Неотрицательные матрицы, их свойства и использование в балансовых моделях

r ≥ 1, то j ∈ S_{r – 1}, а при i ∈ S_{0  ,} j ∈ S_m-i.

Остальные неразложимые матрицы называются примитивными.

Теорема 2. Примитивная матрица устойчива.

Эта теорема  устанавливает зависимость свойства матрицы быть устойчивой от ее внешнего вида. Вместе с тем свойство матрицы  быть устойчивой полностью определяется и свойствами ее спектра – множеством собственных чисел. Справедливо следующее утверждение:

Неразложимая  неотрицательная матрица А устойчива тогда и только тогда, когда выполняется неравенство |λ|< λ_А для любого ее собственного числа λ ≠ λ_А .[2]

         
 
 
 
 
 

 

3.Пример расчета межотраслевого баланса. 

3.1 Построение межотраслевого  баланса   производства  и распределения  продукции.

Для трёхотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции                          

     

 

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения  невырожденных матриц

- находим  матрицу (E-A):

     

-вычисляем  определитель этой матрицы:

     

- транспонируем  матрицу  (E-A) :

     

Находим алгебраическое дополнение для элементов  матрицы  (E-A)`: 

     

     

     

       

     

     

     

     

     

     

Таким образом :

     

Чтобы найти матрицу коэффициентов  полных  материальных затрат, воспользуемся формулой:

     B= (E-A)^-1  =  \ |E-A|

Получим:                               

Найдём  величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х):

     

Теперь определим квадранты материального межотраслевого баланса. Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину = 571.2; элементы второго столбца матрицы А умножить на = 20.5; элементы третьего столбца матрицы А умножить на =612.3.

Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объёмами валовой продукции  и суммами элементов соответствующих  столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в данном примере  состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в табл.4:

     Таблица 4.Межотраслевой баланс производства и распределения продукции. 

Примечание. Источник-собственная разработка. 
 

Заключение

Модели  межотраслевого баланса отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

По мнению В. Леонтьева, межотраслевой анализ может служить основным инструментом стратегического планирования. В настоящее время в национальной экономике существуют и продолжают возникать сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты–выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать многие другие задачи. Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс   моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.

В данной курсовой работе были описаны основные характеристики моделей межотраслевого баланса, таких как динамические и статистические МОБ. А так же были выявлены их отличительные черты. Кроме того были разобраны основные понятия экономико-математических моделей, их классификация, а так  же общая структура межотраслевого баланса. Было показано, что матрицы играют большую роль в построении моделей отраслевого баланса.В практической части работы был рассмотрен  пример расчёта межотраслевого баланса производства и распределения продукции.

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ:

1.Аникин, А.В. Василий Леонтьев , или экономика на шахматной доске/А. В. Аникин.- М.,№7, 2000. - 57 с.

2.В.В.  Громенко.- Математическая экономика. Москва 2004

3.Колемаев, В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов/В.А. Колемаев–М., 2002.- 304 с.

4.Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика/В.В. Леонтьев. - М.,1997. - 315 с.

5.Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш и др.-М., 2001. -264 с.

6.Цветкова,А.А.  Экономико-математические методы и модели: Учеб.пособие / А.А. Цветкова, В.В. Бондарева, О.И. Еськова. – М., 2003. - 48с.

7.Кобелев, Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей: учебно-методическое пособие/Н.Б. Кобелев. – М.,2000. - 248 c.

8.Модель МОБ - www.math.omsu.omskreg.ru/info/learn/pprimer/afterword.htm[электронный ресурс]

9.Сервер Леонтьева В.В. - http://www.wleontief.ru/[электронный ресурс]

10.С.Ф.Миксюк. Моделирование экономики переходного периода: прикладной аспект.- Минск БГЭУ 2001