Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

      r(t)= ∑ ε_(t)* ε_(t-1)/ ∑ ε_(t)²

Вычислим  соответствующие разности и суммы  в расчетной таблице Ехсеl, а затем

вычислим  и значение критерия

      Для линейной модели: d=223,9/25,1=8,91

                           Для модели Брауна d=2,47 (для ά=0,4); d=2,69 (для ά=0,7)

Сравним расчетное значение d - критерия линейной модели с верхним критическим

табличным значением d ₂= 1,36 :

d = 8,91 > d ₂ = 1,36

Расчетное значение ё - критерия больше верхнего критического табличного значения  d ₂= 1,36 . Поэтому можно принять гипотезу о независимости уровней ряда остатков (отсутствии автокорреляции).

Вывод : линейная модель адекватна по критерию независимости уровней ряда остатков. Модель Брауна же в данном случае также адекватна по данному критерию (расчетное значение критерия больше верхнего критического).

4.3.Проверка  нормальности распределения остаточной  компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 - 3,7.

4.3.1.Для  линейной модели.

Расчетное (наблюдаемое) значение RS - критерия равно: 

                                          RS=[ε_max-ε_min]/S_ε 

где ε_max - максимальный уровень ряда остатков, ε_max = 2,06;

ε_min- минимальный уровень ряда остатков, ε_min=-3,19;

S_ε- среднеквадратическое отклонение. 

S_ε= √∑ ε_(t)²/ n-1 

Проведем  вычисление в таблице и получим  расчетное значение критерия: 

      RS= 5,25/1,7726=2,962 

Расчетное значение RS - критерия попадает в интервал (2,7 - 3,7), следовательно, выполняется свойство нормального распределения.

Вывод: линейная модель адекватна по нормальности распределения остаточной компоненты (по  RS - критерию).

4.3.2.Для  адаптивной модели Брауна

Для ά = 0,4: ε_max = 3,096;  ε_min = - 2,916 ; S_ε = 1,994 ; RS = 3,016

Для ά = 0,7: ε_max = 2,621 ; ε_min = - 5,242 ; S_ε = 2,996 ; RS = 2,625.

Выводы: для ά = 0,4 расчетное значение RS - критерия попадает в интервал (2,7 - 3,7); модель Брауна адекватна по нормальности распределения остаточной компоненты (по RS - критерию). Для ά = 0,7 - расчетное значение критерия не попадает в указанный интервал, и модель неадекватна по RS – критерию.

5.Оценка  точности модели  по среднему  квадратическому  отклонению и  средней по  модулю ошибке.

Оценка  точности модели имеет смысл только для адекватных моделей (для которых  все вышеуказанные пункты проверки дали положительный результат).

В данном случае линейная модель адекватна по всем этим критериям, поэтому имеет смысл оценить ее точность. Математическое ожидание уровней ряда остатков равно нулю. Стандартная ошибка прогнозируемого показателя (среднеквадратическое отклонение от линии тренда):

      S_ε= √∑ ε_(t)²/ n-1= 1,7726

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

E_отн=1/ n*∑ | ε_(t)/ Y _t|*100% 

На основе проведенных в таблице вычислений:

E_отн=1/9*0,2309*100%=2,57% 

Поскольку средняя относительная ошибка аппроксимации  не превосходит 15 % (она значительно  меньше), то точность линейной модели достаточно высока. Однако допустимый уровень точности модели устанавливает пользователь модели (так как она зависит от поставленных задач).

Для модели Брауна при ά = 0,4: S_ε= 1,994 ; средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн= 1/9* 0,2855 * 100 % = 3,17 %.. При ά = 0,7: S_ε= 2,996 ;

Е_отн = 1/9*0,4049*100 % = 4,50 %. Поскольку средняя относительная ошибка

аппроксимации не превосходит 15 %, то точность модели Брауна достаточно высока. Однако в данном случае модель Брауна адекватна не по всем этим критериям (что показано выше).

6. Построение точечного  и интервального  прогнозов на  следующие две  недели

6.1. Построение  точечного прогноза для линейной  модели.

Точечный  прогноз - это единственное значение прогнозируемого показателя. Это  значение определяется подстановкой в  выбранное уравнение регрессии  величины t, соответствующей числу шагов, на который делается прогноз:  t = n + k, где k - число шагов. В данном случае  n = 9, k  = 2 (прогноз на два шага вперёд), следовательно, t = 9 + 2=11.

Вычислим  значение точечного прогноза, используя  найденное уравнение регрессии :

Y (11) = 40,86 + 2,58*11 = 69,278≈69,28.

6.2. Построение  интервального прогноза для линейной  модели.

Поскольку точное совпадение реальных данных в  будущем и точечных оценок маловероятно, то точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, указывающими интервал значений. Причем в этом интервале с достаточной долей вероятности можно ожидать появления прогнозируемой величины.

Интервальный  прогноз - это установление данного  интервала (при соответствующих условиях). Данный интервал называется доверительным. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании опирается на выводы и формулы теории регрессии. Эти выводы можно перенести на временные ряды (в том числе экономические), однако с осторожностью. Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя:

S_ε=S _Y=√∑(y_t-Y_t)²/n-m

где y_t- фактическое значение уровня временного ряда для времени t;

Y_t - расчётная оценка соответствующего показателя по модели;

n- количество уровней в исходном ряду (в данном случае n = 9);

m- число параметров модели ( в данном случае  m = 1, так как модель -однопараметрическая).

Формула для доверительного интервала, в  общем случае, имеет вид:

 

U_y=Y(n+k)±t_ά* S _Y*√1+(1/n)+(3*(n+2*k-1)²)/n(n²-1) 

В упрощенном виде: U_y=Y(n+k)± S _Y*K_p,

где верхнее значение: U_y(max)= Y(n+k)+ S _Y*K_p,

нижнее  значение: U_y(min)= Y(n+k)- S _Y*K_p. 

Расчетный коэффициент: K_p= t_ά*√1+(1/n)+(3*(n+2*k-1)²)/n(n²-1),

где р = 70 % = 0,7 - вероятность ;

ά = 100 % - 70% = 1 - р = 30 % = 0,3 - уровень значимости ;

t_ά - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и числа

степеней  свободы, равного n - 2 .

Величину  критерия Стьюдента для данной величины ошибки и числа наблюдений n= 9(с n -2 =9-2 = 7 степенями свободы t_кр (0,30; 7)) находим по таблицам значений критерия. t_кр (0,30; 7)=1,12.

Расчетный коэффициент:

K_p=1,12*√1+1/9+(3*(9+2*2-1)²)/9*(9²-1)=1,47

Среднеквадратическое  отклонение вычислено ранее:

S_ε=S _Y=√∑(y_t-Y_t)²/n-m=√∑ε_t²/ n-1=1,7726

Вычислим  значение верхней и нижней границ доверительного интервала:

верхнее значение: U_y(max)=69,278+1,7726*1,47=71,87

нижнее  значение: U_y(min)=69,278-1,7726*1,47=66,68

Таким образом, для линейной модели доверительный  интервал для точечной оценки Y (11) = 69,28 равен U_y(min) ; U_y(max)) = (66,68; 71,87).

6.3. Построение  точечного прогноза для модели  Брауна.

Точечный  прогноз построен в расчетной  таблице, для ά = 0,4 используем модель Y _р (N + k) = 63,6937 +2,948 k , а для ά = 0,7 - модель Y_р (N+ k) = 64,1103 +2,437 k . Для ά = 0,4 получаем Y _р (11) = 69,59, для ά = 0,7 - Y _р (11) = 68,98.

6.4. Построение  интервального прогноза для модели  Брауна.

Для получения  интервальных прогнозов для модели Брауна используется формула:

                                                                                            _  _

      U(k)= S _Y*t_ά*√1+1/n+((n+k-t₁)/ ∑(t- t₁)²) 

Вычисления  значений интервалов выполним в расчетной  таблице.

Для модели Брауна при  ά = 0,4 получаем   U (1) = 5,47; U (2) = 6,11; для ά = 0,7:U (1)= 8,22; U (2) = 9,19.

Вычислим  значение верхней и нижней границ доверительного интервала при  ά =0,4: верхнее значение: U_y (mах) = 69,59 + 6,11 = 75,70$

                               нижнее значение : U_y (min) = 69,59 - 6,11 = 63,48.

Таким образом, для модели Брауна при  ά = 0,4 доверительный интервал для точечной оценки Y (11) = 69,59 равен (U_y (min); U_y (mах)) = (63,48; 75,70).

7.1.Графическая  иллюстрация фактических данных, результатов аппроксимации по  линейной модели и результатов прогнозирования.

Чёрными ромбами обозначены точки опытных  данных, прозрачными квадратами - результаты аппроксимации данных с помощью  уравнения линейной регрессии, прозрачный треугольник - точечный прогноз на 2 шага вперед (63,28 «69,3).Соответственно сверху и снизу этой точки находятся  соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала  для этого точечного прогноза, рассчитанные согласно данных в условии.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

₈₀ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

71,9 

 

₃₀

20

10

0

_{1      2     3    4}      

_{6      7     8     9     1} 

7.2.Графическая  иллюстрация фактических данных, результатов аппроксимации по  адаптивной модели Брауна при ά= 0,4 и результатов прогнозирования.

 
 
 

30 20

10

0

1234567891 
 

 
 
 
    Чёрными ромбами  обозначены точки опытных данных, прозрачными квадратами - результаты аппроксимации данных с помощью  адаптивной модели Брауна, прозрачный треугольник - точечный прогноз на 2 шага вперед (69,6).Соответственно сверху и снизу этой точки находятся соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала для этого точечного прогноза, рассчитанные согласно данных в условии.

 

Расчетная таблица       

Линейная  модель