Применение исследовательских задач в преподавании физики и подготовке к соревнованиям школьников

 

Значит, формулу для  коэффициента отражения можно записать короче:

Доля звуковой энергии, прошедшей через границу, называется коэффициентом пропускания. При  перпендикулярном падении волны  на границу сумма этих двух коэффициентов  равна единице (сумма прошедшей  и отраженной энергий равна энергии волны, падающей на границу):

(1)

Если Z_i >> Z_j, то справедливо приближенное равенство:

(2)

В противоположном случае, когда Z_i << Z_j, можно аналогично считать:

(3)

В нашей ситуации будем  рассматривать школьный звонок как  точечный источник звука, помещенный под  колпак. До того, как попасть в  ухо слушателя, звук, возбудившийся  в звонке, преодолевает три границы: металл звонка – разреженный воздух под колпаком; воздух под колпаком – стекло; стекло – обычный воздух вне колпака (см. рис. 9). Найдем, как зависит интенсивность звука, зарегистрированная ухом слушателя, от звуковой мощности звонка.

Пусть звук от источника  распространяется во все стороны  одинаково (для точечного источника  в однородной среде это действительно  так). Найдем интенсивность звука  на расстоянии R от источника. Построим сферу радиуса R с центром в  источнике(см. рис. 10).

 

 

 

 

 

Рис.9       Рис.10

Из соображений симметрии  интенсивность звука на всей сфере  одинакова. Если мощность звуковой волны, испускаемой источником, равна P, то интенсивность звука на расстоянии R от него равна

(4)

Если R – это радиус колпака, то формула (4) дает интенсивность звука I₁ на границе «разреженный воздух – стекло». Тогда в стекло проходит интенсивность

(5)

а в обычный воздух за стеклом – интенсивность 

  (6)

(В этих формулах индекс «1» обозначает разреженный воздух внутри колпака, «2» - стекло, а «3» - обычный воздух вне колпака.)

Здесь есть одна тонкость. Звук электрического звонка возбуждается в самом звонке (т.е. в металле). В воздух передается только его часть (с соответствующим коэффициентом пропускания). Следовательно, звуковая мощность звонка, передаваемая в воздух, сама зависит от импеданса воздуха. Если мощность звука в самом звонке равна P₀, то мощность, передаваемая им в разреженный воздух равна

(7)

(индекс «0» обозначает  металл звонка).

С другой стороны, измерению  лучше поддается мощность звука, испускаемая звонком в обычный  воздух. По той же формуле она  равна 

(8)

Подставляя (8) в (7), получаем:

(9)

Подставив это в формулу (6), имеем 

(10)

У твердых тел волновое сопротивление  на 4-5 порядков больше, чем у газов. Поэтому для вычисления коэффициентов  пропускания можно воспользоваться  формулами (2) и (3):

 

Следовательно, формула (10) примет вид:

(11)

Чтобы звонок на урок не был слышен, он должен «раствориться» в шуме перемены. Из жизненного опыта  известно, что тихая речь на перемене не слышна, а речь средней громкости уже воспринимается. Следовательно, интенсивность I₃ должна быть не больше, чем 10^-8 Вт/м². Из формулы (11) можно выразить максимальную допустимую плотность воздуха под колпаком:

(12)

В справочнике находим, что ρ₂ = 2500 кг/м³; c₂ = 4500 м/с; c₁ = 330 м/с (скорость звука в газах зависит только от температуры и не зависит от его плотности). Радиус колпака R = 0,1 м.

Оценим мощность звонка P^* . Опыт показывает, что звонок громче человеческого крика предельной громкости (2∙10^-3 Вт), но тише больших акустических систем (10 – 100 Вт). Примем звуковую мощность звонка равной 0,2 Вт.

Подставляя все эти  данные в формулу (12), получаем ρ₁ = 0,68 кг/м³. Это приблизительно вдвое меньше обычной плотности атмосферного воздуха. Следовательно, воздух под колпаком должен быть откачан до давления в 0,5 атм = 50 000 Па.

 

Прожектор. (Юниорский ТЮФ, 2002).

Было так: из тьмы глубокой,  
Огненный взметнув клинок,  
Луч прожектора протоку  
Пересек наискосок…

А. Твардовский, «Василий Теркин»

С какого расстояния еще можно заметить невооруженным глазом луч прожектора, направленный не на вас? От каких параметров зависит это расстояние?

РЕШЕНИЕ

Лучом прожектора в этом случае мы называем светящийся конус воздуха. Он светится, потому что свет, идущий от лампы прожектора, рассеивается в воздухе. Рассеянный свет идет от конуса по всем направлениям и попадает нам в глаз. Рассмотрим это явление количественно.

Рассеяние света в воздухе подчиняется  закону Бугера:

,  (1)

где γ – коэффициент рассеяния, I₀ и I_пр  - начальная интенсивность света и интенсивность света, прошедшего расстояние l. Интенсивность света, рассеянного на расстоянии l, равна (объясните, почему)

.  (2)

В чистом воздухе γ = 2,7×10^-5 1/м, и величина γl << 1 для расстояний, меньших 1/γ = 37 км. В этом случае можно приближенно считать

.  (2’)

Будем считать, что луч прожектора является почти нерасходящимся. Поэтому  его можно представить цилиндром  с площадью сечения S (см. рис. 11). Умножая на S обе части формулы (2’), получим мощность, рассеянную в цилиндре длины l:

.  (3)

 

 

 

 

 

 

(Рис. 11)

Мощность, рассеянная цилиндром воздуха, через который прошел свет, переизлучается по всем направлениям. Пусть глаз наблюдателя расположен в точке C на расстоянии r от оси цилиндра. Найдем интенсивность света, попавшего в глаз. Из соображений симметрии световая мощность P_расс равномерно распределяется по боковой поверхности цилиндра радиусом r (см. рис. 9). Рассеянием света на пути от светящегося цилиндра к глазу можно пренебречь. Поэтому интенсивность света, попавшего в глаз, равна

,   (4)

где S_цил – площадь боковой поверхности цилиндра радиусом r.

Если мы знаем, какую интенсивность  света может зарегистрировать глаз, мы можем найти искомое расстояние:

.  (5)

Учтем, что у лампы накаливания  только 3% электрической мощности переходит  в свет. Лампа мощного прожектора расходует мощность около 1 кВт. Следовательно, ее световая мощность P₀ ≈ 30 Вт.

Примем в расчет, что чувствительность глаза определяется не только абсолютной величиной освещенности, которую  он может зарегистрировать, но и  контрастностью.  Если освещенность от дополнительного источника света  не превышает 5% фоновой освещенности, глаз этой разницы не замечает. Между тем, даже ночью нельзя говорить о полной темноте. Яркость неба в безлунную ночь равна 3×10^-4 лк, что соответствует интенсивности 4,4×10^-7 Вт/м². Значит, чтобы глаз заметил луч прожектора на фоне ночного неба, в него должна попасть интенсивность света, равная 2,2×10^-8 Вт/м².

Подставляя данные значения I_гл и P₀ в формулу (5), получаем r = 6×10³ м = 6 км, что совпадает с данными наблюдений.

Мы рассчитали также расстояние, с которого виден луч карманного фонаря. Мощность его лампы 3 Вт, т.е. световая мощность 0,1 Вт. По формуле (5) находим, что оно равно 20 м, что тоже хорошо согласуется с наблюдением.

Точка роста: с какого расстояния виден лазерный луч (например, от лазерной указки), направленный не на вас? Будут ли для этого случая верны сделанные расчеты?

 

Задача  Прометея (Всеукраинский ТЮФ, 2003). Опишите с физической точки зрения, как нашим предкам удавалось добывать огонь с помощью трения. Оцените время, необходимое для добывания огня.

РЕШЕНИЕ

Первобытная «установка» для добывания огня с помощью трения была устроена так: в куске дерева (полене, толстой палке) выдалбливалось углубление, в которое вставлялась тонкая сухая палка. Палка обматывалась веревкой, которая была натянута на большой лук (см. рис. 12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12

При движении лука взад-вперед палка  под действием веревки вращалась (то по часовой стрелке, то против). Под  действием трения палки о полено выделялась теплота. Слой дерева, соприкасающийся  с палкой, нагревался, и когда  его температура доходила до температуры воспламенения, возникал огонь.

Рассмотрим процесс с количественной точки зрения. Пусть линейная скорость лука (а следовательно, веревки и  палки) равна v. Силу трения палки о полено будем считать постоянной и равной f. Тогда за время Δt будет выделяться количество теплоты, равное

.  (1)

Часть выделившегося тепла отдается в атмосферу. Количество отданной в  атмосферу теплоты с единицы  площади за единицу времени пропорционально  разности температур между нагретым телом и атмосферой:

,  (2)

где α – коэффициент теплоотдачи, S – площадь, с которой отдается теплота, T и T₀ - температуры нагретого тела и окружающей среды соответственно. С ростом температуры скорость теплоотдачи увеличивается, в то время как скорость выделения теплоты остается постоянной. Следовательно, количество теплоты, идущее непосредственно на нагревание дерева, с ростом температуры будет уменьшаться. При некоторой равновесной температуре (зависящей от v), вся выделяемая теплота будет отдаваться в окружающую среду. Следовательно, эта температура будет максимальной. Ее можно найти из условия:

.

Подставляя формулы (1) и (2), получим:

,

откуда равновесная (максимальная) температура

.  (3)

Если эта максимальная температура  будет меньше температуры возгорания, то огонь добыть не удастся. Если же она будет равна температуре  возгорания, то на добывания огня уйдет  бесконечное время. С дальнейшим ростом T_max это время будет уменьшаться.

Найдем, с какой минимальной  скоростью необходимо крутить палочку, чтобы добыть огонь. Подставляя в  формулу (3) T_max = T_возг и выразив v, получаем:

.  (4)

Подставляя в формулу (4) значения: α = 9,6 Вт/м²×К (при скорости ветра 1 м/с), S = 3×10^-3 м², T = 500 К, T₀ = 280 К, f = 5 Н, получаем v_min ≈ 1,25 м/с.

 

Чтобы найти время, необходимое  для добывания огня, рассмотрим, как растет температура дерева с  течением времени. Часть выделяющейся от трения теплоты идет на нагрев дерева, а часть отдается в воздух.

;

,  (5)

где m – масса нагреваемого дерева, c – удельная теплоемкость дерева, ΔT – увеличение температуры дерева за время Δt. Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное для функции T(t).

.

Разделим в этом уравнении переменные:

;

.  (6)

Интегрируя, получаем:

,  (7)

гды B – некоторая константа. Ее можно найти из начальных условий: при t = 0 T = T₀. Подставив это в формулу (7), получаем B = fv. Выражая T из формулы (7), получаем:

.  (8).

График этой зависимости показан  на рис. 13.

   Рис. 13

Время воспламенения можно найти из формулы (7), подставив в нее температуру возгорания.

Мы считали, что для начала нужно  воспламенить щепку или древесную  труху массой примерно 10 г, а от нее  можно зажечь “основную массу”. Подставляя численные значения α = 9,6 Вт/м²×К (при скорости ветра 1 м/с), S ≈ 3×10^-3 м², T ≈ 500 К, T₀ ≈ 280 К, f ≈ 5 Н, v ≈ 5 м/с, c = 2700 Дж/кг,  
m ≈10г = 10^-2 кг, получаем t = 274 с ≈ 4,5 мин.

Была изготовлена демонстрационная установка. Во время демонстрации из того места, где палочка терлась  об доску, через 1 минуту начинал идти густой черный дым, но возгорание не происходило. Если к той области подносили спичку, спичка загоралась без трения. Очевидно, к месту трения не был обеспечен доступ достаточного количества воздуха. В спичечной же головке содержится окислитель – поэтому спичка и загоралась.

 

«Горе вратарям» (Юниорский ТЮФ, 2001). Любому болельщику известно, что штрафные удары бразильца Роберто Карлоса и югослава Синиши Михайловича практически не берутся. Телекомментатор Владимир Маслаченко (сам вратарь) утверждает, что это происходит из-за того, что у обоих футболистов маленькая ступня. Прокомментируйте футбольного комментатора с физической точки зрения.

РЕШЕНИЕ

В задаче требуется объяснить, почему штрафные удары Роберто Карлоса  и Синиши Михайловича так сложны для вратарей.

Когда мы видим по телевидению матчи  с участием этих игроков и наблюдаем  за этими ударами, мы замечаем, что  мяч, казалось бы, не подчиняется законом  механики. Мяч движется не по параболе, а по замысловатой линии, искривленной не только в вертикальной, но и в горизонтальной плоскости. Он облетает стенку, поставленную именно для того, чтобы преградить мячу прямой путь к воротам; и влетает в сетку там, где вратарь его абсолютно не ждет.

Попробуем все-таки объяснить  странное поведение мяча с точки зрения физических законов. Если вы внимательно наблюдали за мячом во время таких ударов, то видели, что летящий мяч быстро вращается. Особенно отчетливо вращение видно в замедленном повторе. Оказывается, именно это вращение и искривляет траекторию мяча. Разберемся с этим явлением (оно называется «эффект Магнуса») подробнее.

Мяч после удара движется в воздухе, или, что то же самое, обтекается воздушным потоком. Если при этом, мяч вращается, например, вокруг вертикальной оси по часовой стрелке, то точка A мяча движется быстрее, чем его центр, а точка B – медленнее (см. рис. 14).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14

Следовательно, и поток  воздуха обтекает точку A быстрее, чем точку B. А по уравнению Бернулли различие скоростей в разных точках потока приводит к перепаду давления: