Нелинейная динамика

Складність полягає в  іншому. Дуже складно, приміром, визначити  припустимі відхилення (амплітуди) цих  коливань як для всієї системи, так  і окремих її показників (параметрів), що для кожної організації суто індивідуальні. Хоча апріорі відомо, що може відбуватися з організацією, підданою впливам зовнішнього середовища.

При позитивному впливі (що буває дуже рідко) система може носити характер економічного росту, завдяки  якому вона може перейти в новий  сприятливий стан, що зажадає підвищеної витрати розташовуваних ресурсів, що, у свою чергу, знову ж не завжди сприятливе для організації, що мас  обмежену їх кількість.

Крім того, існує ще дві причини, що можуть говорити про сумнівну вигоду такого становища. Це, по-перше, та обставина, що ріст продуктивності системи може привести до ринкового надлишку товару, тобто зниження ціни на нього, що не завжди вигідно підприємству, перевищення споживчого попиту чи затоварення складських приміщень готовим товаром.

По-друге, швидкий короткостроковий ріст, навіть при виключенні двох попередніх сценаріїв, — не завжди благо. Багато фірм, що надавали перевагу швидкому росту, одержували натомість довгострокове руйнування. 
При негативному впливі зовнішнього середовища (чи перевищенні його сили над можливостями організації) відбувається падіння кривої виробничої функції (спад продуктивності), що змушує систему (організацію) мобілізувати внутрішні резерви на її повернення в запланований режим роботи (графік виробничої функції, наприклад), що спричиняє додаткові витрати часу і засобів.

Якщо в системи (організації) не вистачає ресурсів для достатньої протидії зовнішнім впливам (погрозам) чи останні різко зростають на якомусь етапі, то організація може зайняти якісно нове становище, відмінне від запланованого, але таке, що дозволяє фірмі в новому статусі втриматися "на плаву". У цьому випадку може бути кілька стандартних прийомів: "відсікання зайвого", реструктуризація, скорочення виробництва і (чи) персоналу і т.п., але в будь-якому випадку зміна статусу вимагає трансформації розроблених стандартів (планів), правил, тактики і політики фірми.

При подальшому наростанні загроз чи різкому настанні кризових ситуацій, коли в системі відбуваються значні деструктивні зміни, організація  може виявитися у важкій і затяжній кризі, від масштабів якої залежить життя організації, що приводить  найчастіше фірму до банкрутства. Криза в цьому випадку може бути переборена, як правило, тільки зовнішніми впливами: зменшенням негативного тиску чи санаційними заходами. 
І, нарешті, може виникнути крайня ситуація, коли досить навіть невеликого збурювання зовнішнього середовища чи продовження часу перебування підприємства в попередній стадії, щоб система перестала існувати. 
Звичайно, розглянуті процеси розвитку подій можуть відбуватися і за іншим сценарієм — швидше, повільніше, дискретно чи безупинно. Важливо не це. Важливі заходи протидії цим і подібним явищем, що будуть розглянуті трохи пізніше.

3. Теорія катастроф і порівняльний статичний аналіз.

Теорія катастроф - розділ прикладної математики, гілка теорії біфуркацій, важливий інструмент для  дослідження динамічних систем; також - спеціальний розділ більш загальної  теорії сингулярностей в геометрії.

Перші результати, пов'язані  з якісним вивченням поведінки  розв'язків систем диференціальних  рівнянь, були отримані А. Пуанкаре й  А. М. Ляпуновим майже 100 років тому. Значний внесок у розвиток їхніх ідей внесли А. А. Андронов і Л. С. Понтрягіна, які ввели поняття грубості, тобто структурної стійкості системи. Але тільки з 50-х років, після робіт Р. Тома, почався інтенсивний розвиток, як самої теорії катастроф, так і її численних додатків.

В. Арнольд вказує, що засновником теорії катастроф як раз є Рене Том, якого він, однак критикує за відсутність доказів і чітких формулювань. На самому початку 1970-х ця теорія зробилася надзвичайно модною, а потім піддалася критиці. Теорія катастроф має два джерела: теорія особливостей гладких відображень Уїтні і теорія біфуркації в динамічних системах Пуанкаре і Андронова. По використанню понятійного апарату (аттрактор, турбулентність) теорія катастроф змикається з синергетикою, теорією хаосу та нелінійної динамікою.

Елементарні катастрофи

Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенційної  функції, тобто точки, де не тільки перша  похідна функції дорівнює нулю, але  і дорівнюють нулю ж похідні вищого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенційної функції в рядах Тейлора допомогою малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту складаються  не просто в випадковий шаблон, але  формують структуровану область  стабільності, ці точки існують як організуючі центри для особливих  геометричних структур з низьким  рівнем катастрофічності, з високим рівнем катастрофічності в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенційна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти-менш активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім узагальнених структур описаних геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладань в ряди Тейлора, в які можна розкласти репетиції за допомогою дифеоморфізмів (гладкою трансформації, звернення якої також гладко). Сьогодні ці 5 фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Введемо позначення для розгляду різних видів катастроф

x_1,  х_2,….х_n - залежны параметри, які показують стани ситеми

а, b, c, d – змінні параметри станів рівноваги

1. Катастрофа типу «Згортка»

Стабільна і нестабільна  частини екстремуму, зникаючого при  біфуркації типу «згортка»

V = x₃ + ax

При негативних значеннях  параметра a, потенційна функція має  два екстремуми - один стабільний (стійка рівновага) і один нестабільний (нестійка рівновага). Якщо параметр a повільно змінюється, система може знаходитися в точці стабільного мінімуму. Але якщо a = 0, стабільні і нестабільний екстремуми зустрічаються і анігілюють. Це - точка біфуркації. При a> 0 не існує стабільного рішення.

Якщо фізична система  проходить через точку біфуркації типу «згортка», і тому параметр a досягає  значення 0, стабільність рішення при a <0 раптово втрачається, і система може здійснити раптовий перехід в новий, вельми відмінне від попереднього стан. Це біфуркаційні значення параметра a іноді називається «точкою фіксації».

3. Катастрофа з точкою повернення

V = x₄ + ax₂ + bx

Діаграма катастрофи з  точкою повернення, на якій показані криві (коричневі, червоні) по змінній x, що задовольняють висловом для параметрів (a, b). криві показані для безупинно мінливого параметра b при різних значеннях параметра a. Поза геометричного місця точок повернення (синя область) для кожної точки (a, b) у фазовому просторі існує тільки одне екстремальне значення змінної x. Усередині точок повернення існує два різних значення x, які дають локальні мінімуми функції V (x) для кожної пари (a, b). При цьому вказані значення розділені локальним максимумом

4. Біфуркація типу «вилка» при a = 0 на просторі b = 0 Форма точок повернення в фазовому просторі (a, b) близько точки катастрофи, що показує геометричне місце біфуркацій типу «згортка», яке розділяє область з двома стабільними рішеннями і область з одним рішенням Геометрія точок повернення досить звичайна, коли проводиться вивчення того, що відбувається з біфуркації типу «згортка» при додаванні в керуюче простір нового параметра b. Змінюючи параметри, можна знайти, що мається крива (синя) точок у просторі (a, b), на якій втрачається стабільність, тобто на цій кривій стабільне рішення може раптово «перестрибнути» на альтернативне значення (також стабільне).

Але в геометрії точок  повернення крива біфуркацій загортає назад, створюючи Друга гілка, на якій вже це друге рішення втрачає  стабільність, а тому може вчинити  «стрибок» назад на вихідне безліч рішень. При повторному збільшенні значення параметра b та подальшому зменшенні його, можна спостерігати гістерезис в поведінці петель, оскільки система слід по одному рішенню, «перестрибує» на інше, слід по ньому і «перестрибує» назад на вихідне.

Однак це можливо тільки в області в параметричному просторі при a <0. Якщо значення параметра a збільшується, петлі гістерезису стають менше  і менше, поки значення a не досягне 0. У цій точці петлі зникають (катастрофа з точкою повернення), і  з'являється тільки одне стабільне  рішення.

Також можна розглянути процес зміни параметра a при незмінному значенні b. У симетричному випадку  при b = 0 можна спостерігати біфуркацію типу «вила» при уменьшающемся значенні параметра a одне стабільне рішення раптово розділяється на два стабільних рішення і одне нестабільне. У цей час фізична система проходить в область a <0 через точку повернення (a = 0, b = 0) (це - приклад спонтанного порушення симетрії). Далеко від точки повернення не існує раптових змін у фізичній системі, оскільки при проходженні по кривій біфуркації згортки відбувається тільки те, що стає доступним Другий альтернативний рішення.

Одне з найбільш цікавих  пропозицій щодо використання катастрофи з точкою повернення полягає в  тому, що цей тип катастрофи можна  використовувати для моделювання  поведінки собаки, яка у відповідь на зовнішній вплив може злякатися або озлитися. Пропозиція полягає в тому, що при помірному впливі (a> 0) собака буде проявляти плавну зміну відгуку з переляку на злість в залежності від того, як було проведено вплив. Але більш високий рівень впливу - це стрес, відповідний переходу в область a <0. У цьому випадку якщо собака спочатку злякалася, вона залишиться переляканою при збільшенні рівня впливу на неї, поки в кінцевому підсумку вона не досягне точки повернення, де відбудеться спонтанний перехід в режим злоби. При переході в цей режим собака буде залишатися озлобленої навіть у разі поступового зниження впливу на неї.

Інший приклад прикладного  застосування катастрофи з точкою повернення полягає в моделюванні поведінки  електрона при переміщенні з  одного енергетичного рівня на інший, що часто спостерігається в хімічних і біологічних системах. Це вказує на те, що біфуркації розглянутого типу і геометрія точок повернення є найбільш важливою практичною частиною теорії катастроф. Це - шаблони, які проявляються знову і знову в фізиці, інженерії та математичному моделюванні.

Що залишилися прості геометрії  катастроф є більш спеціалізованими в порівнянні з тільки що розглянутої, а тому проявляються тільки в деяких окремих випадках.

5. Катастрофа типу «Ласточкін хвіст»

V = x₅ + ax₃ + bx₂ + cx

Керуюче простір в даному типу катастроф є тривимірним. Каскад біфуркацій у фазовому просторі складається з трьох поверхонь біфуркацій типу «згортки», які зустрічаються на двох кривих біфуркацій з точками повернення, які в кінцевому підсумку зустрічаються в одній точці, що представляє собою біфуркацію типу «ластівчин хвіст».

У міру проходження значень параметрів по поверхнях областей біфуркацій типу «згортка» пропадає один мінімум і один максимум потенційної функції. В області біфуркацій з точкою повернення два мінімуму і один максимум заміщаються одним мінімумом; за ними біфуркації типу «згортка» зникають. У точці ластівчин хвіст два мінімуму і два максимуми зустрічаються в одному значенні змінної x. Для значень a> 0 за ласточкиним хвостом існує або одна пара (мінімум, максимум), або не існує взагалі ніяких біфуркацій. Це залежить від значень параметрів b і c. Дві поверхні біфуркацій типу «згортка» і дві лінії біфуркацій з точками повернення зустрічаються при a <0, а тому зникають в самій точці ластівчин хвіст, замінюючись однією поверхнею біфуркацій типу «згортка». Остання картина Сальвадора Далі під назвою «Ласточкін хвіст» створена під впливом цього типу катастроф.

6. Катастрофа типу «Метелик»

V = x₆ + ax₄ + bx₃ + cx₂ + dx

В залежності від значень  параметрів потенційна функція може мати три, два чи один локальний мінімум, причому всі мінімуми розділені  областями з біфуркації типу «згортка». У точці з поетичною назвою «метелик» зустрічаються три  різні простору (тривимірних площині) таких біфуркацій типу «згортка», дві  поверхні біфуркацій з точками повернення і крива біфуркацій типу «ластівчин хвіст». Всі ці біфуркації пропадають в одній точці і перетворюються в просту структуру з точкою повернення тоді, коли значення параметра a стає позитивним.

4. Моделювання регіональної динаміки

Формування ефективної галузевої  структури суспільного виробництва  на тому чи іншому етапі передбачає правильне визначення пріоритетів  і розвиток окремих галузей, що необхідно  для забезпечення прогресивних змін у господарських пропорціях. Пріоритетний принцип розвитку галузей зумовлений низкою об'єктивних факторів, серед яких важлива роль належить пріоритету потреб, різної міри їх актуальності. Він також обумовлюється неоднаковим впливом різних галузей на темпи розвитку і ефективність суспільного виробництва. Переважаючий розвиток прогресивних галузей, які базуються на останніх досягненнях науки і техніки, також сприяє підвищенню ефективності всього суспільного виробництва.

Структурна перебудова економіки  повинна здійснюватись послідовно — від етапу до етапу, в міру розгортання інвестиційної та інноваційної діяльності, зростання обсягів внутрішніх нагромаджень і можливого припливу зовнішнього капіталу.