Модели  олигополии, следуя предпосылке рационального  поведения субъектов рынка, как правило, анализируют взаимодействие фирм, максимизирующих прибыль. Условия максимизации прибыли для количественной и ценовой олигополии различны.

     Пусть на рынке олигополии конкурируют  п фирм с объемами производства q₁, q₂,….q_n. Отраслевой спрос известен и задан функцией Р = P(Q), где Q = . Прибыль каждого олигополиста на рынке количественной олигополии будет зависеть от структуры предложения всех участников рынка:

     Пi = Пi(q_1,q₂...,q_n). (2.1)

Условие максимизации прибыли предполагает выполнение равенства:

 (2.2)

     Таким образом, при решении задачи на максимум прибыли каждый i – й олигополист должен учитывать значения коэффициентов (при i ≠ j). Эти коэффициенты показывают, как изменяется выпуск каждого из конкурентов при изменении выпуска i-го олигополиста на единицу, и получили название предполагаемых вариаций.

     В момент принятия решений олигополист, как правило, не знает, какова будет реакция соперников на его выбор уровня выпуска. Он должен спрогнозировать, какие решения примут другие фирмы, т.е. использовать ожидаемые (или предполагаемые) значения коэффициентов - (при i ≠ j). Только при наличии гипотетических дооценок значений предполагаемых вариаций можно рассматривать

вопрос  об определенности равновесия на рынках олигополии.

     Допустим, что олигополист владеет информацией о значении предполагаемых вариаций. В этом случае, решая задачу максимизации прибыли, он может выявить функциональную зависимость своего уровня выпуска от объемов выпуска конкурентов. Полученная функциональная зависимость определяет линии реакции для каждого олигополиста:

q₁ = f (q₁,….,q_i-1,….., q_n) (2.3)

     Очевидно, что один и тот же уровень прибыли  может достигаться при различных комбинациях объемов выпуска олигополистов. Множество таких комбинаций, соответствующих одному и тому же уровню прибыли, образуют изопрофиту. Олигополист в процессе принятия решений рассматривает семейство изопрофит, каждая из которых отвечает одному из возможных уровней прибыли олигополиста. Линия реакции представляет наилучший для данного олигополиста ответ на действия конкурентов. Другими словами, линия реакции есть множество точек, соответствующих наиболее высокому уровню прибыли, которую может получить рассматриваемый олигополист при конкретной комбинации уровней выпуска конкурентов.

     Теперь  рассмотрим ситуацию ценовой олигополии. Прибыль олигополиста на рынке ценовой олигополии будет зависеть не только от цены, которую он установил на свою продукцию, но и от структуры цен, предложенных его конкурентами:

П_i= П_i (P₁, P₂,…., P_n). (2.4)

Условие максимизации прибыли для i-го олигополиста примет вид:

(2.5)

     В процессе принятия решений олигополист  должен иметь информацию о гипотетических значениях коэффициентов  - (при i ≠ j). Именно эти коэффициенты представляют предполагаемые вариации в случае ценовой олигополии и показывают, как изменяется цена, предлагаемая каждым из конкурентов при изменении цены i- го олигополиста на единицу.

     Линии реакции и изопрофиты рассматриваются в n-мерном пространстве цен, а не выпусков. Линия реакции i-го олигополиста отражает функциональную зависимость уровня цены, которую он устанавливает на свою продукцию, от уровней цен, предлагаемых конкурентами:

     P_i = Ψ (P₁, …, P_i-1, P_i+1, …, P_n). (2.6)

     Изопрофиты представляют множества комбинаций цен всех олигополистов, соответствующих одному и тому же уровню прибыли одного из них. Линия реакции — это наилучший для данного олигополиста ответ на действия конкурентов. Таким образом, в случае ценовой олигополии линия реакции есть множество точек, соответствующих наиболее высокому уровню прибыли, которую может получить рассматриваемый олигополист при данной комбинации уровней цен, предлагаемых конкурентами.

     Равновесие  на рынке олигополии, как количественной, так и ценовой, существует, если множество точек пересечения линий реакции всех олигополистов не является пустым [2].

 

     

     3. Модели дуополии

 

     Рассмотрим  базовые модели дуополии при одинаковых предпосылках. Пусть фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного спроса вида:

     P=a~bQ, где а, b — положительные константы; рыночный спрос Q складывается из объемов предложения первой и второй фирм (Q = q₁ + q₂) при цене Р.

     Пусть также обе фирмы имеют равные условия по издержкам производства:

     ТСi = cq_i, (3.1) где с — положительная константа.

     Таким образом, предельные издержки равны  средним для каждого дуополиста:

     MCi = ACi = c. (3.2)

     3.1. Модель Курно

 

     Модель  Курно — одна из классических моделей  количественной олигополии. Аналитическая версия модели анализирует стратегическое взаимодействие фирм при нулевых предполагаемых вариациях:

      (3.3)

     Это означает, что при решении задачи на максимум прибыли каждый дуополист рассматривает уровень выпуска конкурента как постоянный, и при данной предпосылке принимает решение об уровне своего выпуска.

     Прибыли дуополистов определяются как разности между выручкой и издержками каждого из них:

     П₁ =TR ₁, - ТС₁; (3.4)

     П₂=TR₂-TC₂ .     (3.5)

     При предпосылке, что им известна функция  рыночного спроса, получим:

     П₁=(a-bq_l-bq₂)q_l-cq_l; (3.6)

     П₂=(a-bq_l-bq₂)q₂-cq₂. (3.7)

     Необходимое условие максимизации прибылей дуополистов (2.2) примет вид:

      = а-2bq₁ -bq₂-c = 0; (3.8)

      = a-bq₁ -2bq₂ - c = 0. (3.9)

     Уравнения (3.7) и (3.8) задают линии реакции дуополистов и могут быть переписаны в виде:

       (3.10)

       (3.11)

     Равновесие  на рынке дуополии Курно определяется в результате решения системы уравнений (3.10), (3.11): 

     q₁ = q₂ =   (3.12) 

     Рисунок 1. Графическая иллюстрация равновесия модели дуополии Курно.

       

     Линии реакции Курно R₁(q₂) и R₂(q₁) соответствуют уравнениям (3.10) и (3.11).

     Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов  показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:

      <0;    (3.13)

      <0;   (3.14)

     Значит, равновесные объемы выпуска q₁ и q₂ обеспечивают максимум прибыли для каждого дуополиста.

     Можно доказать аналитически, что изопрофиты дуополистов Курно имеют вид, представленный на рис. 2.

     Рис. 2 Изопрофиты и линии реакции дуополистов Курно

     

     Каждая  изопрофита дуополиста Курно вогнута  к оси, на которой отображается его выпуск. Для любого данного уровня выпуска конкурента существует единственный уровень выпуска дуополиста, обеспечивающий максимум его прибыли: соответствующие комбинации уровней выпуска дуополистов отображены на линиях реакции R₁(q₂) и R₂(q₁)- Чем ближе расположена изопрофита к оси выпуска дуополиста, тем большему уровню прибыли она соответствует.

     Например, изопрофиты П и П соответствуют максимальному уровню прибыли, которую способен получить дуополист, если его конкурент уйдет с рынка. Такая ситуация соответствует случаю монополии с равновесным уровнем выпуска

          (3.15)

     при равновесной цене

          (3.16)

     что обеспечивает максимальную прибыль  на уровне

          (3.17)

     Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно  одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции и о равных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

     Q = q_i +q₂=   (3.18)

     при равновесной цене

     p = (3.19)

     что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

     П_i = (3.20)

     3.2. Модель Стэкльберга

 

     Решение проблемы асимметричной конкуренции  в условиях количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбергом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер—последователь». Если фирма первой принимает решение об уровне выпуска, то она считается лидером по объему выпуска. Лидер в модели Стэкльберга информирован о поведении последователя. Последователь осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска лидера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно. Пусть для определенности в модели количественной дуополии первая фирма является лидером, а вторая — последователем. При введенных предпосылках (2.7)—(2.9) решения модели для лидера и последователя не изменятся, если фирмы поменяются ролями. Задача максимизации прибыли фирмы-последователя аналогична ситуации принятия решений в модели Курно [см. (3.5), (3.6),(3.9)], что определяет вид линии реакции R₂ (q₁)второй фирмы, соответствующий условию (3.11):

     q₂ = - (3.21)

     Последователь рассматривает уровень выпуска  лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой предполагаемой вариации:

     Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-последователь будет определять уровень своего выпуска в зависимости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли.

     Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая определяет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами модели:

       (3.22)

     Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-лидера [см. (3.4), (3.6)] при такой предпосылке примет вид:

      (3.23)

     Уравнение (3.23) задает линию реакции лидера по Стэкльбергу

     и может быть переписано в виде:

     q_{1 =} (3.24)

     Равновесие  в модели дуополии Стэкльберга в  сравнении с равновесием в модели дуополии Курно представлено на рис. 3. Линия реакции Курно R₁ (q₂) для первой фирмы при этом поворачивается вправо - вверх вокруг точки с координатами (0; а-с ) и занимает положение (q₂)- Этот поворот обусловлен изменением структуры задачи максимизации прибыли для фирмы-лидера. Учитывая значение предполагаемой вариации (3.24), лидер фактически решает задачу на условный экстремум, максимизируя прибыль (3.6) при условии (3.11).

     

     Рис 3. Равновесие в модели дуополии Стэкльберга в сравнении с равновесием в модели дуополии Курно.

     Зная, что фирма-последователь будет  выбирать уровень выпуска, соответствующий одной из точек на ее линии реакции R₂ {q₁), фирма-лидер отдает предпочтение такой точке (комбинации уровней выпуска конкурентов), которая обеспечит ей максимально возможную прибыль. Имеется в виду точка касания изопрофиты П₁* и линии реакции R₂(q₁) (см. рис. 3). При введенных нами предпосылках (2.7)—(2.9) только одна изопрофита фирмы-лидера будет иметь точку касания с линией реакции фирмы-последователя, а значит, равновесие в модели дуополии Стэкльберга можно определить однозначно. Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно получить в результате решения системы уравнений (3.23), (3.24):