Поверхности вращения и их сечения

Министерство  транпорта РФ

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

ГОУ ВПО " Дальневосточный Государственный  университет

путей сообщений " 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра: " Высшая математика " 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

На тему «Поверхности вращения и их сечения» 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Выполнил: Дьяконов Р.И.

210 группа

     Проверил:  Ереклинцев А.Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Хабаровск 2011

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси  поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось  вращения, то при её вращении получится  коническая поверхность, если параллельна  оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид  вращения. Одна и та же поверхность  может быть получена вращением самых  разнообразных кривых. 

Является  объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии. 

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости  кривой, но не пересекающей кривую, равна  произведению длины кривой на длину  окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это  утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде. 

Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна: 

 

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой  вокруг оси  можно вычислить по формуле:

 

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой  вокруг оси  можно вычислить по формуле: 

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат  действительна формула: 

 

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской  замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры. 

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой  вокруг оси  можно вычислить по формуле:

 

СФЕРА 

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов. 

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара. 

Объёмы  цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину  в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся  в соотношении 1:2:3. 

Сфера в трёхмерном пространстве 

Уравнение

(x −  x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2, 

где (x0,y0,z0) — координаты центра сферы, R — её радиус. 

Параметрическое уравнение сферы с центром  в точке (x0,y0,z0): 

Где и

Окружность, лежащая на сфере, центр которой  совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках

Расстояние  между двумя точками на сфере

Если  даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти  так: 

 

Однако, если угол θ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая: 

 

В этом случае θ1 и θ2 называются широтами, а ϕ1 и  ϕ2 долготами. 
 
 

            ТОР 

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности. 

Уравнения:  

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с  радиусом образующей окружности r может  быть задано параметрически в виде: 

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах  и с теми же радиусами имеет  четвёртую степень: 

В частности, тор  является поверхностью четвёртого порядка. 

Сечения

При сечении  тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.

В частности  открытый тор может быть предтавлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения

Одно из сечений  открытого тора — лемниската Бернулли, другие 

кривые линии  являются графическими линиями и называются кривыми Персея (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)

Некоторые пересечения  поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка. 
 
 

Эллипсоид вращения 

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей. 

Термин  сфероид для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввел Архимед: «... мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной  большей оси поворачивается, возвращаясь  в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым  сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).» [1] 

Эллипсоид вращения является частным случаем  эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину (ax = ay = a):

В частном  случае, когда все три полуоси  равны, исходный эллипс представляет собой  окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу. 

Вытянутый эллипсоид вращения можно также  определить как геометрическое место  точек пространства, для которых  сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна. 

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов  эллипсоида, после отражения соберутся  в другом фокусе. 

Сплюснутый  эллипсоид вращения можно также  определить как геометрическое место  точек пространства, для которых  сумма расстояний до ближайшей и  до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна. 

Площадь поверхности:

 (для сжатого)

(для вытянутого)

Объём:

Здесь   - угловой эксцентриситет:

 (сжатый)

 (вытянутый) 
 
 

КОНУС 

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой. 

Если  площадь основания конечна, то объём  конуса также конечен и равен  трети произведения высоты на площадь  основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание  и имеющие вершину, находящуюся  на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.

Телесный  угол при вершине прямого кругового  конуса равен:

Где — угол раствора конуса (то есть угол между двумя противоположными образующими).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна:

Где — радиус основания, — длина образующей. 

Объем кругового конуса равен:

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом  является одним из конических сечений (в невырожденных случаях —  эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей  плоскости). 
 

Катеноид 

Катеноид  — поверхность, образуемая вращением  цепной линии 

 вокруг оси OX. 

Также катеноид можно задать и с помощью  параметрических координат: 

Где — гиперболический косинус. 

Открыл  катеноид Леонард Эйлер в 1744 году. Само слово катеноид образовано от латинского catena — цепь и греческого éidos — вид. 

Является  минимальной поверхностью.

Не слишком  большой участок катеноида можно  изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида. 
 

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ  ПОВЕРХНОСТЬ 

Цилиндрическая  поверхность — поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём  положении называемой образующей) вдоль  кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, называют бесконечным цилиндром. 
 

ПАРАБОЛОИД 

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.