Тригонометрия

Например, число  = 0 является решением системы

 

Далее напоминаем, что значит решить систему, определяется равносильность систем. Если даны две системы, то говорят, что они равносильны, если множество решений первой системы совпадает с множеством решений второй системы. Например, равносильны следующие системы :

        и       

Говорят, что  уравнение (неравенство) равносильно  системе, если множество всех решений  уравнения (неравенства) совпадает  с множеством всех решений системы.

Например , уравнение  

                                      

равносильно системе 

                           

а неравенство 

                              

равносильно системе

                         

Говорят, что  уравнение (неравенство) равносильно  совокупности нескольких систем, если любое решение уравнения (неравенства) является решением хотя бы одной из этих систем, а любое решение каждой из систем является решением уравнения (неравенства). 

Пример 1. Решим уравнение

                                (sin x – 1)(tg x – 1) = 0.                                              (1)

Уравнение (1) равносильно  совокупности систем

                                                                                          (2) 

И

                                                                                                     (3)

Уравнение системы (2) имеет серию решений  , ни одно из чисел не удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, система (2) не имеет решений. Уравнение системы (3) имеет серию решений Каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Следовательно, только числа являются решениями совокупности систем (2) и (3), а значит, и равносильного ей уравнения (1).

Ответ: . 
 

Пример 2. Решим неравенство

                                      .                                                         (4)

Неравенство (4) равносильно совокупности двух систем

                                                                                                (5)

И

                                                                                                (6)

Система (5) имеет  множество решений (–1; 0), а множество  решений системы (6) составляют все  промежутки .

Все решения  совокупности систем (5) и (6) составляют объединение найденных промежутков. Следовательно, все решения неравенства (4), равносильного совокупности систем (5) и (6), составляют объединение тех  же промежутков.

Ответ: (–1; 0); . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.МЕТОДИКА  ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА  ИНТЕРВАЛОВ ПРИ  РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  НЕРАВЕНСТВ 

Рассмотрим на практическом примере метод интервалов для неравенства вида . Это неравенство равносильно неравенству Пусть Решить неравенство – значит найти те значения , при которых . Поскольку функция определена на множестве и имеет период , , достаточно определить промежутки знакопостоянства этой функции на любом промежутке длиной .

        Найдем нули функции  , решив уравнение :

                                      

                              

                                    

        Выпишем из полученного множества  решений уравнения несколько  его решений, идущих подряд (в  порядке возрастания) :

        При   получим ;

        При   получим ;

         При  получим .

         Решения выписываются подряд  до тех пор, пока модуль разности  между первым и последним не  станет равным  . В рассмотренном случае расстояние от до равно :

                              .

        Отметим выписанные решения точками координатной прямой.

                                     

Образовались  два интервала : и   .

         Определим теперь знаки значений функции в отмеченных двух интервалах.

          Заметив, что  Î ; pÎ , найдем :

                              

                             

           Соответственно, поставим знак «плюс»  над интервалом  и знак «минус» над интервалом . Итак, , если .

      Учитывая  периодичность функции  , запишем решение неравенства :

                           

      Ответ :      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ