Тригонометрия

      СОДЕРЖАНИЕ 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ОБРАТНЫЕ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1.1 Понятие обратной  функции

Введем понятие  обратной функции. Приведем два традиционных способа получения обратной функции. Сформулируем их упрощенно на примере функции (1) возрастающей на [0; 2] и принимающей все значения из промежутка [0; 4].

1) Сначала из  формулы (1) выразим x через y: , затем в полученной формуле заменим x на y, а y на x, получим функцию , обратную функции (1).

2) Сначала в  формуле (1) заменим x на y, а y на x, получим функцию  , затем из полученной формулы выразим y через x, получим функцию , обратную функции (1). Практика показывает, что можно научить школьников таким способом получать функцию, обратную данной, но при этом они не всегда понимают, что они делают, выполняя шаг «заменим x на y, а y на x».Разъясним смысл этого шага и введем понятие взаимно обратных функций. Рассмотрим тот же пример. Функция (1) отображает отрезок [0; 2] оси Оx на отрезок [0; 4] оси Oy взаимно однозначно, где 0 = f(0),

4 = f(2) (рис. 1). Но  тогда каждому  можно поставить в соответствие единственное такое, что y = f(x). Это означает, что x есть функция y. Выразив из формулы (1) x через y для и найдем функцию φ(y), обозначив ее так: .(2) 

рисунок 1 

Таким образом, зависимость между x и y можно задать как в виде (1), так и в виде (2). При этом справедливы свойства:

 

Так как равенства (1) и (2) выражают одну и ту же зависимость между x и y, то графики функций (1) и (2) совпадают, поэтому функция (2) также является непрерывной и возрастающей на отрезке [0; 4], областью ее изменения является отрезок [0; 2], а ее графиком является та же линия (см. рис. 1). Отметим, что функция φ есть закон, по которому значения зависимой переменной определяются по значениям независимой переменной; при этом совершенно неважно, какими буквами обозначены эти переменные, поэтому функцию φ, обратную к функции f, можно задать как формулой (2), так и формулой

                                 . (3)

Поскольку более привычно функцию записывать так, чтобы независимая переменная обозначалась буквой x, а зависимая — буквой y, то часто функцию φ, обратную к функции f, записывают именно формулой (3).

Однако здесь есть некоторая тонкость. Графики функций определяются геометрическим соглашением : x выражает абсциссу, а y — ординату точки графика. В соответствии с этим соглашением функция φ, записанная в виде (2), имеет график — кривую

 (см. рис. 1), а записанная в виде (3) — другой график — кривую (рис. 2). При объяснении обсуждаемого материала в классе помогает такой прием. Изобразим на листе бумаги график функции (см. рис. 1). Этот же рисунок используем, чтобы показать график обратной функции, , но здесь аргумент y откладывается вверх, а функция x — вправо. Чтобы перейти к привычному откладыванию аргумента вправо, а функции вверх, выполним последовательно два поворота листа бумаги: на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, затем на 180° вокруг оси y. График окажется на невидимой стороне листа, но посмотрев этот лист на свет, учащиеся увидят график, изображенный на рисунке 2. Остается соблюсти упомянутое выше геометрическое соглашение, для чего надо заменить x на y, а y на x. 

рисунок 2 

Практика показывает, что после такого объяснения с демонстрацией графика и его преобразований «таинственный» шаг «заменим x на y, а y на x» становится понятным. Два эти преобразования графика можно заменить одним — симметрией относительно прямой y = x. Теперь становится понятным и свойство графиков взаимно обратных функций: они симметричны относительно прямой y = x. 

1.2 Основные обратные тригонометрические функции 

Далее изучаются свойства и графики основных обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. В качестве примера применения излагаемой теории покажем, как строится график функции, обратной функции y = sin x, . Для начала заменим x на y, а y на x, получим функцию x = sin y, , а затем построим ее график, откладывая аргумент вверх, а функцию вправо (рис. 3). Это и будет график искомой функции. Теперь получим формулу, которой задается эта

функция. Для этого запишем данную функцию в виде x = sin y, . Здесь . Преобразуем аргумент синуса так, чтобы он принадлежал промежутку :

  , .

Так как sin y = sin (p – y), то данную функцию можно задать формулой x = sin (p – y), (p – y)Î . Теперь, по определению арксинуса, имеем : p – y = arcsin x, . Выразив из последнего равенства y через x, получим функцию, обратную данной: y = p – arcsin x, .  

рисунок 3. 

  Для функции y = arcsin x рассмотрим на координатной плоскости xOy единичную окружность (рис. 4). Если число a таково, что | a | 1, то прямая y = a пересекает правую полуокружность единичной окружности в единственной точке B. При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , синус которого равен a (см. рис. 4). Этот угол обозначают arcsin a (читают: «арксинус a»). Слово «арксинус» происходит от греческого слова — дуга. Имеется в виду дуга окружности, на которую опирается соответствующий центральный угол.

рисунок 4 
 

Пример 1.

а) arcsin 0 = 0; б) arcsin 1 = ; в) arcsin (–1) = – ; г) arcsin = ;

(на рисунке 5 ). 

рисунок 5 

Арксинус числа a (| a | 1) есть угол a из промежутка , синус которого равен a : sin a = a.

Подчеркнем, что для любого числа a такого, что:

1) | a | 1, существует, и притом единственный, арксинус этого числа;

2) | a | > 1, арксинус этого числа не существует, поэтому запись arcsin a для такого a не имеет смысла. Например, не имеют смысла записи arcsin 2 и arcsin (- ), так как 2 > 1 и > 1. Из определения арксинуса следует, что если | a | 1, то sin(arcsina)= a. Рассмотрим несколько задач, при решении которых используется понятие арксинуса. 

Задача. Для данного числа a такого, что | a | < 1, найти все углы a, для каждого из которых

                                       sin a = a.                                                   (4)

Рассмотрим единичную окружность (рис. 6). Так как | a | < 1, то прямая y = a пересекает окружность в двух точках и . При этом вектор образует с вектором угол a= arcsin , а вектор образует с вектором угол .  

рисунок 6 

Из определения синуса следует, что sin = a. Очевидно, что все углы, отличающиеся от на любое целое число полных оборотов, то есть углы , где n ÎZ, удовлетворяют условию (4). Из определения синуса угла следует, что sin = a.

Точно так же все углы, отличающиеся от на любое целое число полных оборотов, то есть углы , k ÎZ, также удовлетворяют условию (4). Легко видеть, что нет других углов a, удовлетворяющих условию (4).

Ответ: a = arcsin a + 2pn, n ÎZ; a = p – arcsin a + 2pk, kÎ Z.

Учебные тексты, посвященные арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу, построены аналогично, однако можно выделить особенности каждой из функций. 

      Для арксинуса :  

         Теорема (о свойствах функции ).

1. Область определения функции - промежуток .
2. Область (множество) значений функции - промежуток .
3. Функция не является периодической.
4. Наименьшее значение функция принимает в точке .
5. Наибольшее значение функция принимает в точке .
6. Нулем функции является значение аргумента .
7. Функция принимает отрицательные значения на промежутке  и положительные значения на промежутке .
8. Функция нечетная.
9. Функция возрастающая в области определения.

 

Для арккосинуса :               

          Теорема (о свойствах функции ).

1. Область определения функции - промежуток .
2. Область (множество) значений функции - промежуток .
3. Функция не является периодической.
4. Наименьшее значение функция принимает в точке .
5. Наибольшее значение функция принимает в точке .
6. Нулем функции является значение аргумента .
7. Функция отрицательных значений не принимает, положительные значения принимает на промежутке .
8. Функция не является нечетной и не является четной.
9. Функция убывающая в области определения.