">     3. (А-л/нз)Û("А’ÍA: A’-л/нз).

     Доказательство- метод от противного.

5. Определение линейно зависимой  системы №2.

     1. (А- л/з)dÛ($А’(конечная)ÌА: А’- л/з)

     2. (А- л/нз)dÛ($А’(конечная)ÌА: А’- л/нз)

     4.    Теорема Штейница.

     (А={a_i}_i=1^m - л/нз; B={b_j}_j=1ⁿ - л/нз; BØA)Þ(n£m)

     Доказательсто (метод от противного)

     Пусть n>m, тогда: ; b_j=?.

     "jÎ{1,..,n}: ;

         ,  

     так как А-л/нз (по условию) поэтому "g_i=0

      =0 - однородная система линейных  уравнений - не менее n-m- свободных неизвестных. То есть бесконечное множество решений и есть хотя бы одно не нулевое.

     (b₁⁰,....,b_n⁰) - нетривиальный набор чисел.

     

      ÞB - л/з (по определению) пришди к противоречию, так как В - л/нз. Вывод (n>m) - неверно то есть n£m. 

 

4, Максимальные линейно независимые подсистемы векторов (существование и равномощность).

МЛНС  системы А.

МЛНС  системы А.

     (Максимальная  Линейно Независимая Система)

     А={a₁,....,a_n} (A’ÍA)

     (A’-МЛНС)dÛ(1. А’- л/нз 2. "aÎA A’È{a}-л/з)

     Пример:

     1. Множество геометрических векторов  на прямой V₁.

     `a¹0, А={`a,`b}- л/з, `a½½`b: А- МЛНС.

     2. Множество геометрических векторов  на плоскости V₂.

     А={``a,`b}- л/з, `a½½`b: А- МЛНС V₂.

     3. Множество геометрических векторов  в пространстве V₂.

     А={``a,`b,`с}=  МЛНС V₃.

6. Свойства  МЛНС системы А.

     1. (A’- МЛНС А)Þ(АА’)

     А={a₁,....,a_n} "aÎA {a₁,....,a_r}-линейно-зависимая,

     то  есть a₁a₁+.....+a_ra_r+aa^¹0=Q

     2. (A₁,A₂-МЛНС)Þ(½A₁½=½A₂½)- число элементов.

     А₁-линейно-завсимая и А₂- линейно-зависимая

     (A₂A₁)Þ( ½A₁½£½A₂½)

     (A₁A₂)Þ (½A₁½³½A₂½), то есть ½A₁½=½A₂½

     Рангом  сиcтемы элементов называется число элементов её МЛНС- максимальное число линейно-независимых элементов систмы. rang A, r_A.

     Задача: <A>, rang<A>=r_A; A={a₁,...,a_n}; A`={a₁,....,a_r}-МЛНС

     r_A=r; <A>= ; "aÌ<A>; aA`.

     (aA)&(AA`)ÞaA`ÞA`-МЛНС <A>, то есть МЛНС A=МЛНС <A>;

     rang <A>=r_A=r

 

5. Ранг  системы векторов. Теорема о совпадении ранга эквивалентных  систем векторов.

 

 

6. Ранг  матрицы. Теорема  о совпадении минорного, строчного и столбцового рангов матрицы.

Ранг  матрицы.

Строчный  ранг- r_c(A) максимальное число линейно-независимых векторов строк. (ранг системы векторов rang{x₁,x₂,...,x_m}).

Столбцовый ранг- r_k(A) максимальное число линейно-независимых векторов столбцов. (ранг системы векторов rang{y₁,y₂,...,y_m}).

Для любой  матрицы А её строчный ранг равен столбцовому.

Любую матрицу  путём конечного числа элементарных преобразований можно привести матрицу  к ступенчатому виду, и ранги её не изменится.

A®A`, A``.

1. r_c(A)=r_c; r_k(A)=r_k(A`), то есть r_c(A)=r_k(A)=n.

2. r_c(A)=r_c(A``); r<sub>k</sub>(A)=r<sub>k</sub>(A``); Þ r_c(A)=r_k(A)=r.

Базисный  минор.

; k£min{m,n}.

Вычеркнем k-любых  строк и столбцов. Составим определитель из тех которые на пересечении.

m_k-минор k-ого порядка. r(A)=rÞМЛНС строк, состоит из r-строк и столбцов.

Столбцы (строки), которые входят в МЛНС назовём базиснвми столбцами. Пусть ранг равен r- это значит, что есть r-базисных строк и столбцов. Рассмотрим минор, который на пересечении r-базисной строки и r-базисного столбца - базисный минор.

Теорема о базисном миноре.

     Если (M_r-базисный минор матрицы А=(a_ij)_m,n)Û(M_i¹0, все другие миноры, более высокого порядка равны 0).Теорема без доказательства: определитель наивысшего порядка минора, отличного от нуля, матрицы А, называется рангом матрицы А.

     Следствие:

     (½A½=0)Û(его строки (столбцы) - линейно-зависимы.)

1. Базис и размерность линейного пространства. Теорема о продолжении линейно независимой системы векторов до базиса.

 

 

1. Координаты  вектора в базисе. Свойства координат.

 

 

1. Изменение базиса. Матрица перехода. Формула  связи между координатами вектора  в различных базисах.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Линейные  подпространства. Сумма и пересечение  подпространств. Теорема о размерности  суммы подпространств.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Прямая  сумма двух подпространств (теорема 2.1).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Прямая  сумма нескольких подпространств (теорема 2.2).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Линейные  отображения пространств. Аддитивность и однородность, ядро и образ.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Теорема о  сумме размерностей ядра и образа линейного отображения.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Изоморфизмы линейных пространств. Критерий изоморфизма.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Матрица линейного  отображения. Формула изменения  матрицы линейного отображения  в различных базисах.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Действия  над линейными отображениями. Пространство Hom (V, IXI) и его изоморфизм пространству матриц.