Методика реализации внутри предметных связей при обучении математике

     К таким знаковым моделям относят классификационные схемы, сводные таблицы, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определенную структуру. Конструирование схем и таблиц надо проводить так, чтобы в них отражались связи, которые определяют основное содержание и структуру всей темы; они должны быть легко читаемы, в них особым способом должны быть выделены основные смысловые элементы. Обобщающее повторение на уровне системы понятий предполагает такую ориентацию в учебном материале, которая позволяла бы определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе предметных и знаковых моделей [21].

     В учебном курсе, считает Далингер В.А., понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют функцию подчиненную. Учитель должен уметь выделять общие, ведущие понятия курса. Ведущими понятиями будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям:

• они должны формировать научное мировоззрение;
• значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики;
• активно работать на протяжении большого промежутка времени;
• способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а в конечном счете и межпредметных;
• иметь прикладную и практическую направленность.   

     Реализация внутрипредметных связей вовсе не должна означать установление искусственных связей; наряду со связями, играющими положительную роль в процессе обучения, имеют место и связи отрицательного действия.

   Примеры связей отрицательного действия:

1. Учащиеся, используя основное свойство дроби, ошибочно преобразуют дробь  к следующему виду:   или . Ошибки получены в результате сокращения дроби не на множитель, как того требует основное свойство дроби, а на слагаемое.
2. При введении понятия иррационального числа многие учителя иллюстрируют это понятие лишь такими примерами: ;   и т. д. Это приводит к тому, что затем на вопрос: «Приведите примеры иррациональных чисел» - учащиеся отвечают лишь подобными примерами, тем самым происходит сужение объема понятия иррационального числа. Этого не произошло, если бы наряду с приведенными выше примерами учитель показал и иррациональное число 0,001 0001 00001… (используется связь с бесконечными непериодическими десятичными дробями).
3. Иногда школьники ошибочно пишут:  ; ; .

     Эти ошибки допущены из-за того, что учащиеся перенесли на эти выражения переместительный закон умножения, который они использовали при преобразовании одночленов к стандартному виду.

Отрицательные связи, устанавливаемые учениками, можно предвидеть и вести работу, которая могла бы их предотвратить.

     Важным требованием к определению понятия является его согласование с естественно – интуитивным представлением о нем. Не может, например, считаться целесообразным определение целого числа через класс пар натуральных чисел, ибо оно не сформирует у учащихся тех умений и навыков, которыми они должны владеть для проведения числовых и алгебраических преобразований. Это же следует сказать и о таких определениях: определение натурального числа как класса эквивалентных множеств; определение рационального числа как класса пар целых чисел; определение вектора как параллельного переноса, определение функции как множества пар с различными первыми компонентами.

     Реализация внутрипонятийных связей преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей – образование понятия [10].

     Аксенов А.А. утверждает, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием. В психологии этот факт получил название «силы первого впечатления».

     Оптимальная последовательность этапов формирования понятия:

- рассмотрение  примеров объектов, входящих в  объем понятия; 

- введение  термина, обозначающего понятие;

- рассмотрение  примеров объектов, не входящих  в объем понятия; 

- формулирование  определения понятия; 

- сообщение  дополнительных сведений, в частности,  указание несущественных признаков понятия;

- систематизация  и обобщение знаний [2].

         В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак.

Классификация:

• понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, точка, прямая);
• понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);
• понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);
• понятия, введенные ранее в «расплывчатом» виде, в дальнейшем получающие свое четкое определение (например, график, степень, равенство фигур).

     При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретенными учащимися вне целенаправленного обучения. Особое значение соотношение 

житейских прообразов и научных образов  приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих понятий невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся.

 

 

                                                          Рис. 1

     Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению «родословной» каждого понятия. При изучении понятий окружность схема «родословной» могут быть изображен так, как на рис. 1 [18].

     Для того, чтобы учащиеся могли верно подводить объект под понятие в случаях конъюнктивной и дизъюнктивной структур определений, Фридман Л.М. составил следующую схему распознавания:

1. Исходя из условий выбрать удобное определение понятия, под которое подводится объект.
2. Выделить в выбранном определении все признаки понятия.
3. Установить, какими логическими союзами связаны между собой эти признаки.
4. Если все признаки понятия связаны союзом «и», то для подведения объекта под понятие надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, если не выполнен хотя бы один признак, то объект не принадлежит к указанному понятию, если же все признаки выполнены, то объект принадлежит объему этого понятия.
5. Если все признаки понятия связаны союзом «или», то для установления принадлежности объекта объему понятия достаточно проверить выполнение хотя бы одного из этих признаков.

     Систематическое, целенаправленное использование такой схемы распознавания объекта позволит избежать ошибок, допускаемых учащимися при осуществлении логического приема мышления – подведения объекта под понятие [28].  

§4. МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ  САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В  ХОДЕ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ 

     Применение любого метода обучения предполагает соразмерное сочетание его самостоятельной работой учащихся, ибо учение следует рассматривать не только как воспроизведение и запоминание учебного материала, а, в первую очередь, как активную познавательную деятельность, направленную на умственную переработку этого материала, что достигается самостоятельной работой школьников.

     Как правило, в школах на самостоятельную работу учителями отводится очень мало времени, и в основном такая работа выполняется в виде заданий по образцу. Для глубокого изучения учебного материала необходимо разумное сочетание различных видов самостоятельных работ на уроке.

     Обучающие и проверочные самостоятельные работы по степени самостоятельности учащихся можно подразделить на виды: самостоятельные работы по образцу; самостоятельные работы с указанием их выполнению; самостоятельные работы вариативного характера; самостоятельные работы повышенной трудности.

1. Самостоятельные работы по образцу. Эти работы представляют собой первую ступень формирования умений и навыков самостоятельной деятельности учащихся. Эта деятельность направлена на овладение школьниками основными умениями и навыками, способами работы. Реализация внутрипредметных связей в таких самостоятельных работах осуществляется путем жесткой последовательности указаний, которые должен выполнить ученик.

      Например, учитель показывает образец решения уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения, после чего учащимся предлагается решить уравнения:

  ; и т. д.

2. Самостоятельные работы с указанием к выполнению. Эти указания должны давать лишь общее направление способа действия, и задача учащихся – самостоятельно выделить те действия, которые направлены на выполнение предложенного задания. Такой вид работы определяет более высокий уровень умений учащихся реализовывать внутрипредметные связи.

1. Учащимся предлагается задача и указывается, какой теоремой нужно воспользоваться для ее решения.

2. Учащимся предлагается задача на доказательство и указывается, какое дополнительное построение следует произвести.
3. Вычислите значение выражения

1 000 000 – (1 000 000 – (1 000 000 – (1 000 000 – 999 999))), воспользовавшись правилом раскрытия скобок.

3. Самостоятельные работы вариативного характера. Такого вида работы предполагают частичное изменение условий задач, которые до этого решались. Реализация внутрипредметных связей осуществляется учащимися на уровне переноса знаний, умений и навыков в новые условия. Такой вид самостоятельных работ, требующий более сложных видов деятельности, позволяет школьникам накапливать опыт творческой деятельности.

1. Учащимся предлагались раньше задания на прямое использование формул сокращенного умножения, а вариативной самостоятельной работой может быть работа по выполнению таких заданий.

    Заполните пропуски:

а)                           в)

б)                        г)     

    2. Заполните пропуски таким образом, чтобы стало возможным вынесение за скобки общего множителя:

а)           в)       

б)           г) .

   3.   Учащимся вначале предлагается определить, не записывая число, какое из них больше, то, которое составлено с помощью семи шестерок, или, то которое составлено с помощью шести семерок.   

     

     IV.   Самостоятельные работы повышенной трудности. Эти работы предполагают творческую самостоятельность учащихся и характеризует самый высокий уровень умений реализации внутрипредметных связей. В процессе выполнения таких работ школьники раскрывают для себя новые стороны изучаемого материала и наиболее полно проявляют свои математические способности.