Линейная алгебра

1. Аксиомы линейного пространства и их следствия.

     I. Бинарная операция — операция  сложения. " x,y ÎL по некоторому правилу $! x+y ÎL.

     Аксиомы:

     1. " x,y ÎL: x+y=y+x - коммутативна

     2. " x,y,z Î L : (x+y)+z=x+(y+z) - ассоциативна.

     3. $! Q(нулевой) Î L : "x x+Q=Q+x=x

     4. "x Î L $! (-x) ÎL: x+(-x)=Q

     Вывод: (L,+) - абелева группа.

     II. Умножение элемента на число,  то есть существует правило  по которому, "a Î P: ax Î L

     5. "x ÎL 1x=x

     6. "x ÎL (-1)x= - x

     7. "x ÎL  a,b Î P; a(bx)=(ab)x

     III. Операция сложения и умножения  элемента на число называются  линейными операциями и связаны законами дистрибутивности:

     8. "x,y ÎL  a Î P; a(x+y)=ax+ay

     9. "x ÎL  a,b Î P; (a+b)x=ax+bx

     Часто линейное пространство называют линеалом.

1. Пример:

     1. (V, +, ·a) a ÎR -линеал- пространство геометрических векторов.

     2. (P^m´n,+,·l) - линеал над полем Р.

     3. Pⁿ- n-мерное арифметическое пространство над полем Р.

     x=(a₁,a₂,.....,a_n) - компоненты или координаты векторов.

     y=(b₁,b₂,...b_n).

     x+y=(a₁+b₁, a₂+b₂,.....,a_n+b_n)

     Pⁿ=P´P´P´.......´P- декартовая степень всех чисел поля Р.

     4. {f(x)}_xÎX,R - линейное функциональное пространство.

           С_[a,b]- пространство всех непрерывных функций на [a,b]- линеал.

2. Следствия из аксиом линейного  пространства.

     1. 0х=Q

     2. aQ=Q

     3."x ÎL  a Î P; (-a)x=-ax

     4. x+x+x+....+x=mx

     5. (ax=Q)Þ(a=0Úx=Q)

     Докажем 1. "x ÎL; 0х=Q :x +0x=1x+0x=(1+0)x=x

     Докажем 2. "x ÎL a Î P; ax+aQ=a(x+Q)=ax

     Аналогичным образом можно доказать остальные.

 

2. Линейно зависимые и линейно  независимые системы  векторов. Критерий линейной зависимости  системы векторов.

Линейно-зависимая  система элементов.

     Пусть есть конечная система: А={a₁,a₂,.....,a_n}ÌL. Система А - линейно зависимая если:

     (А-л/з)dÛ( $ нетривиальный набор (есть хотя бы одно не 0 число)  (a₁,a₂,....,a_n)ÌP : =Q).

     В обратном случае (А-л/нз) - линейно независимая.

3. Определение линейно независимой  системы:

     (А-л/нз)dÛ( " нетривиальный набор (есть хотябы одно не 0 число)  (a₁,a₂,....,a_n)ÌP : ¹Q) или

     (А-л/нз)dÛ( =Q Û"i Î{1,..,n} a_i=0 ).

4. Критерий  линейной зависимости:

      (А-л/з)Û( $j  Î{1,...,n} a_jØA\{a_j})

     (Þ)a₁a₁+.....+a_ja_j+.....+a_na_n=Q

     a_ja_j=-a₁a₁-.....-a_j-1a_j-1-a_j+1a_j+1-.....-a_na_n /: a_j.

     a_j=-(a₁/a_j) a₁-.....-(a_j-1/a_j) a_j-1-(a_j+1/a_j) a_j+1-.....-(a_n/a_j)a_n .

     a_jØ{a₁,....,a_j-1,.....,a_n}=A\{a_j}.

     Аналогично  доказывается обратное уверждение. 

     Пример:

     1. V({`a;`b}-л/з)Û( `a½½`b) - так как коэффициенты при разложении коллинеарных векторов имеются, и определяются единственным образом.

     2. Два вектора линейно не зависимы  тогда и только тогда, огда они не коллинеарны.

     3. V({`a;`b;`c}-л/з)Û(` a;`b;`c - компланарны) так как коэффициенты при разложении компланарных векторов имеются, и определяются единственным образом.

     4. Три вектора линейно не зависимы  тогда и только тогда, огда они не компланарны.

     5. Четыре и более геометрических  векторов всегда линейно-зависимы. 
 

 

3.Теорема  Штейница.

Свойства  линейной зависимости.

     1. Если дана система А={a₁,....,a_n}

     ($A’ÍA:A’-л/з)Û(А- л/з)

     А’={a₁,....,a_n}ÍA.

     Доказательсьво:

     (А-л/з)dÛ( $ нетривиальный набор (есть хотя бы одно не 0 число)  (a₁,a₂,....,a_n)ÌP : =Q), отсюда по определению: А- л/з.

     есть  и обратное.

     2. (QÎА)Þ(А-л/з)