Тригонометрия

 

Для арктангенса :

         Теорема (о свойствах функции ).

10. Область определения функции - множество всех действительных чисел .
11. Область (множество) значений функции - промежуток .
12. Функция не является периодической.
13. Функция не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значения.
14. Функция имеет единственный нуль в точке .
15. Функция принимает отрицательные значения на интервале  и положительные значения на интервале .
16. Функция нечетная.
17. Функция возрастающая в области определения.

 

Для арккотангенса :

          Теорема (о свойствах функции ).

1. Область определения функции - множество всех действительных чисел .
2. Область (множество) значений функции - интервал .
3. Функция не является периодической.
4. Функция не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значения.
5. Функция не имеет нулей.
6. Функция во всей области определения принимает только положительные значения.
7. Функция не является нечетной и не является четной.
8. Функция убывающая в области определения.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

2.1 Классификация тригонометрических уравнений и неравенств

Необходимость классификации уравнений вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений (неравенств) в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному». Работу с тригонометрическими уравнениями естественно начинать с простейших тригонометрических уравнений, к которым, в конечном счете, сводятся решения всех тригонометрических уравнений. Далее нужно рассмотреть уравнения, приводящие к простейшим с помощью разложения на множители, замены аргумента тригонометрической функции. Затем рассматривают уравнения, сводящиеся к квадратным,

однородные уравнения. Далее показывают специальные приемы решения уравнений: введение вспомогательного угла, замена

sin x + cos x = t. Этим, пожалуй, ограничивается список типов тригонометрических уравнений и приемов их решения, традиционно используемых на обязательном уровне и при углубленном изучении математики. Следующий этап формирования умения решать тригонометрические уравнения заключается в обучении использованию не равносильных переходов и нестандартных приемов решения.  

    2.2 Простейшие тригонометрические уравнения 

Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x называют основными тригонометрическими функциями. Основные тригонометрические функции являются функциями числового аргумента x в том смысле, что они являются функциями угла, радианная мера которого равна числу x. Говоря об основных тригонометрических функциях, можно не различать число x

и угол, радианная мера которого равна x.

Уравнение

                                   f(x) = a,                                                (1)  

где a — данное число, а f(x) — одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. Напомним, что решением уравнения с неизвестным x называют

число , при подстановке которого в уравнение вместо x получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его

решения или показать, что их нет. Говорят, что простейшее тригонометрическое уравнение (1) имеет период Т > 0, если функция

y = f(x) имеет период Т. Очевидно, что если для некоторого простейшего тригонометрического уравнения с периодом Т найдено некоторое решение , то любое число при любом целом k также является решением этого уравнения. При этом множество всех решений вида , где k пробегает все целые числа, называют серией решений этого уравнения и записывают в виде , k ÎZ.

Упражнения к данному пункту учащиеся уже решали ранее, но с другой постановкой задания, например: «Укажите все углы a, для которых справедливо равенство sin a = 1», теперь же требуется решить уравнение sin x = 1. Обратим внимание на то, что в учебнике не ставится цель сразу показать общую запись решений уравнения

sin x = a в виде arcsin a + pk, k ÎZ.

Практика показывает, что раннее введение такой записи без должного понимания учащимися ее смысла, без объяснения «скрытого» в ней периода 2p приводит к механическому использованию этой записи с характерной ошибкой : arcsin a+ 2pk, kÎ Z. На первых порах можно не требовать от учащихся давать запись ответа в сокращенном виде (особенно от слабых учащихся). А чтобы предупредить указанную

выше ошибку, надо обязательно показать учащимся, что при k = 2n или k = 2n + 1, nÎ Z ответ будет иметь вид arcsin a + 2pn, nÎ Z или

p – аrcsin a + 2pn, nÎ Z соответственно. Можно посоветовать учащимся не решать простейшее уравнение (1) по общим формулам в случаях

a = 0, a = 1, a = –1, мотивируя совет тем, что, например, общая формула для решений уравнения sin x = 1 дает повторяющиеся решения. Если ответ записать в виде , k ÎZ, то давая k значения 0, 1, 2,3, ... получим решения  соответственно.

Такие же повторы корней дают общие формулы для решений уравнений sin x = –1, cos x = –1. 

2.3 Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 

Рассмотрим примеры  решения уравнений, которые после  введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) — одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.  

Пример 1. Решим уравнение

                                   .                             (1)

Введем новое  неизвестное cos x = t, тогда уравнение (1) превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

                                      .                                     (2)

Уравнение (2) имеет  два корня  , . Следовательно, множество всех решений уравнения (1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений cos x = –1 и

Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что  множество решений уравнения (3) состоит  из трех серий решений:

, , , , , . 

Пример 2. Решим уравнение

                                 (sin x – 0,5)(sin x + 1) = 0.                       (3)

Сделав замену неизвестного t = sin x, получим распадающееся

уравнение

                                         (t – 0,5)(t + 1) = 0,

имеющее два  решения: и .

Множество решений  уравнения (3) есть объединение множеств решений двух уравнений: sin x = 0,5 и sin x = –1.

Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что множество решений уравнения (3) состосостоит из трех серий решений: , ,  , , , .

Замену неизвестного в простых уравнениях, имеющих  одну основную тригонометрическую функцию, как в примере 2, обычно не записывают, делая запись решения короче, как в примере 3. 
 
 
 

Пример 3. Решим уравнение

                      .                                                                                (4)

Сначала перепишем  уравнение в виде

                                        (cos x – 1)(cos x + 1) = 0.

Множество решений  уравнения (4) есть объединение множеств решений двух уравнений: cos x = 1 и cos x = –1.

Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что  множество решений уравнения (4) состоит из двух серий  решений:

                                , , , .

Обе эти серии  можно объединить в одну серию , . 

2.4 Применение основных тригонометрических

формул  для решения уравнений 

В этом пункте будет  показано применение некоторых формул при решении тригонометрических уравнений. 

Применение  основного тригонометрического тождества 

Пример 1. Решим уравнение

                              .                                                (1)

Применяя основное тригонометрическое тождество

  ,  перепишем уравнение (1) в виде

                              .                                        (2)

Введем новое  неизвестное sin x = t, тогда уравнение (2) превращается в квадратное уравнение  с неизвестным t:

                                          .                                         (3)

Уравнение (3) имеет  два корня  и . Поэтому множество решений уравнения (2), а значит, и уравнения (1), есть объединение множеств решений двух уравнений: и sin x = –2. Решения первого из них состоят из двух этих серий. Второе уравнение не имеет решений, следовательно, решения уравнения (1) состоят из двух серий:

, , , . 
 
 
 

Применение  формул сложения 

Пример 2. Решим уравнение

                             sin 5x cos 3x = sin 3x cos 5x.                                (4)

Перенеся все  члены уравнения (4) в левую часть и применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение (4) в виде

                                  sin 2x = 0.                                                         (5)

Все решения  уравнения (5), а значит, и уравнения (4), удовлетворяют условию , . Следовательно, уравнение (4) имеет одну серию решений:

                                , , ,

Понижение кратности углов 

В некоторых  случаях при решении тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и  косинусы кратных углов выражать через синусы и косинусы самих  этих углов. 

Пример 3. Решим уравнение

                                 .                                      (6)

Применив формулу  синуса двойного угла, перепишем

уравнение (6) в  виде

                            .

Применив основное тригонометрическое тождество, перепишем это уравнение в виде

                                  .                                                            (7)

Уравнение (7), а  значит, и уравнения (6), имеет две  серии решений:

                          , , , . 

2.5 Однородные уравнения