Нелинейная динамика

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет економіки і  підприємництва

Кафедра економічної кібернетики

 

 

 

Курсова робота

З дисципліни : « Моделювання  економічної динаміки»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконала студентка 

КБ 510

Рогова Юлія

 

 

 

 

Київ 2013

 

 

ЗМІСТ

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

     Вступ……………………………………………………………………………3

1. Логіка і мова нелінійної динаміки…………………..…………………...4
2. Множини рівноваги та структурні зміни в економічних системах…….7
3. Теорія катастроф і порівняльний статичний аналіз…………………….11
4. Моделювання регіональної динаміки…………………………………...16
5. Біфуркаційний аналіз моделі економічного зростання……………...…21

Висновок……………………………………………………………………...34

Список використаної літератури……………………………………………45

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

 

ВСТУП

 

З погляду нелінійнійної  динаміки процеси у відкритих  нерівноважних системах характеризуються принциповою нелінійністю, присутністю  зворотних зв’язків, що зумовлює появу  якісно нових можливостей здійснення керуючого впливу на систему.

Нелінійна динаміка дала змогу  по-новому зрозуміти відмінність  між випадковими та детермінованими процесами. Довгий час вважалось, що існують лише два класи об’єктів. Перший становлять детерміновані. Якщо відомий аналітичний вигляд закону, за яким вони функціонують, то спрогнозувати їхнє поводження можна практично на довільний часовий інтервал. До другого класу належать стохастичні об’єкти, поводження яких описується деяким випадковим процесом (є його реалізацією). Для цього класу процесів неможливо зробити детермінований прогноз, але якщо ми достатньо довго спостерігатимемо за їхнім поводженням, то зможемо знайти відповідні розподіли ймовірності та обчислити статистичні характеристики (середні, дисперсії, інтервали довіри тощо) і спрогнозувати їхнє поводження в «середньому» з певною ймовірністю.

При подальшому наростанні загроз чи різкому настанні кризових ситуацій, коли в системі відбуваються значні деструктивні зміни, організація  може виявитися у важкій і затяжній кризі, від масштабів якої залежить життя організації, що приводить  найчастіше фірму до банкрутства. Криза в цьому випадку може бути переборена, як правило, тільки зовнішніми впливами: зменшенням негативного тиску чи санаційними заходами. 
І, нарешті, може виникнути крайня ситуація, коли досить навіть невеликого збурювання зовнішнього середовища чи продовження часу перебування підприємства в попередній стадії, щоб система перестала існувати. 
Звичайно, розглянуті процеси розвитку подій можуть відбуватися і за іншим сценарієм — швидше, повільніше, дискретно чи безупинно.

 

 

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

 

1. Логіка і мова нелінійної динаміки.

 

Сучасним етапом розвитку ідей кібернетики, загальної теорії систем та системного аналізу можна  вважати науковий напрямок, відомий  як нелінійна динаміка (грец. «synergeia», «synergetikos» — такий, що діє спільно, спільний, сприяння, співробітництво). Цю назву запропонував професор Штутгартського університету Герман Хакен, якого вважають засновником нелінійної динамікиетики. Зазначений термін акцентує увагу на узгодженості, взаємодії частин системи  у процесі утворення її структури  як єдиного цілого.

Поряд із терміном нелінійна  динаміка часто використовують терміни  теорія складності (complexity theory), теорія динамічних (складних) систем (dynamic (complex) system theory), теорія хаосу (chaos theory), нелінійна  динаміка (nonlinear dynamic) або більш загальний  — нелінійна наука (nonlinear science), увиразнюючи  при цьому принципову нелінійність, нерівноважність, складність досліджуваних явищ. Фундаментальні результати в цій галузі здобули Г. Хакен, І. Пригожин, Б. Мандельброт, М. Мойсєєв, С. Курдюмов, Г. Малинецький, О. Самарський, О. Тихонов, Р. Том та інші. Надалі послуговуватимемося термінами «нелінійна динаміка», «нелінійна динаміка», «теорія складних систем».

Нелінійна динаміка вивчає складні системи, які містять  багато підсистем різної природи, маючи на меті виявити, в який спосіб взаємодія таких підсистем приводить до виникнення нових стійких просторових, часових чи просторово-часових структур або режимів функціонування, а також досліджує характерні масштаби й швидкості перехідних процесів.

Нелінійна динаміка акцентує увагу на явищах, що виникають завдяки  спільній дії кількох (багатьох) факторів, кожний з яких окремо до цього явища не приводить. Нелінійну динаміку часто визначають як науку про самоорганізацію.

Під самоорганізацією розуміють мимовільне, спонтанне самоускладнення форми (у загальнішому випадку — структури системи та законів її функціонування) унаслідок повільної та плавної зміни її параметрів. Іншими словами, самоорганізація — це утворення впорядкованих структур із хаосу. Отже, нелінійна динаміка являє собою нову узагальнювальну науку, що вивчає основні закони самоорганізації складних систем.

Винятково важливим етапом у розвитку нового, нелінійного способу  мислення було виникнення та уточнення  поняття патерну (наближено можна  перекласти як шаблон, зразок). Засновник  тектології (в якій було закладено  основні кібернетичні принципи та ідеї ще на початку ХХ ст.) О. Богданов першим спробував об’єднати поняття організації, патерну та складності в послідовну теорію систем.

За останні двадцять років  було знайдено та проаналізовано недостатні «елементи» — концепцію самоорганізації (нелінійна динаміка) та нову математику складних систем. Нова математика складних систем є, по суті, математикою візуальних патернів — дивних атракторів, фазових портретів, фракталів тощо, які аналізуються в контексті топологічної структури, вперше розробленої А. Пуанкаре.

Тим часом логіка нелінійної динаміки абстрагується від специфічної природи систем, намагаючись описувати їх функціонування (еволюцію) універсальною мовою. Це досягається відшуканням ізоморфізму різних досліджуваних специфічними засобами багатьох наук явищ, які можна, проте, описати однаковими (однотипними) моделями. Отже, виявляючи єдину модель, спільну для зазначених явищ, нелінійна динаміка та кібернетика переносять результати однієї галузі науки в інші.

Логіка нелінійної динаміціки на відміну від кібернетики акцент робить не на процесах управління та обміну інформацією, а на принципах побудови, організації, розвитку та самоускладнення систем і їхній еволюції. Нелінійна динаміка досліджує принципово нерівноважні (такі, що перебувають далеко від стану рівноваги) системи, принципово нелінійні (такі, що за певних умов деякі збурення — внутрішні або зовнішні — можуть привести систему до принципово нових станів, до виникнення нових стійких структур) процеси еволюції систем.

З погляду логіки нелінійнійної динаміки процеси у відкритих нерівноважних системах характеризуються принциповою нелінійністю, присутністю зворотних зв’язків, що зумовлює появу якісно нових можливостей здійснення керуючого впливу на систему.

Нелінійна динаміка дала змогу  по-новому зрозуміти відмінність  між випадковими та детермінованими процесами. Довгий час вважалось, що існують лише два класи об’єктів. Перший становлять детерміновані. Якщо відомий аналітичний вигляд закону, за яким вони функціонують, то спрогнозувати їхнє поводження можна практично на довільний часовий інтервал. До другого класу належать стохастичні об’єкти, поводження яких описується деяким випадковим процесом (є його реалізацією). Для цього класу процесів неможливо зробити детермінований прогноз, але якщо ми достатньо довго спостерігатимемо за їхнім поводженням, то зможемо знайти відповідні розподіли ймовірності та обчислити статистичні характеристики (середні, дисперсії, інтервали довіри тощо) і спрогнозувати їхнє поводження в «середньому» з певною ймовірністю.

Але дослідження кількох останніх десятиріч показали, що існує ще один важливий клас об’єктів. Формально вони є детермінованими, тобто якщо ми точно знаємо їхній поточний стан, то можемо спрогнозувати подальше їхнє поводження, але тільки на доволі обмежений проміжок часу. Навіть як завгодно мала неточність у визначенні поточного стану таких систем призводить з часом до розбігання їхніх можливих траєкторій розвитку. Система починає поводитися хаотично, початкові відхилення з часом наростають і незначні причини призводять до вельми відчутних наслідків. Такі системи, що дуже чутливі до початкових умов, дістали назву хаотичних.

Отже, підсумовуючи сказане, доходимо висновку, що правила, які визначають поводження складних систем, істотно відрізняються від тих, за якими функціонують рівноважні системи і які є основою традиційних класичних методів аналізу систем. Тому саме нелінійна динаміка, яка акцентує увагу на явищах еволюції у відкритих нерівноважних системах, на виникненні порядку із хаосу, явищах самоорганізації, зі своїм міждисциплінарним арсеналом методів та алгоритмів може стати адекватним інструментом для аналізу складних динамічних процесів, що відбуваються в сучасному суспільстві та економіці.

До основних понять нелінійної динамікиетики належать поняття  структури, хаосу, еволюції, дисипативної системи, дивного атрактора, точок біфуркації, фракталів тощо.

 

2. Множини рівноваги та структурні зміни в економічних системах.

Відомо, що будь-яка цілеспрямована система повинна в процесі  свого функціонування виконувати поставлені перед нею завдання. 
Різноманіття природи, характеристик і особливостей керованих систем, умов їхнього функціонування, поряд з різноманіттям структур систем управління, визначає при обраних структурах і безліч різних законів управління. Однак у всіх випадках необхідно забезпечувати дві основні характеристики будь-якого управління — стійкість і якість системи управління. 
З позицій підприємств стійкість можна розглядати як здатність системи зберігати свій працездатний стан з досягнення запланованих результатів при наявності різних впливів, що збурюють. Збурювання може викликати тимчасові відхилення координат стану системи в межах заздалегідь визначених допусків, але при припиненні впливів стійка система повинна повертатися у вихідне положення. 
Стійкість підприємства повинна забезпечуватися в будь-яких умовах і ситуаціях, що виникають у системі й у навколишнім середовищі. 
В економіці звичайно розглядається стійкість рівноваги і стійкість руху системи. Поняття рівноваги системи є фундаментальним. Система знаходиться в рівновазі, якщо її стан не змінюється при втручанні зовнішніх сил. Рівновага може бути стійкою, хиткою і байдужою в залежності від того, як поводиться система, виведена зі стану рівноваги. 
Стійкою рівновага називається в тому випадку, коли система, виведена з рівноваги, повертається у вихідний стан. Рівновага хитка, коли, після того, як збурюючий вплив усунутий, система продовжує віддалятися від рівноваги в напрямку збурювання (доти, поки не досягне природних границь). І, нарешті, рівновага байдужа {нейтральна), коли стан системи, після того як збурюючий вплив усунутий, не змінюється (тобто система ніяк не реагує на збурювання). 
Механічні моделі, що ілюструють рівновагу цих трьох типів, зображені на рис. 1.13. 

Кулька в нижній точці  гладкої увігнутої поверхні знаходиться  в стані стійкої рівноваги, кулька на вершині опуклої поверхні —  полишена сама на себе і знаходиться  в стані хиткої рівноваги, для  виходу з якої досить "слабкого подуву вітерцю". Кулька, що знаходиться на горизонтальній поверхні перебуває в стані байдужої рівноваги, тобто залишається там, де вона виявилася після впливу на неї зовнішньої сили. 
Рівновага всіх цих типів може реалізовуватися й у відношенні такої соціально-економічної системи, як організація, з деякими уточненнями. 
Система, в особі якої виступає організація (чи її фактично показники), під впливом факторів зовнішнього середовища може відхилятися від існуючого положення усталеної роботи системи, пов'язаної з досягненням мети. Тому керуючі впливи, що направляються на внутрішні перемінні параметри, повинні протистояти зовнішнім збурюванням, адаптувати систему і відновлювати її стійкість, тобто повертати систему в колишній стан. 
Виникаючі з різних причин відхилення початкових умов від їхніх розрахункових значень у літературі часто називають початковими збурюваннями чи перешкодами входу.

Вплив початкових збурювань  на характеристики руху системи (траєкторії точок показників) може бути двояким. Якщо при досить малих початкових збурюваннях яка-небудь з малих характеристик увесь наступний час мало відрізняється від того значення, що вона повинна мати в незбуреному русі, то рух системи стосовно цієї характеристики називають стійким.

Якщо при наскільки  завгодно малих, але не рівних нулю початкових збурюваннях дана характеристика згодом буде усе більш і більш  відрізнятися від значення, що вона повинна мати в незбуреному русі системи, що рух системи стосовно цієї характеристики називають хитким. 
Чудовою властивістю стійких систем є їхня здатність відновлювати вихідний (чи близький до нього) стан (режим) після зняття факторів, що збурюють, чи при внутрішній протидії керованих факторів. Інакше кажучи, керована система може чи пристосовуватися до шкідливих впливів, що збурюють, і йти до поставленої мети, чи успішно протидіяти їм. 
Строго кажучи, параметри стану навіть щодо стійких систем не є абсолютно фіксованими. Часто вони випробують малі власні коливання (осциляції) чи флуктуації, що залежать від випадкових факторів, що добре визначаються методами статистики і теорії імовірностей. Найпростішою мірою флуктуацій служить їх дисперсія, тобто середньоквадратичне відхилення максимальної амплітуди коливань. Для більш детальної характеристики флуктуацій необхідно знати функцію розподілу їхніх імовірностей, що, у принципі, так чи інакше особливих труднощів не викликає.