Неотрицательные матрицы, их свойства и использование в балансовых моделях

Центральным элементом матричных моделей  является так называемый межотраслевой  баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между  различными отраслями экономики  страны. Общая структура межотраслевого баланса представлена в таблице 1.

Таблица 2.Общая структура межотраслевого баланса

                                        Примечание. Источник[4]

Производственная  сфера экономики представлена в  балансе в виде совокупности n отраслей.

Баланс  состоит из четырех разделов ,которые называются квадрантами.

Первый  квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь  содержится информация о межотраслевых  связях. Величина  , находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины   характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью.

В i-й  строке величины  , , ..., , ..., описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей.

Величины  , , ..., , ..., j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды.

Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения  продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального  производства.

В зависимости  от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном  выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать [1].

Величина представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится  величина - так называемый промежуточный продукт экономики.

Второй  раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта - (n+2)-й столбец. Величина - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т.д., а также сальдо экспорта и импорта. Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков ( ). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

,                                                                                            ₍₁₎

Третий  квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция ( ), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:  

,                                                                                 (2)

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими  чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.

Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно  чистой продукции 

Из соотношений (1) и (2):

     

,

      ,

Просуммируем  первое равенство по i, а второе - по j:

     

     

Левые части выражений равны, значит равны и правые:

     

=

Откуда

     

=

что и  требовалось доказать.

Таким образом, в третьем разделе также  фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается  на величины характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах нашего курса рассматриваться не будет.

Итак, рассмотренный  нами межотраслевой баланс - это  способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов  деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. Кроме  этого строятся плановые балансы, предназначенные  для разработки сбалансированных планов развития экономики. [9]

2.4 Статическая модель МОБ

      Статистические межотраслевые модели  используются для разработки  планов выпуска и потребления  продукции и основываются на  соотношениях межотраслевого баланса. 

При построении модели делают следующие предположения:

     1) все продукты, производимые одной  отраслью, однородны и рассматриваются  как единое целое, т.е. фактически  предполагается, что каждая отрасль  производит один продукт; 

     2) в каждой отрасли имеется единственная  технология производства;

     3) нормы производственных затрат  не зависят от объёма выпускаемой  продукции; 

     4) не допускается замещение одного  сырья другим.

В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти  предположения тем более неверны  для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение  и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для  составления планов выпуска продукции.

При этих предположениях величина может быть представлена следующим образом:

                             (3) 

Величина  называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя  выражение (3) в формулу (1), получим:

     

,                                                                    (4)

Это соотношение  можно записать в матричном виде:

     

                                                                                     (5)

Где - вектор валовых выпусков;

      - вектор конечного продукта;

      -  матрица коэффициентов прямых  материальных затрат.

Коэффициенты  прямых материальных затрат являются основными параметрами статической  межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически.  Коэффициенты определяются на  основе анализа отчётных балансов  за прошлые годы. Их неизменность  во времени определяется подходящим  выбором отраслей;

2) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит  из отдельных производств, для  которых уже разработаны нормативы  затрат; на их основе рассчитываются  среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (4) принято называть балансом распределения  продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры  экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав  конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые  выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных  моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (5):

      , 

      , 

      ,                                                                                   (6)

где E - единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и  не будут ли получены отрицательные  значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов  прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, т.е.

Это утверждение  следует из неотрицательности величин и положительности валовых выпусков .

2. Сумма  элементов матрицы A по любому  из столбцов меньше единицы,  т.е.

     

Доказать  это утверждение несложно.

Для любой  отрасли условно чистая продукция  есть величина положительная, поскольку  включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. . Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

     

                                                                                      (7)

из соотношения (3):

     

                                                                                   (8)

откуда  следует:

     

                                                                                         (9)

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица

существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (6): X = BY,      

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, чтоB = E + A + A2 + A3 + ...                                                (10)

Умножим обе части на (E - A): B(E - A) = (E + A + A2 + A3 + ...)(E - A), 

     B(E - A) = E + A + A2 + A3 + ..- A - A2 - A3 - ...,