Применение эконометрики в экономическом анализе. Оценка качества моделей

    Корреляционный  анализ позволяет количественно  оценить связи между большим  числом взаимодействующих экономических  явлений как между случайными величинами. Его применение делает возможным проверку различных экономических  гипотез о наличии и силе связи  между двумя величинами или группой  величин. Корреляционный анализ тесно  связан с регрессионным анализом, задача которого состоит в экспериментальном  определении параметров корреляционных зависимостей между экономическими показателями путем наблюдения за характером их изменения. Одним из основных методов  регрессионного анализа является метод наименьших квадратов.

 Линейный регрессионный анализ

    В регрессионном анализе изучается  односторонняя зависимость переменной  Y от одной или нескольких переменных X₁ ,... ,X_k . Переменную Y называют функцией отклика или объясняемой переменной, а X₁ ,... ,X_k - объясняющими переменными. Основная задача регрессионного анализа - установление формы зависимости между объясняемой и объясняющими переменными и анализ достоверности модельных параметров этой зависимости

    На  первом шаге регрессионного анализа  идентифицируют переменные X1 ,... ,Xk , от которых зависит Y, т.е. определяют те существенные факторы, которые воздействуют на этот показатель. Символически этот факт записывается так:

    На  втором шаге регрессионного анализа  требуется спецификация формы связи  между и т.е. определение вида функции f. Ориентиром для определения вида зависимости являются содержание решаемой задачи, результаты наблюдений за поведением показателя относительно изменения факторов на основе статистических данных.

    Предположим, что в результате спецификации определена линейная зависимость между показателем Y и факторами :

    

(1)

    Задача  третьего шага регрессионного анализа  заключается в определении конкретных числовых значений параметров α, β₁….. β_k на основе статистических данных о наблюдениях значений Y, .

    Линейные  зависимости вида (1) наиболее просты для эконометрических исследований. В ряде случаев к виду (1) можно  привести и нелинейные зависимости  с помощью логарифмирования, введения обратных величин и других приемов. Преобразование нелинейных функций  в линейные называется линеаризацией.

    Таким образом, линеаризация расширяет область  линейных моделей и повышает популярность линейных эконометрических методов. Однако опыт работы с экономическими данными  показывает, что их отдельные значения не укладываются точно на прямую или на другую гладкую линию. Поэтому формализация вида (1) оказывается неадекватной целям, связанным с измерениями в экономике. Эта проблема преодолевается введением в соотношение (1) стохастического члена :

     (2)

    Уравнение (2) называется линейной эконометрической моделью (или линейным уравнением регрессии Y на ). Если мы имеем выборку   , i=1,...,n, из n наблюдений над переменными Y, , то модель (2) можно переписать в виде:

    

    где неизвестными являются параметры  и возмущения

    Задача  оценки неизвестных параметров уравнения (2) с помощью наблюдаемых значений переменных Y, называется линейным регрессионным анализом.

    Теоретической основой регрессионного анализа  линейных эконометрических моделей  типа (2) чаще других служит метод наименьших квадратов. Применение этого метода мы рассмотрим на примере парной регрессионной  модели, т.е. линейной модели, состоящей  из единственного уравнения, содержащего  только две переменные:

     (3)

    Предположим, что проведено n выборочных наблюдений, в результате чего получены значения:

    Введем  в рассмотрение средние арифметические

    

    Мы  хотим с помощью наблюдаемых  данных получить уравнение линии

      (4)

    которая будет наилучшей оценкой истинной линии 

    Согласно  метода наименьших квадратов эти параметры и являются решением оптимизационной задачи 

    Необходимые условия оптимальности пары ( , ) имеют вид

     (5)

    После подстановки в эту систему  значений выборочных наблюдений (x,y), мы получим линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными и . Решив ее, найдем искомые параметры.

    Систему (5) можно решить другим способом. Для  этого проведем следующие преобразования. Разделив первое уравнение (5) на число  n, получим

     (6)

    При найденных и оценочная линия (4) проходит через точку средних значений

    

    Рисунок 2 Оценочная линия

    Вычтем (6) из (4) . Отклонения наблюдаемых значений , , от их средних обозначим малыми буквами:

    

    В этих обозначениях оценочное уравнение (4) запишется так:

    

(7)

    а отклонение точки  от этой линии - 

    Задача  минимизации суммы квадратов  отклонения:   отностельно дает нам

     (8)

    Применяя  достаточный признак оптимальности,

    

мы убеждаемся, что  действительно является точкой минимума функции. Параметр найдем из (6) :

    

(9)

    Модели, полученные с помощью регрессионного анализа, позволяют прогнозировать варианты развития экономических процессов и явлений, изучить тенденции изменения экономических показателей, т.е. служат инструментом научно-обоснованных предсказаний. Результаты прогноза являются исходным материалом для постановки реальных экономических целей и задач, для выявления и принятия наилучших управленческих решений, для разработки хозяйственной и финансовой стратегий в будущем.

      Как составная часть математической  экономики, эконометрика вполне  естественно вписывается в общий  алгоритм экономико-математических  исследований. Эконометрические исследования  начинаются после того, как 

1. определен общий вид математической модели с неизвестными параметрами;
2. собраны все необходимые статистические данные, имеющие отношение к оцениваемым параметрам;
3. поставлена задача отыскания значений неизвестных параметров, обеспечивающих наилучшее приближение модельных значений к их значениям, наблюдавшимся в действительности.

    Есть достаточно много аргументов, в силу которых качественной информации о параметрах модели недостаточно и ее необходимо заменить количественной информацией, добываемой с помощью статистических данных. Эконометрика как раз и занимается методами получения лучших оценок параметров эконометрических моделей, конструируемых в прикладных целях.

      Эконометрические модели по сравнению  с аналитическими более точны и подробны, не требуют грубых допущений и упрощений, позволяют учесть большое число факторов. Наиболее эффективная методика экономико-математических исследований - это совместное применение аналитических и эконометрических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контуры основных закономерностей. Уточнение же этих закономерностей - прерогатива эконометрических моделей. С этой точки зрения важная задача эконометрики - проверка теоретико-экономических положений и выводов на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов математической статистики.

 Нелинейный регрессионный анализ

    До  сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели,  в которых  переменные имели первую степень  (модели, линейные по  переменным), а  параметры выступали в виде коэффициентов  при  этих переменных (модели линейные по параметрам). Однако соотношение  между социально-экономическими явлениями  и  процессами часто невозможно описать  линейными функциями. Если между  экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. 

    Различают два класса нелинейных регрессий:

1. регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам  (например, полином )
2. регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам (например, степенная   , экспоненциальная ).

    Для оценки параметров нелинейных моделей  используются два подхода. Первый подход основан на линеаризации модели и  заключается в том, что с помощью  подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения  между преобразованными переменными. Второй  подход обычно применяется  в случае, когда подобрать соответствующее  линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

    Нелинейная  регрессия по включенным в нее  переменным определяется, как и в  линейной, методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны  по параметрам. Так для полиномов различных степеней применяется замена переменных (). Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. 

    Также метод наименьших квадратов хорошо оценивает гиперболу  . Заменив на  z, получим линейное уравнение регрессии . Полулогарифмическая кривая    также может принять линейный вид, в случае замены на z, получим.

    В моделях, нелинейных по оцениваемым  параметрам, но приводимым к линейному  виду, метод наименьших квадратов  применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование метода наименьших квадратов применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам.

    Регрессии, нелинейные по оцениваемым  параметрам  подразделяются на два типа: 

    -  нелинейные модели внутренне  линейные (модель с помощью   соответствующих преобразований  может быть приведена к линейному  виду);

    - нелинейные  модели внутренне нелинейные (модель  не может быть сведена к линейной). 

    К первому типу относятся: степенная,  так как логарифмирование уравнения по основанию  е  приводит  к  линейному  виду . Здесь предполагается, что случайная ошибка  мультипликативно связана с  х.  Если  представить  данную  модель  в виде , то она становится внутренне нелинейной, так как ее  невозможно привести к линейному виду.

    Также внутренне нелинейные: и . Внутренне линейной является экспоненциальная модель , поскольку логарифмируя получим

    В моделях, нелинейных по оцениваемым  параметрам, но приводимым к линейному  виду, МНК применяется к преобразованным  уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к преобразованным величинам, т е к и т.д.

1.2 Оценка качества модели

    Для практического использования  эконометрической модели  большое значение имеет  их адекватность, т.е. соответствие реальному процессу   и тем статистическим данным, на основе которых построена модель.  Анализ качества модели включает статистическую и содержательную составляющие. 

    Проверка  статистического качества  оцененного уравнения  состоит из следующих  элементов:

• проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии
• проверка общего качества уравнения регрессии
• проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения, например условий Гаусса-Маркова

Коэффициент детерминации R²

    Для анализа  общего качества оцененной  линейной регрессии используют обычно коэффициент детерминации R² , называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции  переменных x и y. Коэффициент корреляции рассчитывается  по формуле: