Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части.

Основные  промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

Решение

1. Проверка наличия аномальных наблюдений.

Для проверки наличия аномальных наблюдений используем метод Ирвина.

Вначале определим среднее значение спроса и среднеквадратическое отклонение. Введем обозначения: i= 1.. .n (n= 9) - номер наблюдения (аналогично используемому обозначению t); Y_i - значение спроса при наблюдении 1 (или - в i-ю неделю).

Формула для вычисления среднего значения: Yˉ= 1/n*∑* Y _i

Формула для вычисления среднеквадратического  отклонения: 

      S=S_Y= √∑ (Y_i - Yˉ)²/n-1

Фактически  в формуле метода Ирвина используется так называемое «исправленное» среднеквадратическое отклонение (СКО), являющееся несмещенной оценкой СКО генеральной совокупности. Для каждого наблюдения (кроме первого по счету) вычислим расчетное значение критерия Ирвина. Это значение вычисляется по следующей формуле.

λ_i=| Y_i- Y_i-1|/ S_Y

Вычисленные расчетные значения критерия Ирвина сравниваем с табличным значением  критерия. Для уровня значимости ά = 0,05 и числа наблюдений n = 10 табличное значение критерия Ирвина равно 1,5: для числа наблюдений n = 3 оно равно 2,3. Найдем табличное значение критерия Ирвина для числа наблюдений n = 9:

λ_ά(9)= λ_ά(10)+(( λ_ά(3)- λ_ά(10)/10-3)=1,5+((2,3-1,5)/10-3)=1,5+0,8/7=1,614≈1,6 

Если  расчетное значение критерия Ирвина для соответствующего уровня ряда превышает  табличное, то этот уровень ряда считается  аномальным. Сравнение расчетных  и табличных значений выполним в  расчетной таблице, в столбце «МИ». Если значение уровня ряда не является аномальным, оно помечается символами "ОК". Аномальные значения (если такие будут выявлены) помечаются символом «А». После выявления аномальных уровней ряда нужно определить причины их возникновения. Если они вызваны ошибками первого рода, то аномальные уровни заменяются либо простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо соответствующими значениями по кривой аппроксимирующей данный ряд. В данном случае в ряде значений нет аномальных наблюдений.

2. Построение линейной  модели.

2.1 Находим  суммы всех значений t, Y, их произведений t* Y , а также значений t², Y².

2.2.Находим  средние значения величин t, Y и их произведений t* Y .

Для этого  просто поделим величины соответствующих  сумм, найденные ранее, на число наблюдений n (то есть на 9).

2.3.Находим  дисперсии σ² _t, σ²_Y .

Можно найти их, используя квадраты разности между значением переменной и  соответствующим средним значением, т. е. формулы:

                _   _

σ² _t =∑ (t- t)²/ n; σ²_Y =∑ (Y- Y)²/ n 

2.4 Находим  коэффициенты уравнения регрессии:

      __  _  __

а₁=( tY- t* Y)/ σ²_t=(286,11-5*53,78)/6,67=2,58

      __ _

а₀= Y  - а_1* t = 53,78-2,58*5=40,86

Формулы для определения коэффициентов  уравнения регрессии определяются с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Таким образом, уравнение регрессии имеет  вид:

Y= а₀+ а₁* t;

Y=40,86+2,58* t

Рассчитываем  для каждого наблюдения «предсказанное» (смоделированное) значение отклика (величины показателя) (Y).

На основании рассчитанных  Y находим значения остатков для каждого наблюдения:

      __ 

ε_i= Y_i - Y_i

Решение задачи с помощью Пакета анализа  Ехсеl. Используем инструмент пакета "Анализ данных" - Регрессия. Вводим данные для выполнения подпрограммы "Регрессия" и анализируем их результаты (которые приведены в таблицах). 

 

      ВЫВОД ОСТАТКА

  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

По приведенным  данным можно сделать вывод, что  результаты "ручного" расчета (по формулам) и автоматического расчета совпадают, поскольку коэффициенты уравнения регрессии - одинаковы.

3 .Построение адаптивной  модели Брауна.

Этап 1: По первым пяти точкам временного ряда получим начальные оценки параметров модели, используя формулы, полученные методом наименьших квадратов

а₁=∑ ((t- t₁ )* (Y(t)- Y₁))/ ∑ (t- t₁)²; а₀= Y₁- а₁* t₁;

Средние значения для пяти точек вычисляются  по формулам:

         _ __ 

        t₁=1/5∑ t; Y₁=1/5∑ Y(t)

Все вычисления средних значений и начальных  оценок параметров модели выполним в расчетной таблице.

Этап 2: С помощью начальных параметров по модели Брауна найдем прогноз на один шаг (k =1):

                 Y_p (t, k )= а₀ (t) + а₁(t) k.

Этап 3: Расчетное значение Y_р (t, k) ряда сравниваем с фактическим значением Y(t) и вычисляем величину расхождения (ошибки).

Формула для вычисления ошибки (при k = 1):

                                           e (t+1)=Y (t+1)- Y_p (t,1)

Этап 4: Корректировка параметров модели в  соответствии с величиной ошибки.

Используются  формулы:

   а₀ (t) = а₀ (t-1)+ а₁(t-1)+ ά²* e (t);

   а₁(t) = а₁(t-1)+ ά²* e (t). 

Здесь ά - параметр сглаживания. Сначала проведем вычисления при параметре сглаживания, равном 0,4, а затем - равном 0,7.

е (х) - ошибка прогнозирования уровня Y (t), вычисленная в момент времени (t +1) на один шаг вперед.

   Этап 5: По модели со скорректированными параметрами  а₀ и а₁ находим прогноз на следующий момент времени.

   Повторяем этапы построения модели, пока не достигнем  значения t = 9 (в данном случае). При достижении t = 9 получаем модель, которую можно использовать для прогнозирования. Для параметра сглаживания  ά = 0,4 на последнем шаге получаем модель У_р (N+ k) = 63,6937 +2,948 k , а для ά = 0,7 - модель У_р (N + k) = 64,1103+ +2,437 k.

   Необходимо  заметить, что лучшим значением параметра  сглаживания является 0,4, поскольку при этом получается меньшая средняя относительная ошибка аппроксимации и среднеквадратическое отклонение остатков. Это показывают дальнейшие расчеты.

4.Оценка  адекватности  построенных  моделей.

4.1 .Проверка  случайности остаточной компоненты  по критерию пиков (критерию поворотных точек).

Уровень последовательности ε_t  считается максимумом, если он больше двух

рядом стоящих уровней, то есть ε_t-1 < ε_t > ε_t+1  , и минимумом, если он меньше

обоих соседних уровней, то есть  ε_t-1 > ε_t < ε_t+1. В обоих случаях ε_t считается поворотной точкой (или пиком).

В случайной  выборке размера n математическое ожидание числа точек

поворота   р‾ и дисперсии  σ_р²   выражаются формулами :

       _

      р  = 2/3*( n-2);              σ_р²=(16n-29)/90 

Критерий  случайности остаточной компоненты (критерий пиков, или поворотных точек) - выполнение неравенства :

                                                  _

                                      р>[р -1,96*√ σ_р²] 

В данном случае критерий выполняется с 5% - ным  уровнем значимости, то есть с доверительной вероятностью 95 %  что можно видеть по числу "1,96", которое стоит рядом со значением среднеквадратического отклонения. Данное число (1,96) является табличным значением 1; - статистики Стьюдента с 5% - м уровнем значимости. Квадратные скобки в данной формуле означают, что необходимо брать целую часть получившегося результата. Если неравенство не выполняется, то следовательно, колебания случайных компонент не являются случайными. В этом случае трендовая модель считается неадекватной. С помощью средств Ехсеl в расчётной таблице для соответствующих точек выясним, являются ли они пиками (поворотными точками). Для поворотных точек в столбце "ТП" (точки поворота) выводится значение "1", для остальных точек - "О". Таким образом, всего имеется 4 поворотных точки.

    _

    р= 2/3*( n-2)= 2/3*(9-2)=4,67;             

 

       σ_р²= (16n-29)/90=(16*9-29)/90=1,28

 

      4>[4,67-1,96*√1,28]= [2,453]=2

Вывод : линейная модель адекватна по критерию случайности остатков. Для модели Брауна с параметром сглаживания 0,4 число поворотных точек равно 4, а для параметра 0,7 - также имеется 4 поворотных точки. Следовательно, модель Брауна также адекватна по критерию случайности остатков.

4.2.Проверка  независимости уровней ряда остатков  по d - критерию. При проверке независимости значений уровней рада остатков (случайной компоненты), то есть проверке на отсутствие автокорреляции, определяется отсутствие в ряду систематической составляющей. Проверка может выполняться по разным критериям, наиболее распространенный из которых  d- критерий Дарбина -Уотсона. Расчётное значение данного критерия вычисляется по формуле :

                        d =∑[ε_(t)- ε_(t-1) ]²/∑ ε_(t)² 

Коэффициент автокорреляции первого порядка  вычисляется по формуле