Тригонометрия

Уравнение

                             asin x + bcos x = 0,                                              (1)

где ab ¹ 0, называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Покажем, что при a ¹ 0 и b ¹ 0 уравнение (1) равносильно уравнению

                                    atg x + b = 0.                                                  (2)

Пусть — корень уравнения (1), тогда справедливо числовое равенство

                         a sin + bcos = 0.                                                   (3)

Из справедливости равенства (3) следует, что число сos отлично от нуля (в противном случае, то есть если cos = 0, из равенства (3) следует, что и sin = 0, но одновременно эти равенства выполняться не могут. Разделив обе части равенства (3) на неравное нулю число cos получим, что справедливо равенство

                           atg + b = 0.                                                               (4)

Равенство (4) означает, что число  есть корень уравнения (2). Мы показали, что любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Аналогично показывается, что любой корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильны.

Так как a ¹ 0, то уравнение (2) можно переписать в виде

                                       .

Откуда находим  все решения уравнения (2), а следовательно,

и уравнения (1): , , которые можно переписать в виде

                      ,  .   
 

2.6 Простейшие тригонометрические неравенства 

Простейшие тригонометрические неравенства в стандартах для базового и профильного уровней  должны присутствовать в обучении, но не выносится на итоговый контроль, а изучение более сложных неравенств не предусмотрено в стандартах даже на профильном уровне. Однако учащихся, которые будут сдавать конкурсные экзамены, необходимо к ним готовить. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного, приведем примеры. 

Пример 1. Решим неравенство

                                .                                                    (1)

Решение.

 Обозначив   , перепишем неравенство (1) в виде

                                                                                              (2)

Множество решений  неравенства (2) есть серия интервалов

,  , поэтому все решения неравенства (1) найдем, решив двойное неравенство , , откуда получим , , то есть множество решений неравенства (1) состоит из серии интервалов , .

Ответ : , . 

Пример 2. Решим неравенство

                                .                                               (3)

Решение.

 Перепишем  неравенство (3) в виде

                                .

 

Обозначим cos х = t. Так как неравенство  имеет множество решений – , то решения неравенства (3) найдем, решив двойное неравенство – .

Неравенство – справедливо для любых х, а множество решений неравенства , есть серия промежутков

  , . Она и является множеством решений неравенства (3).

Ответ : , . 

2.7 Введение вспомогательного угла 

Покажем, как  вспомогательный угол можно применять  для решения

уравнений и  неравенств.

Сначала рассмотрим уравнения вида

                                      Asin x + Bcos x = C                                               (A)

где A, B и С  — данные числа и AB¹ 0. Так как то, разделив обе части уравнения (A) на число , перепишем уравнение

(А) в виде

                                               asin x + bcos x = c,                                    (1) где , , . Так как , то можно подобрать такой угол α, что

 a = sin α и b = cos α. Уравнение (1) можно записать в виде cos x cos α + sin x sin α = c, или в виде

                               cos (x – α) = c.                                                           (2)

Если подобрать  такой угол β, что a = cos β и b = sin β, то уравнение (1) можно записать в виде

                                 sin (x + β) = c.                                                         (3)

Таким образом, решение уравнения (A) сводится к  решению простейшего уравнения  — (2) или (3). 

Пример 1. Решим уравнение

                                .                                                         (4)

Разделив обе  части уравнения (4) на число  , перепишем его в виде . Так как и , то уравнение (4) можно записать в виде

                                               .                                                 (5)

Все решения  уравнения (5), а значит, и уравнения (4), задаются формулами  , , откуда получаем, что уравнение (5) имеет одну серию решений , .

Пример 2. Решим неравенство

                                        .                                                  (6)

Разделив обе  части неравенства (6) на число  , перепишем его в виде

                               .                                                       (7)

Так как  , а , то неравенство (7) перепишется в виде

                                .                                                                (8)

Все решения  неравенства (8) задаются условиями  , . Откуда получаем, что все решения неравенства (6) есть серия интервалов , .

2.8 Замена неизвестного t = sin x + cos x 

Рассмотрим уравнения  и неравенства, в которые входят выражения 

sin x + cos x и sin 2x. Их удобно решать при помощи  замены неизвестного sin x + cos x = t, так  как при этом   

Пример 1. Решим уравнение

                          2sin 2x + sin x + cos x = 1.                                         (1)

Введем новое  неизвестное sin x + сos x = t, тогда уравнение (1) превращается в квадратное уравнение  с неизвестным t: .

Так как корни  этого уравнения и , то множество всех решений уравнения (1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений : sin x + cos x = 1 и .

Каждое из этих уравнений решаем введением вспомогательного угла. При этом первое уравнение преобразуется к виду

                              ,                                                            (2)

а второе — к  виду

                                  .                                                     (3)

Все решения  уравнения (2) задаются формулами  ,   и , , откуда получаем, что уравнение (2) имеет две серии решений : , , , . Так как , то уравнение (3) не имеет решений.

Итак, уравнение (1) имеет две серии решений :

                                 , , , .

Если в уравнение  входят выражения sin x – cos x и sin 2x, то делают замену неизвестного sin x – cos x = t. При этом  . 

Пример 2. Решим неравенство

                                2sin x cos x + sin x + cos x < 1.                              (4)

Введем неизвестное t = sin x + cos x, тогда неравенство (4) превратится  в квадратное неравенство с неизвестным t :

                                      .                                                            (5)

Все решения  неравенства (5) есть все t из промежутка –2 < t < 1. Следовательно, множество  всех решений неравенства (4) совпадает  с множеством решений двойного неравенства

                             –2 < sin x + cos x < 1.                                                 (6)

Вводя вспомогательный  угол, перепишем неравенство (6) в  виде

                           .                                                       (7)

Левое неравенство  выполняется для любого действительного

числа x. Следовательно, все решения неравенства (7) совпадают  со всеми решениями неравенства 

                                           .                                                   (8)

Все решения  неравенства (8) задаются условиями

                                , .

Откуда получаем, что все решения неравенства  есть серия интервалов

                                       , . 

Мы рассмотрели  простейшие тригонометрические уравнения  и неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного,

применение основных тригонометрических формул для решения  уравнений, однородные уравнения, тригонометрические неравенства, введение вспомогательного угла, замену неизвестного

t = sin x + cos x. Как  видим, большой блок материала  по заявленной теме уже рассмотрен  и характерен тем, что не  требует неравносильных преобразований. Рассмотрим проблему решения  уравнений и неравенств несколько шире, так как наша цель заключается не только в том, чтобы рассказать о решении тригонометрических уравнений и неравенств, а показать, какое место она занимает, как организована работа с уравнениями и неравенствами, в том числе с уравнениями и неравенствами, содержащими тригонометрические функции под знаком модуля, корня, логарифма, в знаменателе дроби и т.п.

Одно и то же уравнение (или неравенство) может  быть решено различными способами. Например, иррациональное уравнение может  быть решено:

1) переходом к уравнению-следствию (с последующей проверкой полученных корней),

2) переходом  к уравнению, равносильному исходному

на некотором  множестве М, на котором обе части  уравнения неотрицательны,

3) переходом  к системе уравнения и неравенств, равносильной исходному уравнению. 

2.9 Применение систем  для решения тригонометрических  уравнений и неравенств 

Рассмотрим системы и их применение для решения уравнений

и неравенств, рассмотрим нестандартные способы решения  уравнений и неравенств, приведем пример их применения из практики школьных выпускных экзаменов, олимпиад и конкурсных экзаменов. При

этом мы будем  обсуждать общие приемы решения, стараясь использовать уравнения, неравенства  и системы, содержащие тригонометрические функции.

Если дано несколько  уравнений и несколько неравенств с неизвестным х и требуется найти все числа х, каждое из которых удовлетворяет

каждому из этих уравнений и неравенств, то говорят, что дана система уравнений и  неравенств, или, коротко, дана система. Число  называют решением системы, если это число удовлетворяет каждому из уравнений, неравенств и других условий системы.