очень  довольны. Причин этому тьма, виноватых  тоже легко найти, но мы решили поступить  по принципу: «Если тебе чего-то не хватает  – это потому, что ты этого  не сделал». И решили подогреть интерес  детей к нашим наукам собственными силами.

Для этого мы придумали  и провели городскую занимательную  олимпиаду «Космическая Одиссея». Идея «Одиссеи» была такая: у многих детей  есть искра «врожденного» интереса к звездам и планетам, полетам, воздухоплаванию и т.п. У большинства  эта искра гаснет, поскольку не получает топлива – интересного материала. В физических олимпиадах задачи на подобные темы есть, но, во-первых, таких задач небольшой процент, а во-вторых, в олимпиадах участвует очень малая часть детей. Мы стремились подобрать задания так, чтобы задания «Космической Одиссеи» были, во-первых, занимательными,  а во-вторых, посильными для «простого смертного», а не только для олимпиадного бойца. Поэтому из шести заданий, предложенных каждому участнику,  четыре были «открытыми», т.е. допускали в принципе не единственный правильный ответ, а какой-никакой спектр возможных версий. Другими словами, каждая из этих четырех  «качественных» задач была либо исследовательской, либо изобретательской. Два задания из шести были по характеру «расчетными» олимпиадными задачами с «аэрокосмическими» сюжетами, но и они содержали выраженную исследовательскую составляющую. На выполнение всех заданий давалось 2, 5 часа. По окончании этого времени в актовом зале были вывешены авторские решения задач. Дети могли прочитать эти решения и обсудить их с членами жюри.

 

Обращаем внимание, что  «Одиссея» проводилась не только для учеников 11 класса, но и для  учеников 7-10 классов. Для учеников каждой параллели был отдельный «пакет»  заданий. Для их решения, по нашему замыслу, должно быть достаточно школьной программы по физике ( для соответствующего класса ) и «общекультурных» знаний по астрономии, географии и другим естественным наукам – например, знания, что смена дня и ночи вызывается суточным вращением Земли, что вокруг Солнца вращается 9 планет и т.п. При этом мы хорошо представляли, что этими знаниями, «общекультурными» для нас, некоторые дети могут и не обладать. Тогда у детей появляется возможность впервые получить эти знания от нас после олимпиады во время разбора задач.

Специально для этой олимпиады мы придумали жанр «виртуальных наблюдений»: два задания из шести  давались по фотографиям, которые демонстрировались  на компьютере прямо в классе, в  котором дети писали решения. Эти  задачи, как мы и надеялись, оказались «хитами» и вызвали настоящий ажиотаж у детей всех возрастов – дети бурно обсуждали между собой эти задачи после сдачи работ,  по ним задавали  много вопросов при разборе авторских решений, по ним больше всего высказывалось дополнительных соображений. Некоторые дети при разборе решений по своей инициативе поблагодарили членов Жюри и Оргкомитета за красивые задачи.

В первой Одиссее в 2005 году  участвовали 63 человека из 11 городских  школ. Участие для школ было добровольным, никаких разнарядок не было. В 2008 году в четвертой Одиссее участвовали 114 человек.

Проверка работ содержала  важные нюансы. Она проходила в  тот же день,  дети в это время  состязались в игре «Что? Где? Когда?». В проверке участвовали учителя, которые «контрольных» решений  не знали, и по просьбе авторов должны были до знакомства с «контрольными» версиями дать собственные версии решений. И, обсуждая задания олимпиады, судьи-учителя были не менее азартны, чем участники-дети. В результате  учителя согласились, что работы нужно оценивать насколько возможно мягко, а авторы поняли, что их собственные версии решений нужно местами поправить и дополнить.

На проверку работ  ушло около полутора часов, за это  время дети успели познакомиться  и пообщаться друг с другом (во время  работы над задачами им этого делать не давали).

Задание олимпиады состояло из 3 типов задач:

1) Виртуальные наблюдения. Участникам предлагались две фотографии астрономических объектов. Необходимо было ответить на вопросы к этим фотографиям.

Великолепная  восьмерка. (9-11 класс, 2005 г.)

На фото представлен  хорошо вам известный космический  объект, снятый с земной поверхности.

1. Что это за объект?

2. Как проводились  съемки?

3. Почему на фото  получилась «восьмерка»?

2) Качественные и оценочные задачи. Школьникам предлагалось объяснить явления, описанные в условиях задачи, опираясь не только на школьный курс физики, но и на собственную эрудицию, логику и интуицию, умение связать физические законы с явлениями и фактами, традиционно относящимися к другим наукам (географии, геологии, технике).  В некоторых задачах нужно было еще и оценить некоторые величины, которые характеризуют явление.

 

Почти по «Гарри Поттеру» (9 класс, 2005 г.)

Заметка из газеты («Арт-мозаика», № 10–2001):

В прошлом году дорожный патруль штата Аризона обнаружил металлическую конструкцию, впечатавшуюся в скалу на высоте 50 футов. Картина напоминала авиакатастрофу, однако эксперты выяснили, что средство передвижения до встречи со скалой было автомобилем Шевроле.

Хозяин машины где-то раздобыл брикет твердого ракетного топлива и решил побаловать железного друга. Выехав в пустыню, нашел прямой и длинный участок шоссе, присобачил к машине капсулу с брикетом, слегка разогнался и поджег брикет. Дальше все было как в сказке: видели добра молодца севши, не видели поехавши. Все остальное эксперты установили с известной долей вероятности – по характеру горения и плавления асфальта и другим косвенным данным.

Место старта находилось более чем в трех милях от финиша, то есть от скалы. Несчастная «Антилопа  – Гну» развила скорость около 350 миль в час и оставалась на дороге на протяжении двух с половиной миль (10-15 секунд). Водитель при этом испытал перегрузки, более типичные для авиации, но все еще пытался затормозить, в результате шины стерлись, оставив на дороге жирный черный след. Затем машина, конечно, взлетела и оставшуюся до скалы милю преодолела по воздуху…

Представьте себе, что вы – как раз тот специалист-эксперт, которому поручили разобраться в  причинах катастрофы.

1)Для начала  объясните, почему машина взлетела.

2) Оцените, какой скорости должна была достигнуть машина для взлета.

 

Льдина в  небе? (10 класс, 2005 г.)

Заметка из газеты:  «Во время полета на космической станции «Салют» советский космонавт Георгий Гречко обнаружил на одной из фотографий… льдину, висящую в воздухе выше облаков! Только на Земле удалось разобраться в этом странном явлении…»

Как могла получиться такая фотография? Предложите свое объяснение