Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

                                                       Ограничения 

 

Нулевые значения Х₃ , Х₄ означают, что данные изделия (изделия "В" и "Г")

не включают в оптимальную программу выпуска. Причина этого в том, что стоимость данных изделий слишком низка, и имеющиеся ресурсы лучше потратить на изготовление других изделий (в данном случае - изделий "А" и "Б"). В противном случае максимального значения стоимости выпускаемой продукции достичь нельзя.

   2. Формулировка двойственной задачи и нахождение ее оптимального плана с помощью теорем двойственности.

Прямая  оптимизационная задача

Целевая функция - выручка от реализации готовой  продукции. 

f(x) = 9X₁ + 6Х₂ + 4 Х₃ + 7Х₄

Необходимо  найти максимальное значение целевой  функции (при учете ограничений на запасы сырья различных видов):

                                           mах f(x) = 9X₁+ 6Х₂ + 4Х₃+ 7Х₄

Расходы различного сырья на все изделия

1X₁+ 0X₂+ 2X₃+ 1X₄ ≤ 180 Расход сырья №1

0X₁ + 1Х₂ + ЗХ₃ + 2Х₄≤ 210 Расход сырья №2

4X₁+ 2Х₂ + ОХ₃ + 4Х₄ < 800 Расход сырья №3

Расход  любого сырья на все изделия не должен превышать имеющихся запасов сырья.

Число изделий - величина неотрицательная (и  причем - целая). 
X₁ > 0 Х₂ > 0          Х₃> 0 Х₄> 0

      Оптимальный план:

                                                            95

                                     X  =               210

                                                             0

                                                            0 
 

Значение  целевой функции на данном плане :     mах f(x) = 2115

Проверим, как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальному плану.

1*95 + 0*210 + 2 *0+1*0 ≤ 180 1*95 + 0*210 + 2*0 + 1 • 0 = 95 < 180

0*95 +1*210 + 3*0 + 2*0≤ 210 0*95 + 1*210 + 3*0 + 2*0 = 210

4*95 + 2*210 +0*0 + 4*0≤  800 4*95 + 2*210 + 0*0 + 4*0 = 800

Двойственная  задача

Целевая функция - "внутренняя" стоимость  сырья (или, лучше сказать - нормы  расхода сырья, но - в ценовом выражении).

g(Y) = 180y₁+ 210у₂ + 800у₃ 

Необходимо  найти минимальное значение целевой  функции (при учете ограничений на запасы сырья различных видов):

               min g(У)  = 180у₁+210у₂ + 800у₃

Таким образом, расход сырья на выпускаемую  продукцию должен быть минимален.

Расходы сырья (всех видов) на изделия : 

1y₁ +0у₂ + 4у₃ ≥ 9                            на изделие А

0y₁  +1у₂+2у₃≥6                               на изделие Б

2y₁+3у₂+0у₃≥4                             на изделие В

1y₁+2у₂+4у₃≥7                                на изделиеГ 

Расход  сырья - величина неотрицательная:      

y₁ > 0            y₂ > 0                       у₃ > О 
 
 
 
 

"Внутренняя" стоимость сырья (цена сырья)  называется так потому, что не  имеет ничего общего с рыночной ценой сырья, по которому его можно купить или продать. "Внутренние" же цены (стоимости) - определяются только из решения задачи.

Для нахождения оценок используем вторую теорему двойственности. Так как ограничение №1 в системе ограничений прямой оптимизационной задачи выполняется как строгое неравенство, то у₁ = 0.

Так как  X₁>0 и Х₂> 0, то :       1у₁ + 0у₂ + 4у₃- 9 = 0

                                                      0у₁ + 1у₂ + 2у₃ - 6 = 0

Таким образом, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений

у₁=0 0*у₂ + 4*у₃-9=0

1*у₁+0*у₂ + 4*у₃ = 9            или 0*у₂ + 4*у₃-9=0

0*y₁+1*y₂+2*y₃=6 1*y₂+2*y₃=6

Решим систему методом Крамера. 
 

 Вычислим определители метода:

            0  4   9  4   

Δ=  1  2 =-4 Δ₁=     6  2           =18-24=-6 Δ₂=         0  9 =-9

            1  6 
 

Определим неизвестные:

y₁= Δ₁/ Δ=-6/-4=1,5 

y₂= Δ₂/ Δ₁=-9/-6=1,5 

Таким образом, оптимальный план двойственной задачи: 

        0

Y=           1,5

 2,25 

Значение целевой  функции:   min g(Y)=180*0+210*1,5+800*2,25=2115 

К тому же выполняется  условие равенства экстремальных  значений двойственных задач (согласно теореме двойственности) :

      max f(x)=min g(Y)=2115 

      Нахождение  минимума функции 

 
 

Ограничения

 
 
 
 
 
 
 
 

   3.Нулевые значения Х₃ , Х₄ означают, что данные изделия (изделия "В" и "Г") не включают в оптимальную программу выпуска. Причина этого в том, что стоимость данных изделий слишком низка, и имеющиеся ресурсы лучше потратить на изготовление других изделий (в данном случае - изделий "А" и "Б"). В противном случае максимального значения стоимости выпускаемой продукции достичь нельзя. Нулевое значение У₁ означает, что данный ресурс (тип сырья I) не полностью используется при производстве продукции по оптимальному плану основной задачи. 
4. Анализы на основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности 
4.1. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

Оптимальный план двойственной задачи :

                                                                      У=(0; 1,5;2,25)

Оптимальный план двойственной задачи содержит "внутренние" стоимости сырья, нaзываемые также оценками используемых видов сырья (или - ресурсов). Если в оптимальном плане двойственной задачи величина оценки ресурса - больше нуля (положительная), то данный ресурс полностью используется при производстве продукции по оптимальному плану основной (прямой) задачи. Если в оптимальном плане двойственной задачи величина оценки ресурса - равна нулю, то данный ресурс не полностью используется при производстве продукции по оптимальному плану основной задачи. Таким образом, в данном случае при производстве продукции по оптимальному плану ресурсы №2 и №3 используются полностью, а ресурс № 1 - не полностью. Остаток ресурса №1 можно узнать, подставив значения оптимального плана прямой задачи в ограничение № 1 прямой задачи (отражающей запасы сырья №1)

1X₁+0X₂ + 2X₃ + 1Х₄ ≤180

1*95 + 0*210 +2*0+1*0≤180 95 ≤ 180 

Остаток ресурса №1, таким образом, равен 85 (180 - 95 = 85). Ресурс №1 является недефицитным. Его недефицитность в данном случае объясняется не неограниченностью  его запасов (так как запасы ограничены). Недефицитность обуславливается невозможностью его полного использования в  оптимальном плане, тем, что расход этого ресурса не ограничивает величину плана, так расход меньше запаса. Ресурсы №2 и №3 являются дефицитными. Они полностью используются в оптимальном плане, и план производства - ограничивается (лимитируется) запасами этих ресурсов. Количественные величины ненулевых оценок характеризуют ценность соответствующих дефицитных ресурсов. Чем больше величина оценки, тем острее дефицитность ресурса. Следовательно, тем больше выгода в увеличении запасов этого ресурса (из-за того, что значение стоимости продукции, или, вообще говоря, целевой функции прямой задачи, увеличится сильнее). Таким образом, ресурс № 3 (у₃ = 2,25) - более дефицитный и ценный, чем ресурс № 2 (у₂ = 1,5). Размер его запаса сильнее влияет на суммарную стоимость продукции, выпускаемой по оптимальному плану.

4.2. Определить, как  изменятся выручка  и план  выпуска продукции  при увеличении  запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида. 

Нахождение  максимума функции

Переменные 

 

Ограничения