Применение статистических методов в анализе и прогнозировании развития потребительского рынка в России

Y=208.2862+8.7477T

Исследуем на адекватность построенное парное линейное уравнение тренда:

Для исследования полученной модели на адекватность воспользуемся:

      Коэффициентом детерминации;

      критерием Фишера;

      критерием Стьюдента;

      проведем анализ остатков.

Общий и скорректированный коэффициент детерминации

R2= 0,904 Adjusted R2= 0,902

Оба этих коэффициента достаточно близки к 1. Следовательно, можно сделать вывод о сильном влиянии факторных признаков на результирующий показатель У.

Критерий Фишера

Проверим на значимость генеральное уравнение линейной регрессии Y=0+1Т

Построим гипотезы:

Но : уравнение не значимо (0=1=0);

Н1 : уравнение значимо. (j0).

      Если Fрасч >Fтабл, то с вероятностью  не менее 95% можно утверждать, что принимается гипотеза Н1.

      Если модуль Fрасч <Fтабл, то с вероятностью 95% нельзя утверждать, что принимается гипотеза Н1.

 =0.05; 1 =1; 2=58;

F0,05;1;58 =4;

Fрасчет. =543,39

Это означает, что с вероятностью не менее 95% можно утверждать, что уравнение значимо.

Критерий Стьюдента

На основе данных последней таблицы можно говорить о значимости  коэффициентов регрессии βj :

t0= 15,82486 βo значим на уровне 0,000000

t1=23,31076 β1 значим на уровне 0,000000

Анализ остатков

Для анализа остатков используем условия Гаусса-Маркова. Для начала проверим остатки на нормальный закон распределения с помощью гистограммы и графика на нормальной вероятностной бумаге:

С помощью гистограммы и графика на нормальной вероятностной бумаге делаем вывод о том, что распределения остатков близко к нормальному закону распределения. Следовательно, можно проанализировать выполнение условий Гаусса-Маркова.

Рис 5. Распределение остатков трендовой линейной модели

Рис 6. Гистограмма остатков

Проверка условий Гаусса-Маркова:

1-ое и 4-ое условии

Рис 7. Математическое ожидание остатков

Из данного графика можно сделать вывод о том, что математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю, т.к. линия математического ожидания находится на нулевом уровне, и остатки независимы с объясняющей переменной, т.к. коэф.корреляции=0. Следовательно, 1 и 4 условия Гаусса-Маркова выполняются.

2-ое условие:

Рис 8. Дисперсия остатков

Из графика видно, что линия дисперсий остатков не параллельна оси Х, наклон идет вверх, дисперсия случайного возмущения увеличивается.

Следовательно, 2-ое условие Гаусса-Маркова не выполняются.

3-е условие (проверка автокорреляции остатков):

Используем тест Дарбина-Уотсона:

Табличное значение коэффициента d при N = 58, m = 1 составляет dн =1,55 и dв= 1,62; 4-dв=2,38

Т. к. расчетное значение d=1,677 принадлежит промежутку (dв;4-dв), автокорреляция отсутствует. Условие выполняется.

Вывод: Таким образом, можно сделать вывод, что линейная модель адекватна, хотя выполняются не все условия Гаусса – Маркова (не выполняется 2 условие), но уравнение значимо по критерию Фишера и Стьюдента.

Линейная модель

Regression Summary for Dependent Variable: Y (потребительский)

R= ,97201982 R?= ,94482254 Adjusted R?= ,94186660

F(3,56)=319,64 p<0,0000 Std.Error of estimate: ,00015

Y=829,55+0,0241*X5+5,2735* X3-23,0722* X2

Исследуем на адекватность построенное линейное уравнение регрессии:

Для исследования полученной модели на адекватность воспользуемся:

      Коэффициентом детерминации;

      критерием Фишера;

      критерием Стьюдента;

      проведем анализ остатков.

Общий и скорректированный коэффициент детерминации

R2= 0, 94482254 Adjusted R2= 0, 94186660

Оба этих коэффициента достаточно близки к 1. Следовательно, можно сделать вывод о сильном влиянии факторных признаков на результирующий показатель У.

Критерий Фишера

Проверим на значимость генеральное уравнение линейной регрессии

Построим гипотезы:

Но : уравнение не значимо (j=0);

Н1 : уравнение значимо. (j0).

      Если Fрасч >Fтабл, то с вероятностью  не менее 95% можно утверждать, что принимается гипотеза Н1.

      Если модуль Fрасч <Fтабл, то с вероятностью 95% нельзя утверждать, что принимается гипотеза Н1.

 =0.05; 1 =3; 2=56;

F0,05;3;56 =3,13    Fрасчет. =319,64

Это означает, что с вероятностью не менее 95% можно утверждать, что уравнение значимо.

Критерий Стьюдента

На основе данных последней таблицы можно говорить о значимости  коэффициентов регрессии βj :

t0= 3,80581 β0 значим на уровне 0,000352

(Х5)t1=  2,86716 β1 значим на уровне 0,005827

(Х3)t2= 4,08394 β2 значим на уровне 0,000142

(Х2)t3= 3,60506 β3 значим на уровне 0,000665

tтабл.=2,00

Анализ остатков

Для анализа остатков используем условия Гаусса-Маркова. Для начала проверим остатки на нормальный закон распределения с помощью гистограммы и графика на нормальной вероятностной бумаге:

Рис 9. Распределение остатков регрессионной линейной модели

Рис 10. Гистограмма остатков

С помощью гистограммы и графика на нормальной вероятностной бумаге делаем вывод о том, что распределения остатков не достаточно близко к нормальному закону распределения.

Проверка условий Гаусса-Маркова:

1-ое и 4-ое условии

Рис11. Математическое ожидание остатков

Рис12. Математическое ожидание остатков

Рис13. Математическое ожидание остатков

Из данных графиков можно сделать вывод о том, что математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю, т.к. линия математического ожидания находится на нулевом уровне, и остатки независимы с объясняющей переменной, т.к. коэф.корреляции=0. Следовательно, 1 и 4 условия Гаусса-Маркова выполняются.

2-ое условие:

Рис14. Дисперсия остатков

Из графика можно сделать вывод о достаточно слабой гомоскедастичности, т.е. о том, что дисперсии остатков постоянны. Следовательно, и 2-ое условие Гаусса-Маркова выполняются.

3-е условие (проверка автокорреляции остатков):

Используем тест Дарбина-Уотсона:

Табличное значение коэффициента d при N = 60, m = 4 составляет dн =1,44 и dв= 1,73; 4-dв=2,27

Т. к. расчетное значение d=1,776 принадлежит промежутку (dв;4-dв), автокорреляция отсутствует. Условие выполняется.

Вывод: Таким образом, можно сделать вывод, что линейная модель адекватна, т. к. выполняются все условия Гаусса – Маркова и уравнение значимо по критерию Фишера и Стьюдента.

2.3 Прогнозирование розничного оборота в РФ, с помощью регрессионных моделей

Регрессионная линейная модель

Y=829,55+0,0241*X5+5,2735* X3-23,0722* X2

Ноябрь 2010г  796,8 – фактическое значение

Декабрь 2010г  954,5 – фактическое значение