Неотрицательные матрицы, их свойства и использование в балансовых моделях

     B(E - A) = E, 

           

     Доказано.

Из соотношения (10) следует  ≥ ,  таким образом, коэффициент полных материальных затрат , описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат , рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (10) для диагональных элементов матрицы B следует: ≥ 1, 

Полные  затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней  являются незначительными и при  практических расчетах ими можно  пренебречь [2].

2.5 Динамическая модель экономики типа "затраты - выпуск"

     В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

В отличие  от статистических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс  развития экономики, установить непосредственную  взаимосвязь между предыдущими  и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической  системы.

В рассматриваемой  ниже динамической модели  (которая  является развитием статической  межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется  их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы  уравнений лежит математическая зависимость между величиной  капитальных вложений и приростом  продукции. Решение системы, как  и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

Ниже  приведена схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса.

     Таблица 3. Динамическая модель МОБ

     Примечание. Источник[4]

Модель  содержит две матрицы межотраслевых  потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆ показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

Для сравнения, в статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе  конечной продукции  каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса:                    ∑∆ + ’=                                  (11)

Поэтому уравнение распределения продукции  вида (1) преобразуется в динамическом балансе в следующее:

      =∑ +∑∆ +  ’   i=1…n                                                            (12)

Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как  и в статической модели через  валовую продукцию отраслей с  помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

      = (13)

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно  записать:

     ∆ = ∆ i,j =1…n                                                                            (14)

 – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается  в том, что они показывают, какое  количество продукции i-той отрасли  должно быть вложено в j-тую  отрасль для увеличения производственной  мощности j-той отрасли на единицу  продукции.

Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции  равен приросту мощности. Коэффициенты называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:

     

Эта матрица  коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.

Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений систему уравнений (12) можно представить в следующем виде:

      ∆ ’   i=1…n                                                 (15)

Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции  определён в сравнении с (t-1)-м  периодом:

     

’

Отсюда  можно записать следующие соотношения:

      ’ ,    i=1…n                     (16)

Пусть нам известны уровни валовой продукции  всех отраслей в предыдущем периоде  (величины  (t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения представляют собой систему n линейных уравнений  с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

Таким образом, решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается  через коэффициенты вложений , характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

Эти более  сложные по своему экономическому содержанию выводы   из анализа динамической модели В. Леонтьева  были  опубликованы в форме дифференциальных уравнений  в СССР в 1958 г. книге «Исследование  структуры американской экономики».[9] 

2.6 Свойства неотрицательных матриц

Изложим эти свойства без доказательства. Всюду в данном разделе буквой А обозначается квадратная матрица с неотрицательными элементами, N-множество, состоящее из первых п натуральных чисел.

Определение. Пусть S ⊆ N, S' = N – S. Говорят, что множество S изолировано, если a_ij = 0, как только i ∈S', j ∈ S.

Понятие изолированности множества S допускает экономическую интерпретацию на языке модели Леонтьева. Так, изолированность множества S в модели Леонтьева означает, что отрасли, номера которых принадлежат множеству S, не нуждаются в товарах, производимых отраслями, номера которых принадлежат множеству S'. Если перенумеровать индексы так, чтобы S = {1, 2, ..., k}, S'= {k + 1, ..., n}, что соответствует одновременной перестановке строк и столбцов матрицы A, то матрица А примет вид:   

   A=                                                                                                        (1)

где A1 и A3—квадратные подматрицы размеров k×k и (n–k)×(n–k) соответственно.

Матрица А называется неразложимой, если в множестве N нет изолированных подмножеств, т.е. если одновременной перестановкой строк и столбцов ее нельзя привести к виду (1).

Неразложимость  матрицы А в модели Леонтьева означает, что каждая отрасль использует хотя бы косвенно продукцию всех отраслей.

Отметим несколько простых свойств неразложимых матриц:

а) Неразложимая матрица не имеет нулевых строк  и столбцов.

б) Если матрица A неразложима и y > 0, то Ay^Т > 0.

в) Пусть  y ≥ 0, y ≠ 0; тогда вектор z=(E + A)y^Т имеет меньше нулевых координат, чем вектор у, если это возможно. Кроме того, если А неразложима x ≥ 0, x ≠ 0, то из неравенства Ax^Т ≤ α x следует, что α >0, x > 0.

г)Теорема1. (Фробениус–Перрон о спектральных свойствах неотрицательных матриц).

1.Неразложимая матрица А имеет положительное собственное число λ_А такое, что модули всех остальных собственных чисел матрицы А не превосходят λ_А.

2. Числу λ_А отвечает единственный (с точностью до скалярного множителя} собственный вектор Х_А, все координаты которого ненулевые и одного знака (т. е. его можно выбрать положительным).

Собственные векторы X_А и p_А матриц A и A^T соответственно, а также число λА будем называть фробениусовыми.

Отметим, что если матрица А неразложима, то λ_А является единственным собственным числом, для которого существует неотрицательный собственный вектор.

Неразложимую  матрицу А будем называть устойчивой, если для любого вектора х последовательность A^kx, k = 1, 2,...,n  сходится.

Пример  матрицы, не являющейся устойчивой: 

Неразложимая  матрица А называется циклической, если множество N = {1, 2, ..., n} можно так разбить на m непересекающихся подмножеств S₀, S₁, ..., S_m-1, что если a_ij > 0, i ∈ S_r,